（新教材）【人教A版】必修一2.3.1（数学）

2.3

二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是:ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).【思考】(1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗?提示:不是,一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗?提示:不可以,若a=0,就不是二次不等式了.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根(x1<x2)有两个相等的实数根(x1=x2)无实数根Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【思考】仔细观察上表,回答下列问题(1)有人说:当Δ>0时,表中的x1,x2有三重身份,你能说出是哪三重身份吗?提示:x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点),又是一元二次方程的两个解,还是一元二次不等式解集的区间端点.(2)当Δ=0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0(a>0)的解集分别是什么?提示:R,{x|x=x1}【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. (

)(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (

)(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. (

)(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. (

)提示:(1)×.当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.(2)×.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等ax2+bx+c>0的解集为∅.(3)×.当二次项系数小于0时,不等式f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.(4)√.当Δ<0时,一元二次不等式的解集为空集,此时函数无零点.2.不等式2x≤x2+1的解集为 (

)A.∅

B.RC.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}【解析】选B.因为2x≤x2+1,所以x2-2x+1≥0,所以(x-1)2≥0,所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为______.

【解析】方程(2x-5)(x+3)=0的两根为x1=,x2=-3,函数y=(2x-5)(x+3)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)和,所以不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为

.答案:

类型一解一元二次不等式【典例】解下列不等式.(1)3x2-5x-2<0(2)-3x2+6x≤2(3)4x2-12x+9>0(4)-x2+6x-10>0【思维·引】结合二次函数的图象及一元二次方程求解.【解析】(1)Δ=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,因此方程3x2-5x-2=0有两个不相等的实数根,解得x1=-,x2=2,作出函数y=3x2-5x-2的图象,如图1,结合图象可得原不等式的解集为 .(2)方程3x2-6x+2=0中,Δ=12>0,所以方程3x2-6x+2=0有两个不相等的实数根,解得,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2,结合图象可得原不等式的解集为 .(3)方程4x2-12x+9=0中,因为Δ=0,所以方程4x2-12x+9=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=,作出函数y=4x2-12x+9的图象,如图3,结合图象可得原不等式的解集为 .(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,在方程x2-6x+10=0中,因为Δ<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,所以原不等式的解集为∅.【素养·探】本例考查解一元二次不等式,同时考查逻辑推理与直观想象的核心素养.若把本例(2)改为“0≤x2-x-2≤4”,该如何求解?【思维·引】可以转化为由两个不等式组成的不等式组,再求两个不等式解集的交集.【解析】原不等式可以化为由①,得x≥2或x≤-1.由②,得-2≤x≤3.所以不等式组的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3},所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}.【类题·通】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零.(2)计算相应的判别式.(3)当Δ>0时,求出相应的一元二次方程的两根.(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集.【习练·破】1.（2019·天津高考）设x∈R，使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为________.【解析】3x2+x-2<0，即(x+1)(3x-2)<0，即-1<x<，故x的取值范围是答案：2.解不等式:(1)2x2-3x-2<0.(2)x2-2x+2>0.【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.因为函数是开口向上的抛物线,如图(1),所以不等式的解集是 .(2)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线,如图(2),所以原不等式的解集为R.【加练·固】不等式组 的解集为______.

【解析】由 得

所以0<x≤1或2≤x<3.答案:{x|0<x≤1或2≤x<3}类型二三个“二次”之间的关系【典例】若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集. 世纪金榜导学号【思维·引】结合三个“二次”之间的关系求解.【解析】因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得,所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0,即x2-2x-15≥0,解得x≤-3或x≥5,故所求不等式的解集为{x|x≤-3或x≥5}.【内化·悟】1.一元二次不等式解集与一元二次方程之间有何关系?提示:一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根.2.不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}与不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|-3≤x≤4}中,引起解集不同的原因是什么?提示:a值的正负不同.【类题·通】给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.(1)如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|d<x<e},则说明a<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|x<d或x>e},则说明a>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.(2)如果不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|d<x<e},则说明a>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|x<d或x>e},则说明a<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.【习练·破】若不等式ax2+bx+c≥0的解集是 ,求不等式cx2+bx+a<0的解集.【解析】由ax2+bx+c≥0的解集是知a<0,又×2=<0,则c>0.又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根,所以.所以,所以.所以不等式变为<0,即2ax2+5ax-3a>0.又因为a<0,所以2x2+5x-3<0.所求不等式的解集为

.类型三解含参数的一元二次不等式角度1对“Δ”进行讨论【典例】解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0. 世纪金榜导学号【思维·引】按照求一元二次不等式的解集的方法求解,由于判别式中含有参数a,因此应注意对判别式进行讨论.【解析】因为Δ=4a2-8,所以Δ<0,即-<a<时,原不等式对应的方程无实根.又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.当Δ=0时,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根.当a=时,原不等式的解集为{x|x=};当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}.当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等实数,分别为x1=a-,x2=a+,且x1<x2,所以原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.综上所述,当-<a<时,原不等式的解集为∅;当a=时,原不等式的解集为{x|x=};当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.角度2对“解的大小”进行讨论【典例】解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).【思维·引】由于对应的一元二次方程有解,但解的大小不确定,故需要对解的大小进行讨论.【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0.对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.①当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a};②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}.综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时,原不等式的解集为∅;当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.角度3对“二次项系数”进行讨论【典例】解关于x的不等式a(x2+1)≥2x. 世纪金榜导学号【思维·引】由于a为二次项的系数,需要对a是否为0讨论,同时由于a的值不确定,还需要对对应方程的两根的大小进行讨论.【解析】原不等式可化为ax2-2x+a≥0.(1)当a=0时,不等式化为-2x≥0,解得x≤0.(2)当a>0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).①0<a<1时,Δ>0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的实数根,x1=,x2=,所以此时x≤或x≥.②a=1时,不等式化为x2-2x+1≥0,此时x∈R.③a>1时,Δ<0,也有x∈R.(3)当a<0时,Δ=4-4a2=4(1-a2).①-1<a<0时,Δ>0,此时方程ax2-2x+a=0有两个不相等的实数根,x1=,x2=,所以此时≤x≤.②a=-1时不等式化为-x2-2x-1≥0解得x=-1.③a<-1时,Δ<0,有x∈∅.综上可知:当a<-1时,不等式的解集为∅.当a=-1时,不等式的解集为{x|x=-1}.当-1<a<0时,不等式的解集为

.当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0}.当0<a<1时,不等式的解集为