人教版高中数学必修第二册抛物线的几何性质221400

抛物线的几何性质教学目标〔1〕灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；〔2〕会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题；〔3〕会证明抛物线的简单几何性质．教学重点，难点抛物线的几何性质，以及抛物线与直线的位置关系．教学过程一．问题情境1．情境：复习回顾：抛物线的定义及几何性质．二．学生活动（-m,0）练习：①抛物线mx+ny2=0（m∙n丰0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是4n ,mx二一Iml准线方程是 4n,离心率是1,通径长n．②抛物线y2=2X上的两点A、B到焦点的距离之和为5,那么线段AB的中点的横坐标是2．③顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2X-y―4=0所得的弦长为，求抛物线的方程.（答案：y2=4X或y2=-36X）解：设抛物线的方程为y2=2QX（">0）.Iy2=2aX,由12X-y-4=0,消去y,得2X2—(8+a)X+8=0(1)那么A=(8+a)2-4×2×8=a2+16a>0,解得a<-16或a>0.8+a

X+X= ,设方程⑴的两根为X1，X2，那么12 2，X1X2=4由题知，弦长=MKFTξ)2二%'K|TX2|一、/5、：(x+X)2-4XX-二W.2+16a=3.5\ 1 2 12 2,即a2+16a-36=0,解得a=2或a=-18.因此所求的抛物线方程为＞2=4X或w=-36X.三.数学运用1.例题：例1.斜率为1的直线l经过抛物线＞2=4X的焦点F,且与抛物线相交于4B两点,求线段AB的长.解：法一如练习③法二设直线方程为y=X-1,A(Xi,乂)、B(X2,＞2)，IABI=IAFI+1FBI=IACI+1BDI=X+p+X+p=X+X+P那么由抛物线定义得 122212 ,JW=4X,又A(xJyjB(X2,y2)是抛物线与直线的交点，由I丁=X-1,得X2-6X+1=0,那么x1+X2=6，所以iABi=8.焦点弦的长度iAbi=P+x1+X2.〔由学生找出其他三种情况的焦点弦的长度〕练习：过抛物线＞2=8X的焦点，作倾斜角为45的直线，那么被抛物线截得的弦长为^求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切证明：〔法一〕设抛物线方程为＞2=2PX,过焦点F的弦AB为直径的圆的圆心M,2F(P0) X尸一p那么焦点,准线乙12.设以A、B、M在准线上m-7δ-tM1∕/ 不5 BlN 立的射影分别是A、,m1,那么IAA11+1BB1I=IAFI+1BFI=IABI,又IAAI+1BBI=2IMMI又1 1 1，IMMI=-IABI・•.12 ，即iMMii为以AB为直径的圆的半径，且准线11MM1，・•・命题成立.F(p,0) X=—p〔法二〕设抛物线方程为12=2PX，那么焦点2，准线2.过点F的抛物线的弦的两个端点a(x1,X)，B(X2,>2)，线段Ab的中点M(>>o)，那么,…，PPIABI=X++X+=X+X+p12 2 2 12r=—IABI=ɪ(X+X+p)・•・以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径 2 21 2.P JPX+XP1/ 、X=- d=X+ = 2+ =—(X+X+P)点M到准线2的距离02 2 2212 ,・・・圆M与准线相切.例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线>2=2PX(P>0)上，求这个正三角形的边

长.解：设正三角形^AB的顶点A、B在抛物线上，且设点A(X1,y1),B(X2,y2)，那么y12=2PX1，y2=2PX 又IOAI=IOBI2 2,人所以X2+y2=X2+y21 1 2 2，,即(X2 2)+2P(X-X)=O(x-x)(x+x+2p)=01 2 1 2•∙λ>0x>02p〉0 ∙x=x, 1 , 2 , , ∙∙ 1 2*由此可得CMy21，即线段AB关于X轴对称.&=tan30°=-因为％轴垂直于AB,且乙4。％=30。，所以' 3X1S,.∙,yι=2^p...IA8l=2y4岛例4.定长为3的线段AB的两端点在抛物线W=X上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离.1 1F(-,0) X=—解：抛物线焦点4 ,准线/： 4,设点A、B、/在准线/上的射影分别是ABM港占M(X,y)那么IAAJ+I6qI=IAF∖+∖BFl≥lABI,∖MM∖=-(∖AA∖+∖BB∖)≥-∖AB∖又12Iɪ2IMM=x+-IgC又I04,I3,1、3 、5 5X+—之一 X≥— —・