2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处______．A.可导，且f'(0)=0B.可导，且f'(0)=-1C.可导，且f'(0)=2D.不可导2.3.4.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是

A．

B．

C．

D．5.6.设为可逆矩阵，且，若，则C-1=______．7.8.9.10.11.设且F可微，证明：12.设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为______A.α1，α3．B.α1，α2．C.α1，α2，α3．D.α2，α3，α4．13.设φ(x)在x=a的某邻域内有定义，f(x)=|x-a|φ(x)．则“φ(x)在x=a处连续”是“f(x)在x=a处可导”的______A.必要条件而非充分条件．B.充分条件而非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．14.15.设an＞0(n=1，2，3，…)且则16.17.设A为n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知线性方程组Ax=0的基础解系为解向量ξ1，则A*x=0的基础解系A.不存在．B.仅含一个非零解向量．C.含有n-1个线性无关的解向量．D.含有n个线性无关的解向量．18.设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，

(Ⅰ)求二次型f的秩；

(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．19.20.21.22.试求曲线的拐点，证明不论常数a取何异于零的数值，这些拐点总是在一条直线上．23.设，那么(P-1)2016A(Q2015)-1=

A．

B．

C．

D．24.求连续函数f(x)，使它满足25.26.设C1，C2是两个任意常数，则函数y=C1e2x+C2e-x-2xe-x满足的一个微分方程是______A.y"+y'2y=6e-x．B.y"-y'-2y=6e-x．C.y"+y'-2y=3xe-x．D.y"-y'-2y=3xe-x．27.已知函数28.29.30.已知平面区域，，，试比较I1，I2，I3的大小______A.I3＜I2＜I1B.I1＜I2＜I3C.I2＜I1＜I3D.I2＜I3＜I131.32.33.设a为常数，讨论两曲线y=ex与的公共点的个数及相应的a的取值范围．34.35.设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。36.设A为n阶方阵且A2=A，证明：若A的秩为r，则A-E的秩为n-r，其中E是n阶单位矩阵．37.yy"=1+y'2满足初始条件y(0)=1，y'(0)=0的解为______．38.求39.40.若，则a=______，b=______．41.设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩则线性方程组

A．Ax=α必有无穷多解．

B．Ax=α必有惟一解．

C．

D．42.43.44.计算，其中D是由x2-y2=1及y=0，y=1围成的平面区域．45.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为______．46.设齐次线性方程组有通解k[1，0，2，-1]T，其中k是任意常数，A中去掉第i列(i=1，2，3，4)的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是______A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=047.设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，

令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)线性相关，则______．A.向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B.向量组(Ⅰ)线性相关C.向量组(Ⅱ)线性相关D.向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)至少有一个线性相关48.求心脏线ρ=4(1+cosθ)和直线θ=0及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积为______．49.50.设f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充要条件为______

A．

B．

C．

D．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：B[解析]

而

所以，选B．2.参考答案：B3.参考答案：C4.参考答案：C[解析]二元函数在一点连续，可导，可微和偏导数连续的概念以及它们的相互关系是多元函数微分学的基本内容，这些就是本题要考查的知识点．只要了解各选项中等式的意义，就会得到正确的选项．本题主要利用基本概念和推理，所以有一定的难度．

选项A的等式是函数f(x，y)在点(0，0)处连续的定义，故它不是f(x，y)在点(0，0)处可微的充分条件；

选项B的两个等式就是f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，两个偏导数存在当然不是可微的充分条件；

选项C的等式就是函数f(x，y)在点(0，0)处可微的定义，故是正确的；

由于C是正确的选项，故选项D被排除．也可举反例：

因为

故

同理

但是在(0，0)处，有

故函数在(0，0)处不可微．

注意选项D中表示的极限是一元的极限，分别表示一元函数f'x(x，0)在x=0处与f'y(0，y)在y=0处连续，不要误以为是表示一阶偏导连续．5.参考答案：D6.参考答案：[解析]观察C和A的关系，C可由A的1、2行互换后，再将第3列加到第1列得到，即C=E12AE13(1)，故C-1=[E12AE13(1)]-1=[E13(1)]-1A-1(E12)-1，其中(E12)-1=E12，[E13(1)]-1=E13(-1)，故

7.参考答案：B8.参考答案：C9.参考答案：[解析]

10.参考答案：[解析]参见数学一模拟156填空第(2)题解析.11.参考答案：[证明]两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得，解得，于是12.参考答案：D[解析]由题意知，矩阵A的基础解系只含有一个向量，即n-r(A)=1，r(A)=3，r(A*)=1．那么n-r(A*)=4-1=3．故A*x=0的基础解系含有3个线性无关的解，排除A、B．又(1，0，1，0)T为Ax=0的解，所以得α1+α3=0，α1，α3线性相关．α1，α2，α3线性相关，排除C，故选D．13.参考答案：D[解析]下面举两个例子说明应选D．

①设φ(x)在x=0处连续，但f(x)=|x|φ(x)在x=0处不可导的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0处不可导．

