2023年自考类-公共课-高等数学(工本)历年高频考题带答案难题附详解

2023年自考类-公共课-高等数学(工本)历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考点(共50题)1.设f(x)是周期为2π的函数，f(x)在[-π，π)上的表达式为S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则S(0)=______．2.在空间直角坐标系中，点(2，-1，-9)在______A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D.第八卦限3.计算对坐标的曲线积分∫Cxydx+(x+y)dy，其中C为曲线y=x2从点(0，0)到(1，1)的一段弧．4.求二阶微分方程y″+y′-ex=0的通解．5.计算对坐标的曲线积分∫C(x-y)dx+xydy，其中C为直线y=x从点O(0，0)到点A(1，1)的线段．6.求函数f(x，y)=x3+y3-3xy的极值．7.计算二重积分，其中D：x2+y2≤x+y+1．8.已知函数z=x2y，则9.某厂生产两种产品，产量分别为x，y，生产总成本C=800+34x+70y．销售总收入为R=134x+150y-2x2-2xy-y2．现以两种产品总数为30件计算，两种产品的产量各为多少时，才能取得最大利润?10.=______．11.微分方程e-xdy+e-ydx=0的通解为______．12.设积分区域Ω由上半球面z=及平面z=0所围成，求三重积分zdxdydz．13.将积分区域D对应的二重积分I=f(x，y)dxdy按两种次序化为二次积分：D是由抛物线y=x2及y=4-x2所围的区域．14.求函数f(x，y)=4(x-y)-x2-2y2的极值．15.求曲线在对应于t-1的点处的法平面方程．16.设z=(1+xy)x，则=______．17.求微分方程满足条件y|x=1=1的特解．18.设，则dz=______．19.设z=uv+sinω，u=et，v=cost，ω=t，则=______．20.求曲面x2+y2+2z2=23在点(1，2，3)处的切平面方程．21.计算22.设f(x)=xln(1+x)展成x幂级数为，则系数a2=______.23.设L为椭圆争，其周长为l，计算曲线积分．24.直线x=1+2t，y=-1-t，z=2t的方向向量是______A.{2，-1，2}B.{2，1，2}C.{-1，1，0}D.{1，-1，0}25.求微分方程y"+3y'+2y=e-x．26.设B是圆形区域x2+y2≤4，则二重积分dxdy=______

A．

B．

C．4πD．π27.设f(x)在[a，b]上连续且恒大于零．试利用二重积分证明

28.设为正项级数，下列结论中正确的是______

A．若级数收敛，则有=0

B．若级数发散，则=+∞

C．若级数收敛，则=0

D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得=λ29.设二元函数则fxy(0，0)=______．30.计算二次积分I=．31.求微分方程y"-4y=2e2x的通解．32.I=(x2+y2)dv，Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2围成的区域．33.设L为圆周x2+y2=1，=

A.8πB.10πC.12πD.14π34.将f(x)=ex2在x=0处展开为幂级数，并求级数35.应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．

(1)；

(2)x2+2x3+3x4+…+nxn+1+…．36.将函数展开为(x-3)的幂级数．37.设函数f(x，y)=(4x-x2)(6y-y2)，则f(x，y)的一个驻点是______

A．(2，6)

B．(4，3)

C．(0，6)D．(0，3)38.将函数展开成x的幂级数，并求收敛区间．39.求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上．40.设∑为半球面x2+y2+z2=1，z＜0，则对面积的曲面积分______A.4πB.2πC.3πD.π41.两直线L：的夹角为

42.下列微分方程中为线性微分方程的是______

A．

B．

C．

D．43.求函数f(x，y，z)=x-y+x2yz+2z在点P0(-1，1，2)处的梯度gradf(-1，1，2)．44.计算二重积分，其中积分区域D是由直线y=x，x=1及x轴所围成的区域．45.求微分方程满足条件的特解．46.设L是圆x2+y2=1，取逆时针方向，则______．47.平面x-2y+3z+4=0的法向量为______A.{1，-2，-3}B.{-1，2，-3}C.{-1，-2，3}D.{1，-2，3}48.求过点P(1，0，7)且与平面x-z=10和y+2z=3都平行的直线方程．49.与向量{-1，1，-1}垂直的单位向量是______

A．{0，0，0}

B．

C．

D．50.设p为正常数，就p的值讨论幂级数的收敛域．第1卷参考答案一.综合考点1.参考答案：0[解析]由狄里克雷收敛准则得，.2.参考答案：D3.参考答案：本题主要考查的知识点为对坐标的曲线积分.

