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文档简介
求离心率的取值范围策略圆锥曲线共同的性质:圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L(F不在定直线L上)的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。利用曲线的范围,建立不等关系例1.设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P,使,求离心率e的取值范围。解:设
因为,所以将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得例2.双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点,求离心率e的取值范围。解:设在双曲线右支上,它到右焦点的距离等于它到左准线的距离,即=二、利用曲线的几何性质数形结合,构造不等关系例3.直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。解:如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;若,则L与双曲线的两交点均在右支上,
例4.已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。解:如图2,因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠AF2B是锐角即可,即∠AF2F1<45°。则三、利用定义及圆锥曲线共同的性质,寻求不等关系例5.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且,求此双曲线的离心率e的取值范围。
解:因为P在右支上,所以又
得
所以
又所以例6.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。解:由题意得因为,所以,从而
,。又因为P在右支上,所以。
。。四、利用判断式确定不等关系例7.例1的解法一:解:由椭圆定义知例8.设双曲线与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。解:通过以上各例可以看出,在解决“求圆锥曲线离心率的取值范围”的问题,若能根据题意建立关于a、b、c的不等式,即可转化为关于e的不等式进行求解。练习1、设椭圆(a>b>0)的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A、B,若椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120º,求椭圆离心率e的取值范围。(<1).2、设椭圆(a>b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q,使∠F1QF2=120º,求椭圆离心率e的取值范围。()3、椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P、Q两点,且OP⊥OQ,求椭圆的离心率e的取值范围。()。4、(2000年全国高考题)已知梯形ABCD中,,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系,设双曲线方程为,设其中是梯形的高,由定比分点公式得,把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得,,两式整理得,从而建立函数关系式,由已知得,,解得。5、已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称,求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M
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