2006年秋季学期《线性代数》期末复习大纲

2006年秋季学期《线性代数》期末复习大纲一、考试形式：闭卷二、参考书：课本，杨荫华版三、试卷结构题型包括选择、填空和计算题。其中，选择4道20分，填空4道20分，大题3道60分。四、复习要求1、复习基础知识在复习过程中，我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍，掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面。例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是sXn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)=r(或r(A)＝r，秩A＝r)．显然，定义中内涵的要点有：1．A中至少有一个r阶子式不为零；2．所有r阶以上均为零．3．若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零．要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．例1设A是m×n矩阵，r(A)＝r<MIN(M，N)，则A中()(A)至少有一个r阶子式不为零，没有等于零的r-1阶子式．

(B)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．

(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式．

(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零．

答案：(B)基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要．只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历次考试中，不乏有教训惨痛的人．2、活用概念线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，所以我们应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．五、知识复习第一部分线性代数中的最基本概念基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1.矩阵(1)基本概念矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.(2)线性运算和转置加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个mn的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律:=1\*GB3①加法交换律:A+B=B+A.=2\*GB3②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).=3\*GB3③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.=4\*GB3④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.=5\*GB3⑤cA=0c=0或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT(或A).有以下规律:=1\*GB3①(AT)T=A.=2\*GB3②(A+B)T=AT+BT.=3\*GB3③(cA)T=(cA)T.(3)n阶矩阵几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上(下)三角矩阵:主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.(4)矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种:=1\*GB3①交换两行的上下位置.=2\*GB3②用一个非0的常数乘某一行的各元素.=3\*GB3③把某一行的倍数加到另一行上.类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:=1\*GB3①如果它有零行,则都出现在下面.=2\*GB3②每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.2.向量(1)基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成a1(a1,a2,,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边n1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别.一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,,n时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2,,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如向量的相等,零向量等等.这里从略.(2)线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复述了.向量组的线性组合:设1,2,,s是一组n维向量,c1,c2,,cs是一组数,则称c11+c22+,+css为1,2,,s的(以c1,c2,,cs为系数的)线性组合.它也是n维向量.3．线性方程组(1)基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2++a1nxn=b1,a21x1+a22x2++a2nxn=b2,am1x1+am2x2++amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵a11a12a1na11a12A=a21a22a2n和(A|)=a21am1am2amnam1am2amnbm为方程组的系数矩阵和增广矩阵.