上海市普通高等学校春季招生考试数学试题

2005年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟。一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。1.方程的解集是.2..3.若，且，则.4.函数的反函数.5.在△中，若，，则.6.某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是(结果用最简分数表示).7.双曲线的焦距是.8.若，且，则.9.设数列的前项和为（）.关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3）若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.10.若集合，，则=.11.函数的值域是.12.已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时，.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.13.已知直线及平面，下列命题中的假命题是（A）若，，则.（B）若，，则.（C）若，，则.（D）若，，则.[答]()14.在△中，若，则△是（A）直角三角形.（B）等边三角形.（C）钝角三角形.（D）等腰直角三角形.[答]()15.若是常数，则“”是“对任意，有”的（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.[答]()16.设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.这些命题中，真命题的个数是（A）0个.（B）1个.（C）2个.（D）3个.[答]()三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17.(本题满分12分)已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.[解]18.(本题满分12分)已知是方程的两个根中较小的根，求的值.[解]19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.（1）证明：；（2）求底面中心到侧面的距离.[证明]（1）[解]（2）20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积

；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）[解]（1）（2）21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。已知函数的定义域为，且.设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.[解]（1）（2）（3）22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.第3小题满分5分。（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的方程是.设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为.证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）2005年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考答案及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1..2.0.3..4..5.16.6..7..8.11.9.（1）、（2）、（3）.10..11..12.110二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号DBAC三．（第17至22题）17.[解]设，，由题意得.……2分由题意得.……6分∴.∵，……9分根据条件，可知，解得，∴实数的取值范围是.……12分18.[解]∵是方程的较小根，∴方程的较大根是.∵+=，即∴.……5分解得，或.……8分当时，，；当时，，，不合题意.∴.……12分19.[证明]（1）取边的中点，连接、，则，，故平面.……4分∴.……6分[解]（2）如图，由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.过点作为垂足，则就是点到侧面的距离.……9分设为，由题意可知点在上，∴，.,……11分∴，∵，∴.即底面中心到侧面的距离为3.……14分20.[解]（1）2005年底的住房面积为（万平方米）,2006年底的住房面积为（万平方米）∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米.……6分（2）2024年底的住房面积为……10分（万平方米）∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.……14分21.[解]（1）∵，∴.……3分（2）设点的坐标为，则有，，由点到直线的距离公式可知：，故有，即为定值，这个值为1.……9分（3）由题意可设，可知.∵与直线垂直，∴，即，解得，又，∴.∴，，∴，当且仅当时，等号成立.∴此时四边形面积有最小值.……16分22.[解]（1）设椭圆的标准方程为，，∴，即椭圆的方程为，∵点（）在椭圆上，∴，解得或（舍），由此得，即椭圆的标准方程为.……5分（2）设直线的方程为，……6分与椭圆的交点()、()，则