2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末模拟考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末模拟考试数学试题一、单选题1．若．则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.2．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的周长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直观图的平面图，结合图形计算可得；【详解】解：∵三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，可知平面图如下所示：∴的底，腰，为直角三角形，高，所以斜边，∴直角三角形的周长是．故选：A3．直线a，b互相平行的一个充分条件是（

）A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面【答案】C【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，可得出正确的答案.【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误；对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误；对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确；对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误；故选：C4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，样本极差分别为和，则（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据折线图的分布可判断两个样本的均值、极差和方差的大小，故可得正确的选项.【详解】观察图形可知，样本A的数据均在之间，样本B的数据均在之间，由折线图可得，，故，而样本极差，又样本B的数据波动较小，故，故选：B.5．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得到圆台和半球的体积，即可求解．【详解】，，剩余部分几何体的体积为．故选:C6．已知高一某班男、女生比例为，为了解该班学生一周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取若干人进行调查，调查结果如下表，则估算该班全体学生在本周购买零食的支出的方差是（

）平均支出/元方差男生女生A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出全班学生每周购买零食的支出的平均数，再利用方差公式可求得该班全体学生在本周购买零食的支出的方差.【详解】估算全班学生每周购买零食的支出的平均数，方差.故选：B.7．刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（

）

A．11 B． C．9 D．【答案】A【分析】延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解．【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，∵，，∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．

故选：A8．已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的模的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知化简可得向量夹角余弦值的表达式，借助基本不等式求出其最小值，再由投影向量的定义可求解.【详解】由，可得，化简得，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，在方向上的投影向量的模为,其最小值为.故选：C二、多选题9．在中，已知，则角（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接利用正弦定理计算即可.【详解】由，得，因为，所以，又，所以或.故选：BD.10．下列描述正确的是（

）A．若事件A，B满足，则A与B是对立事件B．若，，，则事件A与B相互独立C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是【答案】BC【分析】A选项，举出反例；B选项，利用判断出事件A与B相互独立；C选项，根据互斥事件的定义作出判断；D选项，分两种情况进行计算.【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；对于B，，，故B正确；对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确；对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确.故选：BC.11．若非零复数、分别对应复平面内的向量、，且，线段的中点对应的复数为，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到，再由线段的中点M对应的复数为，得到，即可求解.【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，，

又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，因为，所以四边形是矩形，则，又因为线段的中点对应的复数为，所以，所以．

如图以为圆心，为直径的圆恰好过坐标原点，所以、为圆与坐标轴的交点，若，，则，，所以，，但是，，故B错误，C正确；若，，同理可得，，故B错误，C正确；故选：ACD.12．如图所示，圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线PM上的射影为H．当点M运动时，下列结论正确的是（

）

A．三棱锥体积的最大值为 B．线段PB长度是线段CM长度的两倍C．直线CH一定与直线PA垂直 D．H点的轨迹长度为【答案】BCD【分析】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l，求得和，得到点到平面距离的最大值为，结合，可判定A错误；证得，得到在直角中，的长度是的长度的一半，可判定B正确；由，和，证得恒成立，可判定C正确；证得，得到H点的轨迹为以OC为直径的圆，可判定D正确．【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l，因为圆锥的轴截面为面积等于4的等腰直角三角形，则其面积，解得，所以．对于A中，如图所示，由可知，点M在以OA为直径的圆上，半径为1，因为，所以点到平面距离的最大值为．又因为，故三棱锥的体积即为三棱锥体积，故体积最大值为，所以A错误；对于B中，由平面，平面AMB，所以，又由，且，所以平面POM，所以，所以在直角三角形中，的长度是的长度的一半，即为线段的长度的一半，所以B正确；对于C中，因为平面POM，且平面，则，又因为，且，则平面PAM，因为平面，则，由是等腰直角三角形，可得，即为等腰三角形，连接OC，因为为的中点，故，又因为，则平面OHC，平面OHC，所以恒成立，所以C正确；对于D中，由C项可知平面OHC，又由平面PAM，且平面PAM，所以，过点且与垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆，因为，则H点形成的轨迹周长为，所以D正确．故选：BCD.

三、填空题13．成都某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，已知从高三年级学生中抽取15人，则为．【答案】75【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可【详解】由题意得，即，解得，故答案为：7514．已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为.【答案】【分析】由题可得，可得，即求．【详解】点在线段的延长线上，且，，,,,．所以点P的坐标为.故答案为：.15．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则.【答案】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】因为，，，所以，所以.故答案为：16．在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为【答案】【分析】利用，可将结合正弦定理可得，后由余弦定理可得.后由结合AB边上的中线长为2，可得，后由基本不等式可得，即可得答案.【详解】因，则，即.所以，又，所以.设AB边上的中线为CD，则，则，所以，当且仅当a＝b时等号成立，所以故答案为：四、解答题17．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．(1)若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人?(2)某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到）．【答案】(1)12(2)运动平均步数万步，小王的运动步数约为万步【分析】（1）由分层抽样的概念求解，（2）由频率分布直方图数据求解，【详解】（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，选取30人的样本，则应选取女性人（2）由解得，则运动平均步数（万步）运动步数在的频率为，在的频率为，则位数位于间，小王的运动步数为（万步）18．如图，几何体是由一个长方体截去一个三棱锥得到的，底面是正方形，E，F分别是棱，上的动点，且满足，

(1)求证：//平面；(2)当时，求截面把几何体分成的两个部分的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)7:13【分析】（1）利用平行四边形的性质及比例相等证明线线平行，从而利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用台体公式求出两个台体的体积即可求解比例.【详解】（1）由题意，，四边形是平行四边形，，，，，又面，面，面；（2）由（1）得，B，D，E，F四点共面，连接，，，设，

平面，平面，又平面平面，，即，，三线交于M点，平面平面，几何体是三棱台，所以截面把几何体分割为三棱台和剩下一部分几何体，分别记他们的体积为，.设长方体的高为h，底面正方形的边长为a，则，，记，S分别为，的面积，，，三棱台的高为，，，，即两部分的体积之比为7:13.19．如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，S关于B的对称点为N.

(1)用，表示向量；(2)已知，连接，交于G点，若，求的余弦值.【答案】(1).(2).【分析】（1）根据图形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；（2）根据平面向量的基本性质，根据条件，求得模长之间的关系，利用数量积以及运算律，建立方程，可得答案.【详解】（1）由题意得A是的中点，B是的中点，，.（2）取作为基底，由题意，，，，.，，即.B为的中点，.，，，.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，E是的中点.

(1)过点E在面内画一条直线l，使得，写出做法，并说明理由；(2)设直线l与交于F点，求与底面所成角的正弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）取中点M，连接.过点E作垂直，交于点F，所在直线即为所求，理由：连接，由平面平面，，得到平面，进而得到，再由，得到平面，进而得到，则平面，从而得证；（2）取中点N连接，，过点F作，设，由平面平面，得到平面，由，得到平面，从而即为所求.【详解】（1）解：做法：取中点M，连接.过点E作垂直，交于点F，所在直线即为所求.理由：如图所示：

连接，平面平面，，且平面平面平面ABCD，平面，，为等边三角形，M为中点，，又，平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，所以平面，平面，；（2）取中点N连接，，过点F作，设.，平面，平面平面，且平面平面，平面，，，，平面，，为的中位线，，，，，，，，，，，，，设与平面所成角为，.21．我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，（2）由概率乘法公式与加法公式求解【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，∴，设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则，∴，∴.（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，由题意知事件，，相互独立由（1）知.记