2021年初中数学命题竞赛试卷

2021年初中数学命题竞赛试卷

一'选择题

10.四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，如图1,是由的一块长方形分解的4块不规则形状组成,

其中有大小不同的直角梯形各一块，等腰直角三角形一块，凹五边形一块.这儿个多边形的内角除了有

直角外，还有45°、135°和270°的角.小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和箭头形状，那么原

四巧板组成的长方形图形中宽与长的比BC：S等于()

第10题图

(1)原题呈现：原创.

(2)考点分析：特殊图形的边角关系、勾股定理.

(3)命题的思路意图：查阅七巧板时发现有一种四巧板，从四巧板原图形的长宽比例不知道的情况下,

通过拼搭的图形从而得到了每个基本图形的边的比例关系，然后可以去求出原长方形的长宽比例.

(4)解答过程：C.

二、填空题

16.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形

ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四

个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形为正

方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在图1所示

的格点弦图中，正方形A8C。的边长为后，此时正方形

EFGH的面积为52.问：当格点弦图中的正方形ABCD的

边长为届时，正方形EFGH的面积的所有可能值是

▲(不包括52).

(1)原题呈现：(2018年湖州中考16题)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的

顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形A8CD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个

直角顶点E，F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，

在图1所示的格点弦图中，正方形A8CD的边长为厢，此时正方形EPGH的面积为5.问：当格点弦

图中的正方形ABC。的边长为而0寸，正方形EFGH的面积的所有可能值是A.(不包括5)

图1备用图

(2)考点分析：勾股定理、勾股定理的逆定理、格点问题、分类讨论思想.

(3)命题的思路意图：从原题的弦图思考另一种弦图，同时从网格中互相垂直的两条格点线段的位置

关系和数量关系出发来思考可以构造怎样的格点直角三角形，并且有两种方法可以进行思考，可以考查

学生分类讨论的能力.

(4)解答过程：底作斜边，可以以1,5为直角边作一个“正直角三角形”，也可以以或

2瓶,3后为直角边做两个“斜直角三角形”，因此答案有两个：50或36.

三、解答题(本题有8小题，共66分)

22.(本题10分)

如图1是一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，

现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立直角坐标系.

(1)请写出顶点坐标，并求出抛物线的函数解析式；

(2)如图2,若拱桥上的路面E-D-F也可以近似看成抛物线型，且解析式为：,=一_1/+3》+3.

2055

①求出路面最高点离拱桥顶部的距离CD；

②已知路面起点E的横坐标为-2,请问：当水面上涨到水面宽度为8米时，E点在水平面的上

方还是下方？请说明理由.

(1)原题呈现：浙教版九上教材1.2二次函数的图象(3)课后探究活动.

一座拱桥的示意图如图1-9,当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面，1m,已

知桥洞的拱形是抛物线,要求该抛物线的函数表达式,你认为首先要做的T作

是什么？以水平方向为x轴.取以下二个不同的点为坐标原点建立直角坐标系.

(1)点A.(2)点8.(3)抛物线的顶点C.

所得的函数表达式相同吗？清试一试.哪一种取法求得的函数表达式最

简单?

(2)考点分析：二次函数解析式、利用二次函数求解相关实际问题；考查学生函数建模思想、方程思想、

计算能力。

(3)命题的思路意图：本题以学生熟悉的拱桥问题为背景，遵循由易到难的原则，解题思路比较常规,

考察了在复杂情境中学生分析数量关系，应用二次函数解答实际问题的能力。

(4)解答过程：

解：(1)顶点。的坐标(6,4)............................................1分

设y=〃(x-6)2+4(awO),代入点A(0,0),

得0=〃(0—6)2+4,解得,................................................1分

9

所以解析式为y=-，(工―6)2+4=-，12+咳兀•...............................1分

-993

(2)①求出>=__1/+3元+丝的顶点。4，5),.............................2分

2055

CD=5-4=\m..............................1分

②将E点横坐标x=-2代入丫=一'/+3无+3，得〉=肥，得EG=@,................1分

'205555

当水面宽为时，将x=2代入丫=-4/+±x,得y="，..................2分

939

因为上>型，所以点E在水平面上方...................1分

59

24.(本题12分)

已知：在△ABC中，点E在直线AC上，点8、D、E三点在同一条直线上，iLBA=BD,NBAE=ND.