如果b1=b2==bm=0,则称为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,,kn),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组的解,因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).(2)同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种:=1\*GB3①交换两个方程的上下位置.=2\*GB3②用一个非0的常数乘某个方程.=3\*GB3③把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组的基本求解方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组的增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表的阶梯形方程组(它是原方程组的同解方程组),用它求解.第二部分行列式1.形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式.如果行列式的列向量组为1,2,,n,则此行列式可表示为|1,2,,n|.意义:是一个算式,把n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!(不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.2.定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11a12a21a22=a11a22-a12a11a12a13a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31a一般地,一个n阶行列式a11a12a21a22an1an2ann的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2jn构成1,2,,n的一个全排列(称为一个n元排列),一共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项..所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2jn)为全排列j1j2jn的逆序数(即小数排列在大数后面的现象出现的个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因此(231645)=4),则所乘的是于是a11a12a21a22an1an2ann这里表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.3.性质行列式有以下性质:=1\*GB3①把行列式转置值不变,即|AT|=|A|.=2\*GB3②某一行(列)的公因子可提出.=3\*GB3③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式=4\*GB3④把两个行(列)向量交换,行列式的值变号.=5\*GB3⑤如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.=6\*GB3⑥如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变.把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式.=7\*GB3⑦行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.=8\*GB3⑧某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.=9\*GB3⑨如果A与B都是方阵(不必同阶),则A*=AO=|A|+|B|.OB*B范德蒙行列式:形如1111a1a2a3a12a22a3a1n-ia2n-ia3n-iann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2,a3,,an所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0a1,a2,a3,,a4.计算行列式的核心问题是值的计算.(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质=6\*GB3⑥把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用=7\*GB3⑦,对这行(列)展开.例如设4阶行列式1111D=-2x31,22x4334x取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到1000x+253x-22D=-2x+253=0x-22=(x+2)1x-3=(x+2)[(x-2)(x-3)-2]=(x+2)(x-1)(x-4).20x-2201x-3301x-3(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式.5.克莱姆法则克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n(即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D,D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值,Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明:=1\*GB3①按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.