用空间向量数量积解题

活用空间向量数量积解题空间向量数量积公式将空间两个向量的长度和夹角有机联系在一起，为许多立几问题特别是夹角与垂直问题）的解决开辟了一条新的途径，常可使问题化繁为简，化难为易1.证明空间垂直问题例1•如图I’在正方体ABCD-AiBiCiDi中，0为AC与BD的交点，G为CCi的中点，求证：AO丄平面BDG.i分析：要证明A1O丄平面GBD,只要能证明A1O丄平面GBD中的两条相交直线即可,而从图中观察，证A1O丄BD,A1O丄0G较容易成功.证明：设*广a,AiDi=b，A”=c.贝a•b=0，b•c=0，a•c=0,IBD=AD—AB=b一a，而Ao=AA+BD=AD—AB=b一a，° | 0 I iOG=OC+CG=2(AB+AD"2j=iiAO•BD=(c+a+b)•(b—a)i221=c•(b—a)—(a+b)・(b—a)21=c•b—c•a—(b2—a2)=0.2AO•OG=(c+丄a+丄b)•(丄a+丄b—丄c)i22222i i i=4(a+b)2+4c・(a+b)—2C2ii=4(a2+b2)—2c2=0・•・•・AiO丄BD,AiO丄OG.又7BDOG=°.・・・AiO丄平面BE又AOu平面ABD， 平面ABD丄平面GBDi i i评注：向量a垂直于向量b的充要条件是a•b=0,据此可以证明直线与直线垂直,进而还可证明直线与平面垂直.在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量

再考虑它们的数量积是否为零．例2如图2,已知平行六面体ABCD—ABC】<的底面ABCD是菱形，且ZCCB再考虑它们的数量积是否为零．例2如图2,已知平行六面体ABCD—ABC】<的底面ABCD是菱形，且ZCCB=11ZCCD二ZBCD1(1)求证：CC丄BD；1CD(2)当的值为多少时,i能使AiC丄平面CiBD?请给出证明.1证明：(1)CD=a，CB=b,CCi=c，依题意，IaI=IbI，设CD、CB、CCi中两两所成夹角为0于是BD=CD—CB=a—b,CC•BD=c•(a—b)=c・a—c・bi=IcaIcos0—Iccos0=o,.•・CC丄BD.1AC丄DC.11解：(2)若使AiC丄平面-BDAC丄DC.11由CA•CD=(CA+AA)•(CD—CC)=(a+b+c)・(a—c)iaI2+a•b—b•c—IcI2aI2—IcI2+IbI・IaIcos0—IbI・IcIcos0=oc丨时，Aic丨时，AiC丄"，同理可证当1ac丨时,AiC丄BD.CD・•・当=】时，AiC丄平面CiBD.CC1评注：本题蕴含着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定以及待定值得探求等问题．用向量论证线面关系，一定要选好基底，一般用具有长度和角关系的向量作为基底．二、求空间角的问题例3在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE,求异面直线AF与CE所成的角.—1则af=丄(a+b),CE=—b+丁c.221a•b+a4一—1AF•CE—-(a+b)・(一b+厶二一IaIIbIcos60o+IaIIcIcos60o24=b2+ IbIIcIcos60o=—m22 4 22c)=-c－112b2+4b・c又AF•CE—|afI-CE|cos0=4m2cos0，1 2\o"CurrentDocument"m2cos0=-m2,cos0=