曲线C如下图所示.y=x2，则dy=2xdx,故有

4.参考答案：此微分方程属于y″=f(x，y′)型，令p=y′，代入原方程得p′+p-ex=0，即p′+p=ex，

该方程对应的齐次微分方程为p′+p=0，

分离变量并积分

p=C1e-x，

利用常数变易法，令p=u(x)e-x，

则p′=u′(x)e-x-u(x)e-x，

将p′及p代入微分方程p′+p=ex得u′(x)e-x=ex，即u′(x)=e2x，

积分得

则

即

则原微分方程的通

本题考查的知识点是y″=f(x，y′)型微分方程，大纲要求领会，且近年来未在真题上出现，y″=f(x)型，y″=f(x，y′)型，y″=f(y，y′)型齐次方程，考生可根据自己的情况进行学习和掌握.5.参考答案：解：C的方程

y=x，x从0变到1，所以

6.参考答案：∵

∴得驻点为(0，0)，(1，1)

而fxx=6x，fxy=-3，fyy=6y，

对于(0，0)点，B2-AC-9＞0，所以(0，0)不是极值点。

对于(1，1)点，B2-AC=-27＜0，A=6＞0，

所以f(x，y)在(1，1)点处取得极小值为f(1，1)=-1．7.参考答案：积分域D如图所示令8.参考答案：2y9.参考答案：总利润为f(x，y)=R-C=100x+80y-2x2-2xy-y2-800本题所求的是f(x，y)在条件x+y=30下的最大值建立拉格朗日函数L(x，y，λ)=100x+80y-2x2-2xy-y2-800+λ(z+y-30)

∴当x=10，y=20时总利润最大10.参考答案：11.参考答案：ex+ey=C[解析]由e-xdy+e-ydx=0分离变量得eydy=-exdx．两端积分得ey=-ex+C，即ex+ey=C．12.参考答案：13.参考答案：本题考查二次积分的运算．画出积分区域D，如下图所示

14.参考答案：∵，

∴得驻点坐标为(2，-1)

∵=-2，=0，=-4

而Δ=B2-AC=-8＜0且A=-2＜0

∴f(x，y)在点(2，-1)处取得极大值为f(2，-1)=6．15.参考答案：解：因为

所以在t=1对应点处法平面的法向量为{-1，-2，-3}．

又t=1对应点的坐标为(1，1，1)，所以所求法平面方程为

-(x-1)-2(y-1)-3(z-1)=0，

即x+2y+3z-6=0．16.参考答案：1+2ln2[解析]令1+xy=u，x=v，则，，=y，=1∴

∴17.参考答案：解：将方程变形为

方程的通解为，将条件y|x=1=1代入，得

所以所求特解为18.参考答案：19.参考答案：et(coxt-sint)+cost=v·et+u(-sint)+cosω·1=cost·et(-sint)+cost20.参考答案：解：设F(x，y，z)=x2+y2+2z2-23，设P0(1，2，3)

∵Fx(1，2，3)=2x|P0=2，Fy(1，2，3)=2y|P0=4，Fz(1，2，3)=4z|P0=12

∴所求平面方程为2(x-1)+4(y-2)+12(z-3)=0

即x+2y+6z=23．21.参考答案：[考点点击]本题考查直角坐标下二重积分的计算．[要点透析]

