空间距离的全部求法

空间距离的全部求法第1页，课件共49页，创作于2023年2月●基础知识一、七种空间中的距离1．两点间的距离——连结两点的

的长度．2．点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂线，

的长度．3．点到平面的距离——从点向平面引垂线，

的长度．4．平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，

的长度．点到垂足之间线段点到垂足间线段这点到垂足间线段线段第2页，课件共49页，创作于2023年2月5．异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的

的长度．6．直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，

的长度．7．两平行平面间的距离——夹在两个平面之间的

的长度．线段这点到垂足间线段公垂线段第3页，课件共49页，创作于2023年2月二、求距离的方法从空间中各种距离的定义看，它们基本上都是转化为两点间的距离来计算．因此，会求空间中两点的距离是基础，求点到直线和点到平面的距离是重点，求异面直线的距离是难点．求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离→线面距离→点面距离→点点距离．第4页，课件共49页，创作于2023年2月三、求距离的一般步骤1．找出或作出有关距离的图形．2．证明它们就是所求的距离．3．利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解．第5页，课件共49页，创作于2023年2月●易错知识一、公式应用失误．1．异面直线a、b所成的角60°，其公垂线为AB，且A∈a，B∈b，又M∈a，N∈b，且AM＝5，BN＝4，AB＝3，则MN＝__________.第6页，课件共49页，创作于2023年2月二、分析问题不全面致误．2．不共面的四个定点到平面α的距离相等，这样的平面α共有 ()A．3个B．4个C．6个D．7个解题思路：①如图设E、F、G分别为棱AB，AC，AD的中点，则过E、F、G三点的平面P就是高AH的垂直平分面，所以它与A、B、C、D四点等距．四面体有四条高，因此，这样的平面共有四个可作，因此，与A、B、C、D四点等距的平面有四个．第7页，课件共49页，创作于2023年2月②如图，设k，L分别为BD、BC的中点，则过K、L、F、G四点的平面就是异面直线AB、CD的公垂线段MN的垂直平分面，它与A、B、C、D四点距离相等．四面体有三对异面的棱，这样的平面共有3个，因此，这道题的正确答案是7个．故选D.答案：D第8页，课件共49页，创作于2023年2月●回归教材1．下列命题中：①PA⊥矩形ABCD所在的平面，则P、B两点间的距离等于点P到BC的距离；②若a∥b，a⊄α，b⊂α，则a与b的距离等于a与α的距离；③直线a、b是异面直线，a⊂α，b∥α，则a、b之间的距离等于b与α的距离；④直线a、b是异面直线，a⊂α，b⊂β，且α∥β，则a、b之间的距离等于α与β之间的距离其中正确命题的个数有 ()A．1个B．2个C．3个D．4个第9页，课件共49页，创作于2023年2月解析：①正确，如图1，点线距离可转化为点与点之间的距离；②不正确，如图2；③、④正确，如图3、图4，异面直线的距离常常可转化为线面或面面之间的距离．故选C.答案：C第10页，课件共49页，创作于2023年2月2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是 ()A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析：平面ABC可以与α平行、相交(包括垂直)，故排除A、B、C，选择D.答案：D第11页，课件共49页，创作于2023年2月3．点P是▱ABCD所在平面外一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD ()A．是正方形 B．是长方形C．有一个内切圆 D．有一个外接圆解析：根据射影长定理，知P的射影O到四边距离相等，所以选C.答案：C第12页，课件共49页，创作于2023年2月4．(教材改编题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1.则C1D1的中点E到直线AB的距离为 ()解析：易知其距离为线段BC1的长，BC1的长为.答案：B第13页，课件共49页，创作于2023年2月5．已知直角三角形EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF、EG和α分别成30°和45°角，则FG到α的距离为 ()答案：B第14页，课件共49页，创作于2023年2月【例1】(2008·启东中学模拟)P为四面体SABC的侧面SBC内的一点，若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的 ()A．线段或圆的一部分B．椭圆或双曲线的一部分C．双曲线或抛物线的一部分D．抛物线或椭圆的一部分第15页，课件共49页，创作于2023年2月[解析]

本题考查学生对圆锥曲线定义的掌握程度；培养学生的探究能力、迁移能力、将空间图形与平面图形的转化能力．如图，过点P作PH⊥面ABC于点H，再过点P作PO⊥BC于点O，则∠POH等于二面角S—BC—A的平面角α，从而 由条件知PH＝PS，所以 ＝sinα，当α＝时，动点P的轨迹是抛物线的一部分；当α≠时，动点P的轨迹是椭圆的一部分，故选D.

