2023年研究生入学考试数学三历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学三历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0，AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．2.设的收敛半径为R=R0＞0，求证幂级数的收敛域为(-∞，+∞)，3.4.5.6.设试确定常数a，b，c，使f(x)在x=0点处连续且可导．7.幂级数的收敛域为______．8.设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：

(Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；

(Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)。9.设则级数的收敛半径为______．

A．1

B．

C．

D．10.已知f(x)，g(x)连续可导，且f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)+φ(x)，其中φ(x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程g'(x)-xg(x)=cosx+φ(x)，求不定积分。11.12.设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个13.14.设X1，X2，…，Xn是总体N(0，σ2)的样本，则

可以作为σ2的无偏估计量．

(A)

(B)

(C)

(D)15.

16.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)单调增加，证明在(a，b)内单调增加．17.有20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)．18.设，则a=______，b=______，c=______．19.20.设随机变量则______A.Y～χ2(n)B.Y～χ2(n-1)C.Y～F(n，1)D.Y～F(1，n)21.函数f(x)=(x2+x-2)|sin2πx|在区间上不可导点的个数是______A.3B.2C.1D.022.设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求23.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率密度fY(y)=______。24.设函数则f(x)在x=0处______A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．D.可导．25.

26.已知α1=(1，2，-1)T，α2=(1，-3，2)T，α3=(4，11，-6)T，若Aα1=(0，2)T，Aα2=(5，2)T，Aα3=(-3，7)T，则A=______。27.设相互独立的两随机变量X，Y均服从E(1)分布，则P{1＜min(X，Y)≤2}的值为______A.e-1-e-2．B.1-e-1．C.1-e-2．D.e-2-e-4．28.设总体X的概率密度(-∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则E(S2)=______。29.30.函数y=f(x)具有下列特征：

f(0)=1；f'(0)=0，当x≠0时，f'(x)＞0；则其图形如图所示______．

A．

B．

C．

D．31.设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是______

①φ[f(x)]必有间断点．

②[φ(x)]2必有间断点．

③f[φ(x)]没有间断点．A.0．B.1．C.2．D.3．32.33.34.设某种商品的单价为p时，售出的商品数量Q可以表示成

其中a，b，c均为正数，且a＞bC．

(1)求p在何范围变化时，使相应销售额增加或减少?

(2)要使销售额最大，商品单价p应取何值?最大销售额是多少?35.下列叙述正确的是______．

A．

B．

C．

D．36.设α＞0，则级数______A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与α有关37.设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y的相关系数

(Ⅰ)求(X，Y)的概率分布；

(Ⅱ)求P{X+Y≤1}。38.设A=，B=P1=，P2=，则必有______．A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=AP1P2D.B=AP2P139.设f(x)连续且关于x=T对称，a＜T＜b．证明：

40.41.42.设则______

A．

B．

C．

D．43.设则f(x)在x=0处A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．D.可导．44.45.设A为n阶矩阵，且A2-2A-8E=O．证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．46.设求An．47.48.设随机变量X在(1，6)上服从均匀分布，则方程x2+Xx+1=0有实根的概率为______．49.50.设函数连续，且，则______。第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：解：由为A的特征值．由AAT=2E，则A*的一个特征值为2.参考答案：[分析与证明]即证，幂级数均收敛．任取|x0|＜R0，x0≠0，考察的关系并利用比较判别法．

注意，给定的x，．由有界，即≤M(n=0，1，2，…)，M＞0为某常数，于是

由幂级数在收敛区间内绝对收敛收敛．

由比较原理收敛．3.参考答案：4.参考答案：5.参考答案：[解]

6.参考答案：【解】因为

又f(0)=1，所以即a=2，及c为任意值时，f(x)在x=0处连续．又因为

令可得时，f'(0)存在．

当f(x)在x=0处连续且可导．7.参考答案：(-1，1)[解析]当x=0时，级数收敛；

当x≠0时，

当|x|＜1时，幂级数收敛，且为绝对收敛；而当x=±1时，，原级数发散，∴收敛域为(-1，1)．8.参考答案：解：(Ⅰ)设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c(c∈(a，b))同时取得最大值，则f(c)=g(c)。此时的c就是所求点η，使得f(η)=g(η)。

若两个函数取得最大值的点不同，则有f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有

f(c)-g(c)＞0，g(d)-f(d)＜0，

由介值定理，在内肯定存在一点η使f(η)-g(η)=0，即f(η)=g(η)。

(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)，由题设与(Ⅰ)的结论知，F(x)在[a，b]上连续，(a，b)内二次可导，且存在η∈(a，b)，使F(a)=F(η)=F(b)=0，分别在[a，η]与[η，b]上对F(x)应用罗尔定理可得，存在α∈(α，η)，β∈(η，b)，使F'(α)=F'(β)=0，所以F'(x)在[α，β]上满足罗尔定理的条件，因此根据罗尔定理知，存在使F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)。[解析]如果要证明函数存在一点的二阶导数等于零，一般的思路是证明函数两次满足罗尔定理。9.参考答案：D[解析]

10.参考答案：

又由

f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)+φ(x)，

于是有[解析]从不定积分的形式，可知应利用分部积分法。

[评注]本题不必求解微分方程g'(x)-xg(x)=cosx+φ(x)11.参考答案：12.参考答案：C[解析]令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α,β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT·αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因为α,β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(a)=1，所以r(A)=1.