(实际求解方法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时变为解.)=2\*GB3②法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.练习题一1．计算行列式(1)2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2.(2)14916491625916253616253649.2.(1)a00b(2)a10a20000b10b200c10c00d.0d10d2.3.计算n阶行列式(1)123…n-1n-123…n-1n-1–23…n-1n…………-1–2–3…1-nn．(2)1-2-2…-2-2(3)123…n(4)1a10…0022-2…-2-2212…n-1-11-a1a2…0223…-2-2321…n-20-11-a2…00……………222…2n．nn-1n-2…1．000…-11-an．4.设4阶矩阵A=(,1,2,3),B=(,1,2,3),|A|=2,|B|=3,求|A+B|.5.一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a=().6.x3-31-32x+2多项式f(x)=-75-2x1，求f(x)的次数，最高次项的系数和常数项.X+3-133x2-29x36-67.x-2x-1x-2x-3求多项式f(x)=2x-22x-12x-22x-3的次数.3x-33x-24x-53x-54x4x-35x-74x-38.已知x-3a-14f(x)=5x-80–2的根为x1,x2,x3,x4,求x1+x2+x3+x4.bx+11221x9.求行列式0100……0的全部代数余子式的和.002-10……00003-1……0…………0000……(n-1)-1n-1000……010．abcd已知行列式x-1-yz+1的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1-zx+3yy-2x+10z+3参考答案1.(1)把各列都加到第1列上,提出公因子.得(4a+2)(a-2)4.(2)自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.2.用换行(列)的方法.得(1)(ad-bc)|B|.(3)(a1c2-a2c1)(b1d2-b2d3.(1)提示：把第一行加到其它各行．得2n-1n!．(2)第3到n行各减第二行．得(n+2)!/4．(3)提示：自下而上各行减去上行．得(-1)n-12n-2(n+1)．(4)提示：从第2行起，自上而下各行加上行．得1．4.得40.5.得8.6.最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9,6,0.7.2.8.提示:利用特征值的性质.得10.9.提示:利用伴随矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三部分线性方程组1.线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：矩阵式AX=，(齐次方程组AX=0).向量式x11+x22+,+xss=，(齐次方程组x11+x22+,+xss=0).2.线性方程组解的性质(1)齐次方程组AX=0如果1,2,,s是齐次方程组AX=0的一组解,则它们的任何线性组合c11+c22++css也都是解.(2)非齐次方程组AX=(0)如果1,2,,s是AX=的一组解,则=1\*GB3①它们的线性组合c11+c22++css也是AX=解的c1+c2++cs=1.=2\*GB3②它们的线性组合c11+c22++css是AX=的解c1+c2++cs=0.如果0是AX=的一组解,则n维向量(n是未知数的个数)也是解-0是导出齐次方程组AX=的解.(是0和AX=的一个解的和.)3.线性方程组解的情况的判别对于方程组AX=,判别其解的情况用三个数:未知数个数n,r(A),r(A|).=1\*GB3①无解r(A)<r(A|).=2\*GB3②有唯一解r(A)=r(A|)=n.(当A是方阵时,就推出克莱姆法则.)=3\*GB3③有无穷多解r(A)=r(A|)<n.方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它r(A)和r(A|)的上限,因此当r(A)=m时,AX=一定有解.当m<n时,一定不是唯一解.对于齐次方程组AX=,判别解的情况用两个数:n,r(A).有非零解r(A)=<n(只有零解r(A)=n).推论当A的秩等于列数n时,A在矩阵乘法中有左消去律:AB=B=AB=ACB=C4.齐次方程组基础解系线性方程组的通解(1)齐次方程组基础解系如果齐次方程组AX=有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=的基础解系.于是,当1,2,,s是AX=的基础解系时,向量是AX=的解可用1,2,,s线性表示.定理设AX=有n个未知数,则它的解集的秩(即基础解系中包含解的个数)等于n-r(A).于是,判别一组向量1,2,,s是AX=的基础解系的条件为=1\*GB3①1,2,,s是AX=的一组解.=2\*GB3②1,2,,s线性无关.=3\*GB3③s=n-r(A).(2)线性方程组的通解如果1,2,,s是齐次方程组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为c11+c22++css,其中c1c2,cs可取任何常数.如果0是非齐次方程组AX=的解,1,2,,s是导出组AX=的基础解系,则AX=的通解(一般解)为0+c11+c22++css,其中c1c2,cs可取任何常数.练习题四1.求齐次方程组的基础解系和通解:3x1+2x2x3+3x4+5x5=0，6x1+4x23x3+5x4+7x5=0，9x1+6x25x3+7x4+9x5=0，3x1+2x2+4x4+8x5=0.2.已知方程组x1+x22x3+3x4=1，x1+3x2x3+x4=3，3x1-x2k1x3+15x4=3，x1-5x2-10x3+x4=k2有有无穷多个解,求k1,k2的值,并求此方程组的通解.3.x1+kx22x3=1，已知方程组x1-x2kx3=，有无穷多个解,求k的值,并求此方程组的通解.