解三角形-正弦定理、余弦定理（高考真题汇编）-2022-2023年2年全国高考数学试题

解三角形—正弦定理、余弦定理（高考真题汇编）2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版一．选择题（共2小题）1．（2023•北京）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），则∠C＝（）A． B． C． D．2．（2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C＝，则∠B＝（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）3．（2023•华侨、港澳、台）在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cosB＝．4．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝．5．（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．6．（2023•甲卷）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝．7．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝．8．（2022•甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．三．解答题（共15小题）9．（2022•华侨、港澳、台）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝3sinB，C＝，c＝．（1）求a；（2）求sinA．10．（2023•乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．11．（2022•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．12．（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A﹣B）的值．13．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．14．（2022•北京）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．15．（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）证明：2a2＝b2+c2．16．（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）证明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．17．（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．（1）求bc；（2）若﹣＝1，求△ABC面积．18．（2023•天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2，∠A＝120°．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）求sin（B﹣C）的值．19．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．20．（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．21．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．22．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．23．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．

解三角形—正弦定理、余弦定理（高考真题汇编）2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2023•北京）在△ABC中，（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB），则∠C＝（）A． B． C． D．【解答】解：由正弦定理（R为三角形外接圆半径）可得：sinA＝，sinB＝，sinC＝，所以（a+c）（sinA﹣sinC）＝b（sinA﹣sinB）可化为（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝，又C∈（0，π），∴C＝．故选：B．2．（2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C＝，则∠B＝（）A． B． C． D．【解答】解：由acosB﹣bcosA＝c得sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，得sin（A﹣B）＝sinC＝sin（A+B），即sinAcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB+sinBcosA，即2sinBcosA＝0，得sinBcosA＝0，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA＝0，即A＝，则B＝π﹣A﹣C＝＝．故选：C．二．填空题（共6小题）3．（2023•华侨、港澳、台）在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则cosB＝．【解答】解：在△ABC中，A＝2B，a＝6，b＝4，则，即，解得cosB＝．故答案为：．4．（2023•上海）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cosA＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝＝＝．故答案为：．5．（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为．【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝，所以，解得R＝．故答案为：．6．（2023•甲卷）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝2．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AB＝2，，∴由正弦定理可得，∴sin∠ACB＝＝＝，又∠BAC＝60°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°，又∠ABC＝75°，∴∠ADB＝75°，∴AD＝AB＝2．故答案为：2．7．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．8．（2022•甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝．【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2•2x•2•cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2•x•2•cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，要使得最小，即最小，＝＝，其中，此时，当且仅当（x+1）2＝3时，即或（舍去），即时取等号，故答案为：．三．解答题（共15小题）9．（2022•华侨、港澳、台）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＝3sinB，C＝，c＝．（1）求a；（2）求sinA．【解答】解：（1）∵sinA＝3sinB，∴由正弦定理可得，a＝3b，∴由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，即7＝9b2+b2﹣3b2，解得b＝1，∴a＝3．（2）∵a＝3，C＝，c＝，∴＝．10．（2023•乙卷）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知BC2＝22+12﹣2×1×2×cos120°＝7，，∴由余弦定理可得cos∠ABC＝＝，又∠ABC∈（0°，60°），∴sin∠ABC＝＝＝，（2）由（1）知：cos∠ABC＝，sin∠ABC＝，∴tan∠ABC＝，∴AD＝，∴AD＝，∴△ADC的面积为×AD×AC×sin∠DAC＝××1×＝．11．（2022•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为cosC＝＞0，所以C∈（0，），且sinC＝＝，由正弦定理可得：＝，即有sinA＝＝sinC＝×＝；（Ⅱ）因为4a＝c⇒a＝c＜c，所以A＜C，故A∈（0，），又因为sinA＝，所以cosA＝，所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；由正弦定理可得：＝＝＝5，所以a＝5sinA＝5，所以S△ABC＝absinC＝×5×11×＝22．12．（2022•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A﹣B）的值．【解答】解（1）因为a＝，b＝2c，cosA＝﹣，由余弦定理可得cosA＝＝＝﹣，解得：c＝1；（2）cosA＝﹣，A∈（0，π），所以sinA＝＝，由b＝2c，可得sinB＝2sinC，由正弦定理可得＝，即＝，可得sinC＝，所以sinB＝2sinC＝2×＝；（3）因为cosA＝﹣，sinA＝，所以sin2A＝2sinAcosA＝2×（﹣）×＝﹣，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，sinB＝，可得cosB＝，所以sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝﹣×﹣（﹣）×＝，所以sin（2A﹣B）的值为．13．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，设AB边上的高为h，则＝，∴＝，解得h＝6，即AB边上的高为6．14．（2022•北京）在△ABC中，sin2C＝sinC．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC，又sinC≠0，∴2cosC＝，∴cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，∴absinC＝6，又b＝6，C＝，∴×a×6×＝6，∴a＝4，又cosC＝，∴＝，∴c＝2，∴a+b+c＝6+6，∴△ABC的周长为6+6．15．（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）证明：2a2＝b2+c2．【解答】解：（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin（C﹣A），∵sinB≠0，∴sinC＝sin（C﹣A），即C＝C﹣A（舍去）或C+C﹣A＝π，联立，解得C＝；证明：（2）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），得sinCsinAcosB﹣sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA﹣sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB﹣bccosA＝bccosA﹣abcosC，由余弦定理可得：ac•，整理可得：2a2＝b2+c2．16．（2022•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）证明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，由正弦定理得a2＝2bccosA，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以2a2＝b2+c2；（2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14．17．（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2．（1）求bc；（2）若﹣＝1，求△ABC面积．【解答】解：（1）因为＝＝2bc＝2，所以bc＝1；（2）﹣＝﹣＝1，所以﹣＝＝1，所以sin（A﹣B）﹣sinB＝sinC＝sin（A+B），所以sinAcosB﹣sinBcosA﹣sinB＝sinAcosB+sinBcosA，即cosA＝﹣，由A为三角形内角得A＝，△ABC面积S＝bcsinA＝＝．18．（2023•天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝，b＝2，∠A＝120°．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求c的值；（Ⅲ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）a＝，b＝2，∠A＝120°，则＝＝；（Ⅱ）a＝，b＝2，∠A＝120°，则a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝4+c2+2c＝39，化简整理可得，（c+7）（c﹣5）＝0，解得c＝5（负值舍去）；（Ⅲ）＝，c＝5，a＝，∠A＝120°，则sinC＝＝＝，故cosC＝＝，所以sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣sinCcosB＝﹣＝．19．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC＝，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．【解答】解：（1））D为BC中点，，则，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，，，，解得CD＝2，∴BD＝2，，故＝＝；（2），，AD＝1，b2+c2＝8，则，∴bccosA＝﹣2①，，即②，由①②解得，∴，∴bc＝4，又b2+c2＝8，∴b＝c＝2．20．（2023•上海）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b＝2．（1）若A+C＝120°，a＝2c，求边长c；（2）若A﹣C＝15°，a＝csinA，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A+C＝120°，且a＝2c，∴sinA＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝cosA+sinA，∴cosA＝0，∴A＝90°，C＝30°，B＝60°，∵b＝2，∴c＝；（2）a＝csinA，则sinA＝sinCsinA，sinA＞0，∴sinC＝，∵A﹣C＝15°，∴C为锐角，∴C＝45°，A＝60°，B＝75°，∴＝，∴a＝＝3，∴S△ABC＝absinC＝＝3﹣．21．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．22．（2022•上海）如图，在同一平面上，AD＝