2022-2023学年福建省漳州市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省漳州市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据题意列方程求解即可.【详解】由复数的实部与虚部之和为0，得，即．故选：A2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】由两角和的正弦公式，可知.故选：A.3．如图，菱形ABCD中，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据相等向量的定义、向量的加、减法法则和向量的几何意义，结合菱形依次判断选项即可.【详解】A：由图形可知，，故A错误；B：由平面向量的减法法则可知，，故B错误；C：由平面向量的加、减法法则可知，，，又菱形的对角线互相垂直，所以，即，故C正确；D：根据选项C的分析可知，，，在菱形中，，所以，故D错误.故选：C.4．已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，将的终边逆时针旋转，这时终边所对应的角是，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据已知条件求解出的值，然后根据之间的关系结合诱导公式求解出的值.【详解】因为，且，所以，故选：B.【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点为角终边上任意一点且不与原点重合，，则.5．在中，，，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出的值.【详解】因为且，所以，所以，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.6．在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：，，由正弦定理可得，，，的面积．故选：A．7．黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数该值恰好等于，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式，计算的值．【详解】由题意，，，故选：C．8．记的内角，，的对边分别为，，，且，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用数量积的定义与正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式以及三角函数的有界性求解即可.【详解】的内角，，的对边分别为，，，且，，，由正弦定理可得，所以，由可得，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：D.二、多选题9．将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的函数图象关系式可以为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式可得出所求函数的解析式.【详解】将函数的图象先向左平移个单位，可得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，且，故选：BD.10．以下说法正确的是（

）A．若，则或B．若，则向量，的夹角为钝角C．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为D．设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底【答案】CD【分析】根据向量数量积的定义和性质判断AB，根据投影向量公式判断C；判断是否共线，即可判断D.【详解】A.若，则或或，故A错误；B.若，则向量，的夹角为钝角或，故B错误；C.向量在向量上的投影向量的坐标为，故C正确；D.不存在使，所以向量不共线，那么可作为该平面的一个基底，故D正确.故选：CD11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A． B．△ABC是钝角三角形C．若，则△ABC内切圆半径为4 D．若，则△ABC外接圆半径为13【答案】ACD【分析】对于A，由正弦定理判断，对于B，利用余弦定理判断，对于C，利用等面积法求解，对于D，利用正弦定理求解【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，所以A正确，对于B，由，设，则，因为，所以，所以△ABC为直角三角形，所以B错误，对于C，当时，，由选项B可知△ABC为直角三角形，设△ABC内切圆半径为，则，所以，解得，所以△ABC内切圆半径为4，所以C正确，对于D，当时，，由选项B可知△ABC为直角三角形，设△ABC外接圆半径为，则由正弦定理得，，解得，所以△ABC外接圆半径为13，所以D正确，故选：ACD12．气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标，某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，，以下说法正确的是（

）

A．B．函数的最小正周期为C．，D．若是偶函数，则的最小值为2【答案】ACD【分析】根据图象的最大值和最小值求，再根据对称轴间的距离求周期和，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断.【详解】根据题图可知得所以．根据题图可知，，B错误．，，，即．又，所以，所以，解得，A正确．，，所以，C正确．因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值，为2，D正确．故选：ACD．三、填空题13．若复数为实数，则的值为.【答案】【分析】根据复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为为实数，则，解得.故答案为：.14．若，是夹角为60°的两个单位向量，，则.【答案】【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，，所以.故答案为：四、双空题15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且外接圆的面积为，请写出一组满足上述条件的边和角：，．【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，求出的外接圆半径，再利用正弦定理求出即可求解作答.【详解】依题意，的外接圆半径，由正弦定理得，即，又，取，则.故答案为：；16．已知函数，当时，的最小值为；若的最大值为2，则的值为.【答案】【分析】第一空换元法即可求出函数的最值；第二空换元后根据动轴定区间进行分类讨论即可求出结果.【详解】因为，令，则，当时，，因此当时，，由于开口向上，对称轴为，若，即，此时，则；若，即，此时，则；综上：，故答案为：；.五、解答题17．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件(1)位于第二象限；(2)位于直线上，并求.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出复数在复平面内对应的点的坐标，根据点在第二象限可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；（2）将复数在复平面对应的点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出的值，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】（1）解：因为为实数，复数在复平面内对应的点的坐标为，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得.（2）解：由题意可知点在直线上，则，解得或，当时，，此时；当时，，此时.综上所述，当时，；当时，.18．记△ABC得内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.(1)求a；(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，结合余弦定理得出；（2）由正弦定理得出.【详解】（1）因为sinA=3sinB，所以，由余弦定理可得，所以（2）由可得，19．如图，，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N.(1)用，表示向量；(2)若，，且点C为线段AB的中点，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）（1）根据连接AB，根据AB是△SMN的中位线，结合向量的运算求解即可;（2）以，为基底向量表示，再结合数量积的运算法则求解即可（2）如图，连接AB，由对称性，可知AB是△SMN的中位线，∴，∴，∴.（2）由（1）知，，当点C为线段AB的中点，，又，，∴..20．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求不等式在上的解集.【答案】(1)最小正周期为(2)【分析】（1）化简解析式，由求得的最小正周期.（2）由得，解三角不等式求得不等式在上的解集.【详解】（1）.所以函数的最小正周期为.（2）由（1）可知，，即，可得，即当时，，当时，，综上所述，不等式在上的解集为.21．如图1鱼牙齿呈三角形，牙根处有凹陷.为测鲨鱼牙齿面积，把鲨鱼牙齿视为如图2模型，测得，，.(1)若，，求平面凹四边形ABCD面积；(2)若，求平面凹四边形ABCD面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接AC，在ABC中，利用余弦定理求得AC，在ACD中，求得，再利用面积公式，由求解.（2）在ACD中，利用余弦定理结合基本不等式，得到，再由求解.【详解】（1）解：如图，连接AC，ABC中，，，，由余弦定理可得，.ACD中，，，，由余弦定理可得，，∴，∴，又，∴.（2）由（1）知.ACD中，，，即，∴，，平面凹四边形ABCD面积的最小值为.当且仅当时等号成立.22．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面100，最低点距离地面10，摩天轮上均匀设置了依次标号为1~36号的36个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t后距离地面的高度为H，转一周需要30.(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在1号和7号座舱里，在转动一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.【答案】(1)(2)最大高度差45m.【分析】(1)利用正弦函数的图象性质求解；(2)利用三角恒等变换公