-5x1+5x2+4x3=14.x1+2x2-x3+x4=0,已知齐次方程组x2+px3+x4=0,的基础解系含两个解,求p,q的值和方程组的通解.2x1+3x2-x3+qx4=05.(1+a)x1+x2+x3=3a+a2,a为何值时,线性方程组x1+(1+a)x2+x3=3a2+a3,有无穷多解?写出通解.x1+x2+(1+a)x3=3a3+a46.11111设=2104，=a．已知线性方程组X有解求a,b,并写出通解.063543-1b7.x1+x2+x3=0,已知齐次线性方程组x1+2x2+px3=0,有非零解,则p=.x1+4x2+p2x3=08.设是mn矩阵,它的列向量组为1,2,…,n,则(A)如果非齐次方程组X=有唯一解,则m=n,并且||不为0.(B)如果1,2,…,n线性相关,则非齐次方程组X=有无穷多解.(C)总存在m维向量,使得方程组X=有无解.(D)如果X=有唯一解,则mn.1239．设Q=24t，矩阵P0，使得PQ=0，则()369(A)当t=6时，r(P)=1；(B)当t=6时，r(P)=2；(C)当t6时，r(P)=1；(D)当t6时，r(P)=2．10.设η1,η2,η3是齐次方程组X=0的一个基础解系，则()也是X=0的基础解系.(A)η1-η3,η2-η1,η3-η2.(B)η1,η2-η3.(C)η1+η2,η2-η3,η1+η2+η3.(D)η1+η2,η2+η3,η3+η1,η1+η2+η3.11.设,,是元非齐次线性方程组AX=的三个无关线性的解，已知r(A)=1,则()(A),,是X=0的基础解系.,(B)c(-2)是X=0的通解.(C)c1+c2+c3(c1+c2+c3=0)是X=0的通解.(D),是X=0的基础解系.12.设是mn矩阵,非齐次方程组X=有无穷多解,则()正确.(A)X=O有非零解.(B)mn.(C)nm.(D)m=n并且||=0.13.设是mn矩阵，r()=n-2，1,2,3是非齐次方程组X=的三个不同解，则(A)1,2,3线性相关(B)1-2,2-3是齐次方程组X=的基础解系.(C)当1,2,3线性无关时则{k11+k22+k33，其中k1,k2,k3是满足k1+k2+k3=1的任何数.}是X=的通解(D)1,2,3的任何线性组合都是X=的解.14．设1,2,3,4是非齐次方程组X=的四个不同解，并且a1+2-b3+24也是X=的解，1-2b2+a3-34是X=的解，则a=，b=.15.已知1(0,1,0)和2=(-3,2,2)都是方程组x1-x2+2x3=-1,3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d的解,求通解.16．设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为x1+x2=0，x3-x4=0，(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)，(-1，2，2，1)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．17．设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅲ)是将它们合并而得到的方程组．已知(1，0,1,1),(-1,0,1,0),(0,1,1,0)是(Ⅰ)的一个基础解系,(0,1,0,1),(1，1，-1，0)是(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅲ)的通解．18．已知方程组x1+2x2-x3+x4=mx1+3x3=-2(Ⅰ)3x1+nx2+3x3+2x4=-11(Ⅱ)x2-2x3=52x1+2x2+px3+x4=-4x4=-10同解，求m，n，p．19．设B是3阶非零矩阵，它的每个列向量都是方程组x1+2x2-2x3=02x1-x2+kx3=03x1+x2-x3=0的解．求k，并证明|B|=0．20．设(Ⅰ)是有n个未知数的非齐次线性方程组，系数矩阵的秩为s，证明：如果(Ⅰ)有解，则=1\*GB2⑴(Ⅰ)有n-s+1个线性无关的解.=2\*GB2⑵(Ⅰ)的任意n-s+2个解都线性相关．21.设A是mn实矩阵．证明=1\*GB2⑴r(ATA)=r(A)；=2\*GB2⑵r(A)=nATA可逆．22.证明n元非齐次线性方程组AX=有解ATY=0的解都适方程TY=0.23.x1+x2+x3-x4=13，3x1+mx2+3x3+2x4=h，已知线性方程组(=1\*ROMANI)x2-4x3+x4=0,的解都满足方程组(=2\*ROMANII)x1+nx2-x3+x4=k，x1-x2+5x3=-7求m,n,h,k,并求(=2\*ROMANII)的一般解.24．设1=(1,a,2,-1),2=(1,3,a,1),3=(1,2,3,1),4=(3,6,7,-1),5=(1,1,3,-1),已知1,2,3,4线性相关,5可用1,2,3,4线性表示,求a,并写出5用1,2,3,4线性表示的一般表示式.25．设线性方程组(=1\*ROMANI)与(=2\*ROMANII)有公共的非零解,其中(=1\*ROMANI)为3x1+5x2+2x3-4x4=0,x1+x2+x3+x4=0，x1+tx2+2x3=0(=2\*ROMANII)有基础解系η1=(1,-1,1,0),η2=(-2p,p,1,1),求p,t的值和全部公共解.参考答案7.p=1或2.8.(C).1239．设Q=24t，矩阵P0，使得PQ=0，则()369(1)当t=6时，r(P)=1；(2)当t=6时，r(P)=2；(3)当t6时，r(P)=1；(4)当t6时，r(P)=2．10.(C).11.(B).12.(A).13.(C)14．a=-6，b=-4.15.已知1(0,1,0)和2=(-3,2,2)都是方程组x1-x2+2x3=-1,3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d的解,求通解.16．设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为x1+x2=0，x3-x4=0，(Ⅱ)有一个基础解系(0，1，1，0)，(-1，2，2，1)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．