因为4-r(0E-A)=4-r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)．13.参考答案：A14.参考答案：A本题以概率统计知识为载体，买质考查数字特征的计算，属于基础题．

，故，答案选择(A)．15.参考答案：A16.参考答案：

因为(x-a)2＞0且f(x)单调上升，当x＞t时，f(x)-f(t)≥0，

所以F'(x)≥0，故F(x)在(a，b)内单调增加．17.参考答案：【解】引入随机变量

则X=X1+X2+…+X10，由

知

进而18.参考答案：a≠1；b=0；c=0或a=1；b=0；c=-2[解析]由于且存在，则一定有，那么b=0．

当a≠1时，．此时c=0．

当a=1时，．此时c=-2．19.参考答案：20.参考答案：C[解析]因X～t(n)，故根据t分布定义知其中U～N(0，1)，V～χ2(n)。于是故选C。21.参考答案：B[解析]设g(x)=x2+x-2，φ(x)=|sin2πx|，显然g(x)处处可导，φ(x)处处连续，有不可导点。形如f(x)=g(x)|φ(x)|，其中g(x)在x0的某邻域内连续，φ(x)在x=x0处可导，则f(x)在x0处可导根据上述结论，只须验证φ(x)在不可导点处g(x)是否为零。

φ(x)=|sin2πx|的图形如图所示，在内只有不可导点其余均可导。

因为所以f(x)=g(x)φ(x)在处不可导，在x=1处可导，其余点均可导，故选B。22.参考答案：解：根据复合函数的求导公式，有

于是

23.参考答案：[解析]首先求出在(0，4)上Y的分布函数FY(y)。在0＜y＜4时，有

故24.参考答案：C[解析]显然f(0)=0，对于极限，由于当x→0时，是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，，即．因此f(x)在x=0处连续，排除A、B．

又因为不存在，所以f(x)在x=0处不可导，故选C．25.参考答案：

26.参考答案：[解析]用分块矩阵把已知条件组合起来，有

因为|α1，α2，α3|=所以矩阵(α1，α2，α3)可逆，于是

27.参考答案：D[解析]P{1＜min(X，Y)≤2}=P{min(X，Y)＞1}-P{min(X，Y)＞2}

=P{X＞1，Y＞1}-P{X＞2，Y＞2}

=P{X＞1}P{Y＞1}-P{X＞2}P{Y＞2}

=e-1·e-1-e-2e·e-2=e-2-e-4．28.参考答案：2[解析]无偏估计

[答案解析]依题意，可得E(X)=

因为样本方差S2是总体方差的无偏估计，所以E(S2)=D(X)=2。29.参考答案：A30.参考答案：B31.参考答案：B[解析]①错误．举例：设f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续．

②错误．举例：设则[φ(x)]2=9在R上处处连续．

③正确．因为f(x)在R上连续，而φ(x)的取值必定在R上．

因此选B．32.参考答案：33.参考答案：34.参考答案：设售出商品的销售额为R，则

令R'=0，得

当时，有R'＞0，所以随单价P的增加，相应的销售额也增加．

当，有R'＜0，所以随单价P的增加，相应的销售额将减少．

(2)由(1)可知，当时，销售额R取得最大值，最大销售额为

[考点提示]由经济意义知，销售额为R=pQ．销售额的增减性可由R'(p)的符号来确定．35.参考答案：C[解析]

36.参考答案：C[解析]收敛，故由比较判别法的极限形式知，发散，正确答案为C．37.参考答案：解：(Ⅰ)由已知

得到又由即所以由得且有E(XY)=1·P{X=1，Y=1}+0·{P{X=0，Y=1}+0·P{X=0，Y=0}+0·P{X=1，Y=0}}=P{X=1，Y=1}=。

再利用联合分布与边缘分布之间的关系

故(X，Y)的联合概率分布为

(Ⅱ)

[解析]求解离散型随机变量相关问题的关键往往在于计算其分布律。一旦有了联合分布律，与之相关的各类计算都会很容易完成。离散型随机变量的分布律由两部分组成：一是取值，二是概率。即对离散型随机变量，不管是一维的还是二维的，要计算它的分布，只需弄清楚两个问题：首先，它的可能取值有哪些；其次，它取每一个值的概率分别是多少。38.参考答案：D[解析]利用初等变换与初等矩阵关系求之．

AP2表示将A的第3列乘以1加到第2列得到

AP2=

(AP2)P1表示将AP2的第1列与第3列对调得到

(AP2)P1=39.参考答案：[证明]由f(x)关于x=T对称得f(T+x)=f(T-x)，

40.参考答案：041.参考答案：B42.参考答案：A[解析]将x视为常数，属基本计算．43.参考答案：C[解析](A)、(B)、(C)、(D)逐项考察：．

无论x→0-还是x→0+，均有．

而f(0)=0，所以f(x)在x=0点连续，故不选(A)，也不选(B)．考察f(x)在x=0处的可导性．由于f(x)是分段函数，在分界处的导数应按定义讨论之．

由，从而知上述极限不存在，于是f'(0)不存在．选(C)．44