高等数学9二重积分课件

高等数学9二重积分课件1柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶2播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法3步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积步骤如下：用若干个小平先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲4２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近5二、二重积分的概念二、二重积分的概念6积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素7对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，8在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区9性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三10性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上11性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）12解解13解解14解解15解解16二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体17思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找18定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此19练习题练习题20高等数学9二重积分课件21高等数学9二重积分课件22练习题答案练习题答案23求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如24求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如25求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如26求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如27求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如28求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如29如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］如果积分区域为：其中函数、30应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得31如果积分区域为：［Y－型］如果积分区域为：［Y－型］32

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相33解积分区域如图解积分区域如图34解积分区域如图解积分区域如图35解原式解原式36解解37解解38解解39解曲面围成的立体如图.解曲面围成的立体如图.40高等数学9二重积分课件41二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）42思考题思考题43思考题解答思考题解答44高等数学9二重积分课件45练习题练习题46高等数学9二重积分课件47高等数学9二重积分课件48高等数学9二重积分课件49练习题答案练习题答案50高等数学9二重积分课件51一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分52二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图53区域特征如图区域特征如图54二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图55极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征56解解57解解58解解59高等数学9二重积分课件60高等数学9二重积分课件61解解62解解63解解64高等数学9二重积分课件65二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小66思考题思考题67思考题解答思考题解答68练习题练习题69高等数学9二重积分课件70高等数学9二重积分课件71练习题答案练习题答案72高等数学9二重积分课件73一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法74高等数学9二重积分课件75例1解例1解76高等数学9二重积分课件77例2解例2解78高等数学9二重积分课件79二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．80思考题思考题81思考题解答思考题解答82高等数学9二重积分课件83练习题练习题84练习题答案练习题答案85一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.86二、曲面的面积卫星二、曲面的面积卫星87１．设曲面的方程为：如图，１．设曲面的方程为：如图，88曲面S的面积元素曲面面积公式为：曲面S的面积元素曲面面积公式为：89３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面90解解91高等数学9二重积分课件92解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为93高等数学9二重积分课件94几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（95思考题思考题96薄片关于轴对称思考题解答薄片关于轴对称思考题解答97定义几何意义性质计算法应用二重积分一、主要内容定义几何意义性质计算法应用二重积分一、主要内容981、二重积分的定义1、二重积分的定义99２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体100性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质性质１当为常数时，性质２３、二重积分的性质101性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上，特殊地性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积性质５若在D上102性质６性质７（二重积分中值定理）性质６性质７（二重积分中值定理）103４、二重积分的计算［X－型］

X-型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（１）直角坐标系下４、二重积分的计算［X－型］X-型区域的特点：104

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界105（２）极坐标系下（２）极坐标系下106高等数学9二重积分课件1075、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面积5、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的108二、典型例题例1解X-型二、典型例题例1解X-型109例2解先去掉绝对值符号，如图例2解先去掉绝对值符号，如图110例3解例3解111高等数学9二重积分课件112例4解例4解113例5解例5解114高等数学9二重积分课件115例6

证例6证116测验题测验题117高等数学9二重积分课件118高等数学9二重积分课件119高等数学9二重积分课件120三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:1、òòòò-+yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(；2、òò-+21110),(xxdyyxfdx；3、òòqqqq00)sin,cos(rdrrrfda.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次