[答案]

D第16页，课件共49页，创作于2023年2月(2007·西安八校联考)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，则动点P的轨迹是 ()A．线段B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案：D第17页，课件共49页，创作于2023年2月解析：P到直线BC的距离即为P到点B的距离，于是由抛物线的定义知，P点的轨迹为(以AA1为准线，B为焦点的)抛物线的一部分，故选D.第18页，课件共49页，创作于2023年2月【例2】(2009·重庆，19)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝，D、E两点分别在AB、AC上，使＝＝2，DE＝3.现将△ABC沿DE折成直二面角，求：第19页，课件共49页，创作于2023年2月(1)异面直线AD与BC的距离；(2)二面角A－EC－B的大小(用反三角函数表示)．[命题意图]

本题主要考查异面直线之间的距离以及二面角的作法和求法，以及空间向量的运用，关键是注意折叠问题中折前与折后的不变量．第20页，课件共49页，创作于2023年2月[解析]

(1)在图(1)中，因 故DE∥BC.又因为∠B＝90°，从而AD⊥DE.在图(2)中，因A－DE－B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线．下面求DB的长，在图(1)中，又已知DE＝3，从而

第21页，课件共49页，创作于2023年2月第22页，课件共49页，创作于2023年2月(2)在图(2)中，过D作DF⊥CE，交CE的延长线于点F，连接AF，由(1)知，AD⊥底面DBCE.由三垂线定理知AF⊥FC，故∠AFD为二面角A－EC－B的平面角．在底面DBCF中，∠DEF＝∠BCE，第23页，课件共49页，创作于2023年2月从而在Rt△DFE中，DE＝3，DF＝DEsin∠DEF＝DEsin∠BCE＝在Rt△AFD中，AD＝4，tan∠AFD＝因此所求二面角A－EC－B的大小为第24页，课件共49页，创作于2023年2月如下图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N，(1)求证：MN是异面直线AC与BC1的公垂线；(2)求异面直线AC与BC1间的距离．第25页，课件共49页，创作于2023年2月解析：(1)欲证MN⊥AC且MN⊥BC1，只要证明

第26页，课件共49页，创作于2023年2月总结评述：异面直线间的距离要控制难度，只要会求给出的公垂线段的情况．此题若不提示点P的位置而要你直接求AC与BC1间的距离，则难度大得多．作为开阔思路，想一想，还有哪些方法可求之.第27页，课件共49页，创作于2023年2月【例3】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M—DE—A为30°.(1)证明：A1B1⊥C1D；(2)求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．第28页，课件共49页，创作于2023年2月[命题意图]

本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象力与思维能力．[解析]

(1)证明：如图连结CD.∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC＝BC，D为AB中点．∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D.第29页，课件共49页，创作于2023年2月(2)解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影，∴MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA＝30°.第30页，课件共49页，创作于2023年2月在Rt△MAF中，∠MFA＝30°，作AG⊥MF，垂足为G.∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∴平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE.

第31页，课件共49页，创作于2023年2月在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF＝，∴AG＝，即A到平面MDE的距离为.∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为.第32页，课件共49页，创作于2023年2月解法二：过点A作CE的平行线，交DE的延长线于F，连结MF.∵D、E分别为AB、CB的中点，∴DE∥AC，又∵AF∥CE，CE⊥AC，∴AF⊥DE.∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影，∴MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M—DE—A的平面角，∠MFA＝30°.第33页，课件共49页，创作于2023年2月在Rt△MAF中， ∠MFA＝30°，设C到平面MDE的距离为h.∵VM—CDE＝VC—MDE，第34页，课件共49页，创作于2023年2月第35页，课件共49页，创作于2023年2月(2009·重庆，19)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求：(1)点A到平面BCS的距离；(2)二面角E－CD－A的大小．第36页，课件共49页，创作于2023年2月解析：(1)因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，所以AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面CSD，从而AD⊥DS.由AD∥BC，得BC⊥DS.又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，从而DS为点A到平面BCS的距离．第37页，课件共49页，创作于2023年2月(2)如图，过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，故∠EGH为二面角E－CD－A的平面角，记为θ.过E点作EF∥BC，交CS于点F，连结GF.因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，易知GH⊥GF，故θ＝－∠EGF.第38页，课件共49页，创作于2023年2月第39页，课件共49页，创作于2023年2月第40页，课件共49页，创作于2023年2月【例4】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2(如图)(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离．第41页，课件共49页，创作于2023年2月[分析]

证面面平行，只需证其中一个平面内的某两条相交直线平行于另一个平面，而计算面面距离，除找公垂线段外，还可求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，也可用“等体积法”计算．第42页，课件共49页，创作于2023年2月[解]

(1)由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1.同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1；(2)设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为