22.参考答案：[解析]本题主要考查的知识点为幂级数的展开式．

由得，则

考生应熟练掌握特殊函数的幂级数展开式．23.参考答案：由于积分路线L关于x=0对称，函数xy2关于x为奇函数，故又沿曲线于是所求曲线积分24.参考答案：A[解析]直线x=1+2t，y=-1-t，z=2t可以转化为对称式方程故直线的方向向量为{2，-1，2}．25.参考答案：对应齐次方程的特征方程为r2+3r+2=0∴r1=-2，r2=-1∴齐次方程的通解为y=C1e-2x+C2e-x∵r2=-1是特征方程的单根∴应设特解为y*=Axe-x则y*'=Ae-x-Axe-x，y*"=-Ae-x-Ae-x+Axe-x=-2Ae-x+Axe-x，将它们代入原方程得

(-2Ae-x+Axe-x)+3(Ae-x-Axe-x)+2Axe-x=e-x∴Ae-x=e-x

∴A=1所以原方程的一个特解y*=xe-x于是原方程的通解为y=c1e-2x+c2e-x+xe-x26.参考答案：B[解析]令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤θ≤2π，0≤r≤2∴=．答案为B．27.参考答案：其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}于是28.参考答案：B[解析]本题考查正项级数敛散性的性质．由级数收敛的充要条件知，其部分和数列{Sn}有上界，也即收敛，必有{Sn}有上界，若发散，必有=+∞．令an=，则n2·=1，故只有B选项说法正确．答案为B．29.参考答案：-1当，并且30.参考答案：I=中，面积分区域如图示阴影：

31.参考答案：特征方程为r2-4=0∴r1=2，r2=-2故齐次方程的通解为又λ=2是特征方程的单根，故设原方程的一个特解为32.参考答案：，积分区域如下图．

33.参考答案：C由于被积幽数定义在积分曲线上，因此积分变量x，y满足枳分路线L的方程，利用这一性质化简积分34.参考答案：[考点点击]本题考查幂级数的展开式.[要点透析]由∞)，可知.级数就是将上式取x=±1可得到，故35.参考答案：[考点点击]本题考查幂级数的和函数．[要点透析](1)设，故x2。则当|x2|＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R=1，当x=±1时，则原级数可化为，故其发散·故原级数的收敛域为(-1，1)

设，在x∈(-1，1)内逐项求导得

故x2)，x∈(-1，1)．

(2)设an=n，，当x=±1时

原级数均发散，故原级数的收敛域为(-1，1)

设，设f(x)=I，逐项积分得

故

故和函数36.参考答案：∵∴0＜x＜637.参考答案：C[解析]f(x，y)=(4x-x2)(6y-y2)，则

，则选项A、B、C、D依次代入只有选项C使得fx(0，6)=fy(0，6)=0．答案为C．38.参考答案：解：

由于有

因此，可得

39.参考答案：本题主要考查的知识点为微分方程的应用．

由题意知

所以

又因为点(1，2)在该曲线上，故有

因此所求方程为即3y+x=7.40.参考答案：B[解析]本题主要考查的知识点为面积的曲面积分.

，则，曲面∑在Oxy面上的投影为x2+y2≤1，所以41.参考答案：CL1的方向向量v1=|1，-2，1|，L2的方向向量量v2=n1-×n2=42.参考答案：B[解析]根据线性微分方程定义：线性是指方程关于未知函数y及其导数dy/dx都是一次的，故只有B项满足条件．答案为B．43.参考答案：解：

gradf(x，y，z)={1+2xyz，-1+x2z，x2y+2}，

则gradf(-1，1，2)={-3，1，3}．44.参考答案：解：

.45.参考答案：将方程变形为46.参考答案：0[解析]本题考查格林公式．[要点透析]令P(x，y)=(x+y)2，Q(x，y)=-(x2+y2)，则

将L所围成的闭区域记为D，根据格林公式有

47.参考答案：D[解析]本题主要考查的知识点为平面方程的法向量．48.参考答案：[考点点击]本题考查直线与平面间的关系．[要点透析]两