新教材人教A版数学课件4-5-1函数的零点与方程的解

4.5函数的应用（二）4.5.1函数的零点与方程的解

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……

11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法今天我们来学习方程的根与函数的零点！你会求什么方程的根呢？1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）2.学习函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.（易错点）3.学习掌握求函数的零点.（重点）通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养

体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂微课1：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次

函数的图象，观察二者有何联系？（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3你知道方程对应的函数是怎么找的吗？方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0.....xyO－132112543y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点.....yx－12112Oxy－132112－1－2－3－4....0.方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根函数y=ax²+bx+c(a＞0)的图象判别式Δ=b2－4acΔ＞0Δ=0Δ＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2一般结论一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.函数零点的定义：零点指的是一个实数，不是一个点方程f(x)＝0有实数根

函数y＝f(x)的图象与x轴有交点

函数y＝f(x)有零点结论现在知道如何求没有公式的方程的根了吗？C【即时训练】例函数f(x)=x(x－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0) B．0C．(4，0)，(0，0)， D．4，0D【解析】选D.由x(x－4)=0得x=0或x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点.解方程是求函数零点的一种方法B【变式练习】1234512345xyO-1-2-1-4-3-2微课2：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）．x=－1－45<x=3<1234512345xyO-2-1-4-3-2-1xyOabcd思考：观察图象填空有<有<有<①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；xyOabc函数零点存在的判断如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.

方程lnx=必有一个根的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(,1)D.(3,+∞)B【解题关键】将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断【即时训练】例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·

f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·

f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（）解析：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一

个零点.（）abOxy如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. 满足条件一定有零点，但不确定有几个可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确.（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.

（）abOxy如图,虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不一定存在零点，故论断不正确.（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（）abOxy如图, 若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于0C【变式练习】f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)上一定有零点，但是函数y=f(x)在(a,b)上有零点，f(a)f(b)<0不一定成立.由表可知f(2)<0，f(3)>0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解：-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972方法一f(x)=lnx+2x－6从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．108642-2-4512346xyOy=－2x+6y=lnx6Ox1234y即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.方法二：函数零点方程的根图象交点转化1.求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解析：求方程的根的个数，即求方程的根的个数，即判断函数与的图象交点个数.由图可知只有一个解.y=x1Ox1234y【变式练习】数形结合估算f(x)在各整数处的取值的正负：令由上表可知，方程的根所在区间为－+＋＋可根据图象确定大体区间C

函数的零点与方程的解

核心知识方法总结易错提醒核心素养直观想象：通过确定函数零点个数及所在区间，培养直观想象的核心素养应用函数零点存在定理时注意函数图象的连续性数形结合：借助函数图象与x轴交点确定零点及方程的根转化法：函数的零点转化为方程的根，转化为函数图象与x轴的交点函数零点的定义函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系函数的零点存在定理1.在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为（）Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.不存在2.若不是常数函数且最小值为１，则的零点个数（）Ａ.０Ｂ.１Ｃ.０或１Ｄ.不确定DB35.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】

（1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为-1∉（0，1），所以a≠0；

（2）当a≠0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在（0，1）内恰有一个零点，所以f（0）•f（1）＜0，

即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．故a的取值范围为（2，+∞）．方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点三个等价关系零点代数法图