17．设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅲ)是将它们合并而得到的方程组．已知(1，0,1,1),(-1,0,1,0),(0,1,1,0)是(Ⅰ)的一个基础解系,(0,1,0,1),(1，1，-1，0)是(Ⅱ)的一个基础解系．求(Ⅲ)的通解．18．已知方程组x1+2x2-x3+x4=mx1+3x3=-2(Ⅰ)3x1+nx2+3x3+2x4=-11(Ⅱ)x2-2x3=52x1+2x2+px3+x4=-4x4=-10同解，求m，n，p．23.x1+x2+x3-x4=13，3x1+mx2+3x3+2x4=h，已知线性方程组(=1\*ROMANI)x2-4x3+x4=0,的解都满足方程组(=2\*ROMANII)x1+nx2-x3+x4=k，x1-x2+5x3=-7求m,n,h,k,并求(=2\*ROMANII)的一般解.(m=3,n=2,h=-11,k=-2.)24．a=2,5=(1+2c)1-2+(1+c)3-c4.25．p=-2,t=3,c(0,2,-3,1).第四部分n维向量空间向量组的线性关系与秩1.向量组的线性表示关系如果n维向量等于n维向量组1,2,,s的一个线性组合，就说可以用1,2,,s线性表示.判别“是否可以用1,2,,s线性表示?表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x11+x22++xss=是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以1,2,,s为增广矩阵的线性方程组设1,2,,s和1,2,,t都是n维向量组,如果每个i都可以用1,2,,s线性表示,则说向量组1,2,,t可以用1,2,,s线性表示.例如,乘积矩阵AB的列向量组可以用A的列向量组线性组合.反之,如果向量组1,2,,t可以用1,2,,s线性表示,则矩阵(1,2,,t)等于矩阵(1,2,,s)和一个st矩阵C的乘积.C可以这样构造:它的第i个列向量就是i对1,2,,s的分解系数.当向量组1,2,,s和1,2,,t互相都可以表示时就说它们互相等价并记作1,2,,s1,2,,t向量组的线性表示关系有传递性从而等价关系也有传递性2.向量组的线性相关性线性相关性是描述向量组内在关系的概念.定义设1,2,,s是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,,cs使得c11+c22+,+css=0,则说1,2,,s线性相关否则(即要使得c11+c22+,+css=0,必须c1,c2,,cs全为0)就说它们线性无关.于是,1,2,,s“线性相关还是无关”即x11+x22+,+xss=0“有还是没有非0解”,也就是以(1,2,,s)为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.一个向量(s=1)相关(无关)即它是(不是)零向量.与线性相关性有关的性质:=1\*GB3①1,2,,s线性相关至少有一个i可以用其它向量线性表示.=2\*GB3②当向量的个数s大于维数n时,1,2,,s一定线性相关.=3\*GB3③线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量就不是0).=4\*GB3④如果1,2,,s线性相关而1,2,,s线性相关则可用1,2,,s线性表示.=5\*GB3⑤如果可用1,2,,s线性表示则表示方式唯一1,2,,s线性无关.=6\*GB3⑥如果1,2,,t可以用1,2,,s线性表示，并且t>s,则1.2,,t线性相关.推论如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.3.向量组的极大无关组和秩秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.定义设1,2,,s是n维向量组,(=1\*ROMANI)是它的一个部分组.如果=1\*GB3①(=1\*ROMANI)线性无关.=2\*GB3②(=1\*ROMANI)在扩大就线性相关.就称(=1\*ROMANI)为1,2,,s的一个极大无关组.条件=2\*GB3②可换为:任何I都可用(=1\*ROMANI)线性表示也就是(=1\*ROMANI)与1,2,,s等价当1,2,,s不全为零向量时它就存在极大无关组并且任意两个极大无关组都等价从而包含的向量个数相等定义如果1,2,,s不全为零向量则把它的极大无关组中所包含向量的个数是一个正整数称为1,2,,s的秩记作r(1,2,,s).如果1,2,,s全是零向量则规定r(1,2,,s)=0.秩有以下性质:=1\*GB3①1,2,,s线性无关r(1,2,,s)=s.=2\*GB3②可用1,2,,s线性表示r(1,2,,s，)=r(1,2,,s).(见例3.2)=3\*GB3③如果r(1,2,,s)=k,则=1\*romani)1,2,,s的每个含有多于k个向量的部分组相关.=2\*romanii)1,2,,s的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组..=4\*GB3④如果1,2,,t可以用1,2,,s线性表示,则r(1,2,,t)r(1,2,,s).如果1,2,,s和1,2,,t等价,则r(1,2,,s)=r(1,2,,t).极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上(即包含的向量的个数不必有限),所有性质仍然成立.4.有相同线性关系的向量组两个向量数相同的向量组1,2,,s和1,2,,s称为有相同线性关系,如果向量方程x11+x22++xss=0和x11+x22++xss=0同解.(例如,当A经过初等行变换化为B时,A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.)当1,2,,s和1,2,,s有相同线性关系时,(1)它们的秩相等.(2)它们的极大无关组相对应.(3)它们有相同的内在线性表示关系.5.