第八章-无穷级数课件

第八章无穷级数

1第八章1

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

齐诺悖论—阿基里斯与乌龟2公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno第一节常数项级数的概念和性质

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.

一、级数的基本概念

计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积3第一节常数项级数的概念和性质无穷级数是高等数学1、级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和41、级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的2、级数的收敛与发散:52、级数的收敛与发散:5解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)

的收敛性.

6解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.6

发散发散综上所述,7发散发散综上所述,7

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

齐诺悖论—阿基里斯与乌龟8公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.

9如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就1010解例2讨论无穷级数

的收敛性.

11解例2讨论无穷级数的收敛性.11解例3所以级数发散.

12解例3所以级数发散.12级数收敛的必要条件证明定理13级数收敛的必要条件证明定理13说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；

级数发散；

级数发散。14说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；级数发散；2、必要条件不充分：再举一个重要例子：

但级数发散。

调和级数

152、必要条件不充分：再举一个重要例子：但级数发散。调和级讨论于是矛盾，调和级数

16讨论于是矛盾，调和级数16二、收敛级数的基本性质也收敛,且有由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。思考：可逆吗？性质1性质217二、收敛级数的基本性质也收敛,且有由级数收敛的定义，以及极限说明：证矛盾.18说明：证矛盾.18去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).

性质3性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证因为部分和数列只相差一个常数。例如，19去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.续证注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.

例如例如，则级数

且和不变.20性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.续证注收敛级例4判断下列级数的敛散性：

因为都收敛，故原级数收敛，解且和为21例4判断下列级数的敛散性：因为都收敛，故原级数收敛，解且和例4判断下列级数的敛散性：

收敛；发散。22例4判断下列级数的敛散性：收敛；发散。22练习：P126习题8.1(A)3.4.(2)(4)(6)(8)23练习：P126习题8.1(A)23第二节常数项级数的审敛法

1、定义：这种级数称为正项级数.2、正项级数收敛的充要条件：定理一、正项级数的收敛问题24第二节常数项级数的审敛法1、定义：这种级数称为正项级证明比较审敛法定理(1)25证明比较审敛法定理(1)25(2)是(1)的等价命题.

注：定理的条件可放宽为：

证明比较审敛法定理26(2)是(1)的等价命题.注：定理的条件可放宽为：证明比解例1所以原级数收敛.

27解例1所以原级数收敛.27解例228解例228所以于是29所以于是29重要参考级数：几何级数,p-级数,调和级数.比较：30重要参考级数：几何级数,p-级数,调和级数.比较：30解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。31解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。31,设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数如果,当时;则(1)两级数有相同的敛散性(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;(2)当时，若收敛,则收敛;比较判别法的极限形式：32,设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数如果,当时;则证明由比较判别法,可知两级数有相同的敛散性.33证明由比较判别法,可知两级数有相同的敛散性.33证明由比较判别法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得结论.

34证明由比较判别法可知,(注意：不可逆)；由(2)即得结论例5例6例7例8所以原级数发散。收敛发散收敛35例5例6例7例8所以原级数发散。收敛发散收敛35常用等价无穷小：36常用等价无穷小：36例9解例10收敛。解37例9解例10收敛。解37例1138例1138例12解39例12解39证例13由基本不等式40证例13由基本不等式40比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)

证略.41比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)证例14例15收敛.解收敛.解42例14例15收敛.解收敛.解42例16解所以用比值法无法判断.用比较法,收敛.43例16解所以用比值法无法判断.用比较法,收敛.43解例17收敛.44解例17收敛.44例18解45例18解45根值判别法(柯西Cauchy判别法)：

证略.46根值判别法(柯西Cauchy判别法)：证略.46例19解所以级数收敛.

例20解所以级数收敛.

47例19解所以级数收敛.例20解所以级数收敛.47例21收敛.解48例21收敛.解48练习：P137习题8.22.(1)(3)(4)(5)(7)(8)3.(2)(4)(5)49练习：P137习题8.249二、交错级数及其审敛法定义：正、负项相间的级数称为交错级数.定理(莱布尼茨判别法)

如果交错级数满足条件称莱布尼茨型级数

50二、交错级数及其审敛法定义：正、负项相间的级数称为交错级数.证另一方面,

51证另一方面,51定理(莱布尼茨判别法)

如果交错级数满足条件注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.

52定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件注意：莱布尼兹例22解这是交错级数,

由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，称为交错

p—级数.所以级数收敛。53例22解这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，解所以级数收敛.例2354解所以级数收敛.例2354三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.55三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义：正项和负项任意出现的证明定理：由正项级数的比较判别法可知,

56证明定理：由正项级数的比较判别法可知,56上定理的作用：任意项级数正项级数说明：这是因为它们的依据是

如上例；

57上定理的作用：任意项级数正项级数说明：这是因为它们的依据是例24例25的绝对收敛,条件收敛或发散性.判定解故原级数绝对收敛.

判定的绝对收敛,条件收敛或发散性.解绝对收敛.