【问题初探】

(1)如图1,若BE平分NA8C,求证NAE8+/2CE=180。.

请依据以下的简易思维框图,写出完整的证明过程.

要证NAEB+NBCE=180。<=>NBEC=NBCEOBE=BC<=>△BAEMBDC<=>己知条件

【变式再探】

(2)如图2,若8E平分AABC的外角/A8F,交C4的延长线于点E,NAEB和N8CE的数量关系

发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由.

【拓展运用】

(2)如图3,在(2)的条件下，若A8_LBC,CD=\,求EC的长度.

(1)原题呈现：

(2020牡丹江)△ABC中，点D在直线AB上点E在平面内，点F在BC的延长线上，ZE=ZBDC,AE

=CD,ZEAB-ZDCF=180°JE

(1)如图。，求证AIABC=BE;v

<2)如图o、图o),请分别写出线段AD,BC,BE之间的额量关系，不需要证明；"

3

《3》若BExBC,tanZBOT=-,CD=10,则AD=_________*

4

v(第26题图)"

(2)考点分析：考查等腰三角形、全等三角形、角平分线等知识点，考查学生综合分析，思维的迁移、

拓展的能力.

(3)命题的思路意图：由2020牡丹亭这题发现考查旋转的全等三角形的问题可以进行改编，同时对图

形进行变化，可以让学生能够把握住相同的解题方法，通过原题发现特殊的位置可以求出一些线段的长

度，因此设计出第(3)问，将位置特殊化，从而找到特殊的角度，再根据全等的等边、等角关系去求某

些线段的长度，这样的命题可以考查学生的综合分析、解题能力，以及学生的转化、计算能力.

(4)解答过程：

证明：(1):BE平分/ABC,

AZABE=ZDBC,.........................................1分

在△4BE和△O8C中，

[ZBAE=ZD

\BA=BD

|/ABE=DBC

：.△ABEM△QBC(ASA),.................................................1分

J.BE^BC,.............................................1分

:.NBEC=NBC

：.ZAEB+ZBCE=ZAEB+ZBEC^\m°.............................[分

(2)ZBEC=ZBCE.

理由：平分乙4BR

NABE=NEBF=NCBD,.................................................1分

在aABE和△QBC中，

ZBAE=ZD

<BA=BD»

NABE=NDBC

：./\ABE=ADBC(ASA),.................................................2分

:・BE=BC,

:・/BEC=/BCE......................................................1分

(3)连结AD,

VAB1BC,

：.NABE=NEBF=NCBD=45°,

AABE=/XDBC,

:.NBAE=/BDC,且NE=/E,

NABE=NACD=45°,.................................................1分

由⑵得BE=BC,

:.NBCD=NBCE=NBEC=225°,

\'AB=BD,：.ZBAD=ZBDA=22.5°,.................................................1分

：.ZBEC=ZBDA,

：.AE=AD,NOAC=45°=ZACD,

CD=1,：.AD=\=AE,AC=y/l2+l2=&,.................................................1分

：.EC=1+O.1分

B

(图3)

(图1)(图2)

2021年初中数学命题竞赛多向细目表

数学思想方法、答题难度

题序知识点数学活动经验、时间分值估计试题来源

数学能力、估计

综合分析能力、

10特殊图形的边角关系、勾股定理10分钟30.6原创

转化思想

勾股定理、勾股定理的逆定理、格数形结合思想、2018湖州中考题

1610分钟40.62

点图形的边的关系分类讨论思想改编