矩阵的秩定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称为此矩阵的秩,记作r(A).于是r(A)=0如果A是mn矩阵,则r(A)Min{m,n},当等号成立时,称A为满秩的.如果A是n阶矩阵,则A满秩,即r(A)=nA的行(列)向量组无关|A|0A可逆AX=有唯一解齐次方程组AX命题=1\*GB3①初等变换保持矩阵的秩=2\*GB3②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数矩阵A的r阶子式:任取A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.命题r(A)就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式都为0,都是A有阶数等于r(A)非0子式.)在作矩阵的运算中,矩阵的秩有性质:=1\*GB3①r(AT)=r(A).=2\*GB3②如果c不为0,则r(cA)=r(A).=3\*GB3③r(AB)r(A)+r(B).=4\*GB3④Min{r(A),r(B)}.=5\*GB3⑤当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A)).=6\*GB3⑥如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.=7\*GB3⑦如果r(A)等于列数,则r(AB)=r(B).下面给出=5\*GB3⑤和=7\*GB3⑦在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.设向量组1,2,,s线性无关,向量组1,2,,t可用1,2,,m线性表示,表示矩阵为C,则=1\*romani)r(1,2,,t)=r(C).=2\*romanii)如果t=s(此时C是t阶矩阵),则1,2,,s线性无关C可逆.(令A=(1,2,,s),B=(1,2,,t),则B=AC,并且r(A)=列数s,用=7\*GB3⑦得到r(1,2,,s)=r(C).t=s时,C可逆r(1,2,,s)=r(C)=s1,2,,s线性无关.或直接用=5\*GB3⑤证明=2\*romanii):C可逆时r(B)=r(A)=s,从而1,2,,s线性无关.如果C不可逆,则r(1,2,,s)r(C)<s,从而1,2,,s线性相关.)练习题三1．1,2,…,r线性无关()．(A)存在全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k11+k22+…+krr=0；(B)存在不全为零的实数k1,k2,…,kr，使得k11+k22+…+krr≠0；(C)每个i都不能用其它向量线性表示；有线性无关的部分组．2.设是45矩阵,1,2,3,4,5是的列向量组，r(1,2,3,4,5)=3，则()正确。(A)的任何3个行向量都线性无关；(B)1,2,3,4,5的含有3个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组；(C)的最下面的行向量是零向量。(D)1,2,3,4,5的线性相关的部分组一定含有多于3个向量．3.设n维向量组1,2,…,s的秩等于3，则(A)1,2,…,s中的任何4个向量相关,任何3个向量无关.(B)存在含有两个向量的无关的部分组.(C)相关的部分组包含向量的个数多于3.(D)如果s<3,则1,2,…,s中有零向量.4.设n维向量组1,2,…,s的秩为k，它的一个部分组1,2,…,t(t<s)的秩为h．下面诸条件中，那些可判定1,2,…,t是1,2,…,s的一个极大无关组？=1\*GB2⑴h=k，并且1,2,…,t线性无关；=2\*GB2⑵h=k，并且1,2,…,t与1,2,…,s等价；=3\*GB2⑶t=k，并且1,2,…,t与1,2,…,s等价；=4\*GB2⑷h=k=t；=5\*GB2⑸t=k，并且1,2,…,t线性无关；=6\*GB2⑹h=t，并且1,2,…,t线性无关．5.设A是n阶矩阵,1,2,,s是一组n维向量，i=Ai,i=1，2，,s.则()成立.A)如果1,2,,s线性无关则1,2,,s也线性无关.(B)r(1,2,,s)=r(1,2,,s).(C)如果A不可逆,则r(1,2,,s)>r(1,2,,s).(D如果r(1,2,,s)>r(1,2,,s),则A不可逆.6.设1,2,3,4线性无关,则()线性无关.(A)1+2，2+3，3+4,4+1.(B)1+2，2+3，3+4,3-4(C)1-2，2-3，3-4,4-1.(D)1+2，2+3，3-4,4-1.．7.设1,2,3线性无关,1(m-1)1+32+3,21+(m+1)2+3,3-1-(m+1)2+(1-m)3,其中m为实数,讨论m与r(1,2,3)的关系.8.7.设n维向量组,,,s线性相关,但是,,s线性无关，其中不是零向量.又设数,,,s不全为0，使得+++ss=0，则一定有().(A),,,s全为0；(B),,,s不全为0；(C)，,,s不全为0；(D)s=n.9.设n维向量组1,2,3,4,的秩为4，则()正确.(A)n=4.(B)可用1,2,3,4线性表示.(C)r(1,2,3,4)3.(D)1,2,3,4线性无关.10.设1=(1+λ，1，1)，2=(1，1+λ，1)，3=(1，1，1+λ)，=(0，λ,λ2)．=1\*GB3①λ为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式唯一？=2\*GB3②λ为何值时，可用1，2，3线性表示，并且表示方式不唯一？=3\*GB3③λ为何值时，不可用1，2，3线性表示？11.设1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(1,2,3)=2?12.当a取何值时向量组1=(3，1，2，12)，2=(-1，a，1，1)，3=(1,-1，0，2)线性相关？13．1442已知矩阵=03a3的秩为3,求a,并找出它的行向量组的一个极大无关组.-1a3-1445-a14．如果1,2,3线性无关,而31-2+3,21+2-3,1+t2+23线性相关,则t=.15．