58例24例25的绝对收敛,条件收敛或发散性.判定解故原级数绝例26解59例26解59例27解即原级数非绝对收敛;60例27解即原级数非绝对收敛;60由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．61由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．61例28解所以级数发散；故原级数绝对收敛；62例28解所以级数发散；故原级数绝对收敛；62小结正

项

级

数任

意

项

级

数判别法4.充要条件5.比较法6.比值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;1.2.7.根值法63小结正项级数任意项级数判4.充要条件5.比较法练习：P137习题8.24.(2)(3)(4)5.(2)(3)

8.9*.10*.12*.64练习：P137习题8.264第四节幂级数

1、定义：一、函数项级数的一般概念65第四节幂级数1、定义：一、函数项级数的一般概念652、收敛点与收敛域：3、和函数：662、收敛点与收敛域：3、和函数：66解由达朗贝尔判别法，原级数绝对收敛.例167解由达朗贝尔判别法，原级数绝对收敛.例167原级数发散.收敛;发散;解例168原级数发散.收敛;发散;解例168二、幂级数及其收敛性1、幂级数的定义级数称为关于x的幂级数。69二、幂级数及其收敛性1、幂级数的定义级数称为关于x的幂级数。2、幂级数的收敛半径和收敛域702、幂级数的收敛半径和收敛域70证O定理(阿贝尔Abel定理)

71证O定理(阿贝尔Abel定理)71由正项级数的比较判别法知,

证72由正项级数的比较判别法知,证72由(1)结论,几何说明收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾.73由(1)结论,几何说明收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾.此时正数

R

称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?74此时正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收定理简单地讲，就是75定理简单地讲，就是75证76证76证毕.77证毕.77求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

例1解发散；收敛。78求下列幂级数的收敛半径和收敛域.例1解发散；收敛。78一般，求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

例179一般，求下列幂级数的收敛半径和收敛域.例179例2解例3解80例2解例3解80例4解收敛半径为

收敛；发散.81例4解收敛半径为收敛；发散.81发散收敛故收敛域为(0,1].例5解82发散收敛故收敛域为(0,1].例5解82缺少偶次幂的项级数收敛；例6解直接应用达朗贝尔判别法，83缺少偶次幂的项级数收敛；例6解直接应用达朗贝尔判别法，83级数发散,所以原级数的收敛域为级数收敛；级数发散；84级数发散,所以原级数的收敛域为级数收敛；级数发散；84练习：P154习题8.41.(1)(2)(4)(6)(8)

5.

85练习：P154习题8.4853、幂级数和函数的性质且收敛半径仍为R.

863、幂级数和函数的性质且收敛半径仍为R.86且收敛半径仍为R.

(2)逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生如下变化：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。87且收敛半径仍为R.(2)逐项积分或求导后,端点处的收敛性例1逐项求导,

再逐项求导,

88例1逐项求导,再逐项求导,88例1逐项积分,

89例1逐项积分,89换元，再逐项积分，例190换元，再逐项积分，例190例2解91例2解911、解逐项求导,

所以例3求下列幂级数的收敛域及和函数：921、解逐项求导,所以例3求下列幂级数的收敛域及和函数：2、解收敛半径932、解收敛半径933、解943、解944、解所以从而954、解所以从而954、解964、解965、解975、解97解6、98解6、98例4解所以由例3.4知，99例4解所以由例3.4知，99例5解积分得所以？100例5解积分得所以？100练习：P155习题8.42.(2)(4)(6) 9*.11*.(2)(4)101练习：P155习题8.4101三、函数的幂级数展开上节例题问题:2.如果能展开,是什么?3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?与求和函数的相反问题：求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数—函数的幂级数展开。102三、函数的幂级数展开上节例题问题:2.如果能展开,1、泰勒

Taylor

公式1031、泰勒Taylor公式103上述公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式。104上述公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式。1042、泰勒级数上式两端逐项求导，得1052、泰勒级数上式两端逐项求导，得105且展开式是唯一的.

106且展开式是唯一的.106定义的泰勒级数。

的麦克劳林级数。107定义的泰勒级数。的麦克劳林级数。107证由泰勒公式直接获证。108证由泰勒公式直接获证。1083、函数展开成幂级数(1)直接法(泰勒级数法)步骤：先讨论展开成麦克劳林级数.

2、写出幂级数，并求其收敛域

D.

如果是,则

f(x)在

D上可展开成麦克劳林级数

1093、函数展开成幂级数(1)直接法(泰勒级数法)步骤：先讨论展例1解110例1解110111111112112例2解113例2解113114114例3收敛域为：(

α

不为正整数)特别，115例3收敛域为：(α不为正整数)特别，115

根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.两边求导,得(2)间接法例4116根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代例5解117例5解117例6解118例6解118例7解所以

119例7解所以119所以例8解法1注意120所以例8解法1注意120解法2例8121解法2例8121常用的函数幂级数展开式122常用的函数幂级数展开式122(α不为正整数)123(α不为正整数)123例9解124例9解124例10解125例10解125例11解由幂级数展开式的唯一性，

因此，126例11解由幂级数展开式的唯一性，因此，126以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：其收敛域为D，

一般利用麦克劳林级数间接展开。127以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级例12解128例12解128例13解而129例13解而129解例13130解例13130例14解131例14解131例15