ab-3b-1a13阶矩阵A=202，B=0，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和32-1021r(AB)16设1=(1,0,1,1),2=(2,-1,0,1),3=(-1,2,2,0),1=(0,1,0,1),2=(1,1,1,1),问:c1,c2满足什么条件时c11+c22可以用1,2,…,r线性表示?(2c1+c2=0)17.设1,2,3,4线性相关，2,3,4,5线性无关．哪个向量可用其它向量线性表示？哪个向量不能用其它向量线性表示？18．设1,2,…,t是X=0的一个基础解系，不是X0的解．证明,+1，+2，…，+t线性无关．19．设1,2,…,r和1,2,…,s是两个线性无关的n维向量组．证明：向量组{1,2,…,r；1,2,…,s}线性相关的充分必要条件为存在n维非零向量，它既可用1,2,…,r表示，又可用1,2,…,s表示．20．=1\*GB3①设1,2,3是线性无关的4维向量组，1,2也都是4维向量,证明:存在不全为0的c1,c2,使得c11+c22可以用1,2,3线性表示.=2\*GB3②设4维向量组1,2,…,r的秩=3，1,2也都是4维向量,证明存在不全为0的c1,c2,使得c11+c22可以用1,2,…,r线性表示.21.设1,2,…,s和1,2,…,s都是n维向量组,已知1=1,i-i可以用1,2,…,i-1线性表示(当i>1时).证明r(1,2,…,s)=r(1,2,…,s).参考答案1．(C).2.(B).3.(B).4.=1\*GB2⑴,=3\*GB2⑶,=4\*GB2⑷,=5\*GB2⑸.5.(D.6.(B).7.m2和m22时r(1,2,3)=2,否则r(1,2,3)=3.8.(B)9.(C).10.=1\*GB2⑴λ不为0和-2.=2\*GB2⑵λ=0.=3\*GB2⑶λ=-2.11.a=-1，或a=不为0，b=0.12.a=3。13．A=-7第1，24个行向量构成行向量组的一个极大无关组.14．t=-2.15．a=1,b=2,r(AB)162c1+c2=0.17.1可用其它向量线性表示,4不能用其它向量线性表示.第五部分矩阵1.矩阵乘法的定义和性质定义2.1当矩阵A的列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:=1\*GB3①矩阵乘法有条件.=2\*GB3②矩阵乘法无交换律.=3\*GB3③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C.(无右消去律)把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来,这是常见错误.矩阵乘法适合以下法则:=1\*GB3①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.=2\*GB3②数乘性质(cA)B=c(AB).=3\*GB3③结合律(AB)C=A(BC).=4\*GB3④(AB)T=BTAT.2.n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质|AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幂Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:=1\*GB3①AkAh=Ak+h.=2\*GB3②(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)kAkBk.(3)n阶矩阵的多项式乘法公式设f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amAm+am-1Am-1++a1A+a0称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如(AB)2=A22AB+B2A和(A+B)(A-B)=A2-B2A和A和B可交换(不是!)有二项公式:3.乘积矩阵的列向量组和行向量组,设A是mn矩阵B是ns矩阵.A的列向量组为1,2,,n,B的列向量组为1,2,,s,AB的列向量组为1,2,,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出:=1\*GB3①AB的每个列向量组为i=Ai,i=1,2,,s.即A(1,2,,s)=(A1,A2,,As).=2\*GB3②=(b1,b2,,bn)T,则A=b11+b22++bnn.应用这两个性质可以得到:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组为1,2,,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量I的各分量.类似地,乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量;用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂.4.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1)矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.(=1\*ROMANI)AX=B.(=2\*ROMANII)XA=B.其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.当B只有一列时,(=1\*ROMANI)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列,B=(1,2,,s),则X也有s列,记X=(1,2,,s).得到Ai=i,i=1,2,,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(=1\*ROMANI)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.(=2\*ROMANII)的解法:对两边转置化为(=1\*ROMANI)的形式:ATXT=BT.再用解(=1\*ROMANI)的方法求出XT,转置得X..矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.(2)可逆矩阵定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.矩阵可逆性的判别:=1\*GB3①n阶矩阵A可逆|A|0.=2\*GB3②n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即AB=EBA=E.)可逆矩阵有以下性质:=1\*GB3①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.当c0时,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1对任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.=2\*GB3②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.=3\*GB3③如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0.BA=0B=0.AB=ACB=C.BA=CAB=C.=4\*GB3④如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C.BA=CB=CA-1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(=1\*ROMANI)AX=B的解X=A-1B;(=2\*ROMANII)XA=B的解X=BA-1.这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3)逆矩阵的计算和伴随矩阵逆矩阵的计算有两种方法.=1\*GB3①初等变换法:A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E,则E化为A-1.=2\*GB3②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11A21An1A*=A12A22An2=(Aij)TA1nA2nAmn规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系.基本公式:AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|,或A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵ab*d-bcd=-ca,因此当ad-bc0时,ab-1d-bcd=-ca(ad-bc).伴随矩阵的其它性质:=1\*GB3①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*.=2\*GB3②|A*|=|A|N-1.=3\*GB3③(A-T)*=(A*)T.=4\*GB3④(cA)*=cn-1A*.=5\*GB3⑤(AB)*=B*A*;(Ak)*=(A*)k.=6\*GB3⑥(A*)*=|A|N-2A.练习题二1.设=(1,2,3,4)T,=(1,1/2,1/3/1/4)T,=T,求n.11/202．设=210，求n．11/201003．设=(1,0,1)T,=(0,1,1)T,P=110,A=P-1TP,求A2003.0014设TT，B=T求B5．5．已知3阶行列式|,,|=3，求|3-+2,++,2+5-7|.6．已知301A=110，AB=A+2B，求B．0147．已知0101-1A=-111，B=20，X=AX+B,求X.-10-1538．已知1-20B=210，(A-E)B=A，求A.0029．已知11-1=-111，*XX，求X．110．已知011=101，，求．01011.100设=-230,=(+E)-1(-E),则(-E)-1=.0-4512.A是一个3阶矩阵,3维向量组1,2,3线性无关,满足A1=2+3,A2=1+3,A3=1+2.求|A|.13.设100100=000,B=2-10,XB=BA,求X和X11.00-121114.200设=(1/2)013,求(A*).02515．设n阶矩阵满足，证明可逆，并求和()16.设n阶矩阵满足K，k为一个自然数，证明可逆17．设n阶矩阵满足，并且A不是数量矩阵．问a为什么数时AaE可逆？18.已知n阶矩阵证明．19．设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)1，证明BACD=CDAB．20．设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆．证明BA+E也可逆，并且(BA+E)1=E(AB+E)A．21．A，B都是n阶矩阵，并且B和EAB都可逆，证明：(E+A)E(E+AB)A．22.设A,是两个n阶矩阵，则（）是A,可交换的充分必要条件.(A)(A+)3=A3+3A2+3A2+3.(B)A2与(C)A+与A可交换.(D)(A2A22.23．设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)2=E,则()成立.A)AB=E.(B)|A||B|=1.(C)AB=BA.(D(BA)2=24.设A,B是两个3阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1-A-1B*|=().A)36.(B)1/36.(C)-6.(D6.25．已知3阶矩阵满足:21-3-5-392=11-2,3=-3-26,求.-3-2696–1726．设A,B是两个n阶矩阵,则()成立.A)如果A,B都可逆,则AB=BA.(B)如果AB是非零数量矩阵,则AB=BA.(C)如果A*B=BA*,则AB=BA.(D如果(AB)2=A2B2则AB=BA.27．设=(-1,-1,2),=(1,1,0),=2E+T,B=E+3T,则AB-BA=.参考答案1.4n.2．2n-1.1113．A2003=A=-1-1-1.1114-6-9-9B5B=T233．2335．-135.6．5-2-2B=4–3–2.-2237．3-1X=20.1-18．