②设φ(x)在x=0的某邻域内有定义，但在x=0处不连续，而f(x)=|x|φ(x)在x=0处却可导的例子如下：设

φ(x)在x=0处不连续，但

所以f(x)在x=0处可导，f'(0)=1．14.参考答案：15.参考答案：1[解析]记

其中16.参考答案：17.参考答案：C[解析]方阵A的秩与方阵A*的秩的关系如下：

本题中说“线性方程组Ax=0的基础解系为解向量ξ1”，故r(A)=n-1，故r(A*)=1，故A*x=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量．18.参考答案：由于f=2x12+2x22+2x32-2x1x2-2x2x3-2x1x3，二次型对应的矩阵为A，则有

所以矩阵A的秩为2．

(Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则

∣λE-A∣==λ(λ-3)2，

可知λ1=0，λ2=λ3=3．

又当λ1=0时，特征向量η1=(1,1,1)T，将η1单位化后得r1=．

当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得

β2=η2=(-1，1，0)T，

β3=η3-=(-1,0,1)T-(-1,1,0)T=(，，1)T，

再将β2，β3单位化，得r2=，r3=．

故正交变换矩阵Q=，且有x=Qy,使f=．[考点]二次型的标准化．

先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量．19.参考答案：3[解析]20.参考答案：[解析]令可用三种不同的方法来求I．第一种方法最直接，首先从f'(x)=arcsin(1-x)用积分法求出函数f(x)，然后再计算I，第二种方法是利用变限定积分表示函数f(x)可得把它代入I后交换所得累次积分的积分次序即可求得，的值．第三种方法是利用分部积分法计算I，比较起来，后两种方法比较简单.

方法1°

首先求函数f(x)，由f'(x)=arcsin(1-x)与f(0)=0可得

代入即得

其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，因D又可表为D={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤1}，

从而交换累次积分的积分次序即得

21.参考答案：C22.参考答案：先求y'，y"；再分别令y'=0，y"=0求出拐点；最后求出两个拐点的直线方程，然后将另一个拐点代入，若满足直线方程即证得三点在同一条直线上．

令y"=0，即2(x-a)(x2+4ax+a2)=0，从而得

将x1，x2，x3分别代入，得

对拐点的判断如下：

y"=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)，

x1＜x2＜x3．

由上表可知拐点分别为

可求得过B，C点的直线的斜率为

且由点斜式可求得过B，C点的直线方程为

①

将A代入直线方程①，两端相等，可见A也在B，C的直线上，即三个拐点A，B，C在同一条直线上．23.参考答案：B[解析]P、Q均初等矩阵，因为P-1=P，且P左乘A相当于互换矩阵A的1、3两行，那么P2016A表示把A的1、3两行互换2016次，从而(P-1)2016A=P2016A=A．

又(Q2015)-1=(Q-1)2015且．而Q-1右乘A相当于把矩阵A的第2列加至

第1列，那么A(Q-1)2015表示把矩阵A第2列的2015倍加至第1列，所以应选B．24.参考答案：方程两边对x求导得f'(x)+2f(x)=2x，

令x=0，由原方程得f(0)=0．

于是，原问题就转化为求微分方程f'(x)+2f(x)=2x满足初始条件f(0)=0的特解．

由一阶线性微分方程的通解公式，得

代入初始条件f(0)=0，得，从而[考点]先在等式两边对x求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数f(x)的微分方程，再求解该微分方程．25.参考答案：解：由麦克劳林展开式

故可得

26.参考答案：B[解析]由题设知所求微分方程的特征根分别是λ1=2与λ2=-1，从而特征方程是(λ-2)(λ+1)=0，即λ2-λ-2=0．由此可见所求方程的形状是y"-y'-2y=f(x)．

记，则方程的右端项．由于，，故f(x)=2(2-x)e-x-2(x-1)e-x+4xe-x=6e-x，代人即得相应的微分方程是y"-y'-2y=6e-x．27.参考答案：f[f(x)]=128.参考答案：29.参考答案：D30.参考答案：A[解析]因为，，所以I2＜I1，I3＜I1．

所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．31.参考答案：32.参考答案：33.参考答案：[解]若a=0，则易知y=ex与y=0无公共点，以下设a≠0．讨论y=ex与交点的个数，等同于讨论方程的根的个数，亦即等同于讨论函数f(x)=xex-a

的零点个数．

得唯一驻点x0=-1．当x＜-1时，f'(x)＜0；当x＞-1时，f'(x)＞0．所以

minf(x)=f(-1)=-e-1-a．

又

①设-e-1-a＞0，即设a＜-e-1，则minf(x)＞0，f(x)无零点；

②设-e-1-a=0，即设a=-e-1，则f(x)有唯一零点x0=-1；

③设-e-1-a＜0，即设a＞-e-1．又分两种情形：

(i)设-e-1＜a＜0，则有f(-∞)=-a＞0，f(-1)=-e-1-a＜0，f(+∞)＞0．而在区间(-∞，-1)内f(x)单调减少，在区间(-1，+∞)内f(x)单调增加，故f(x)有且仅有两个零点；

(ii)设a＞0．易知f(x)=xex-a在区间(-∞，0]内无零点，而在区间(0，+∞)内，f(0+)=-a＜0，f(+∞)=+∞，f'(x)=(x+1)ex＞0，所以f(x)在区间(0，+∞)内刚好有1个零点．讨论完毕．

综上，有结论：

当a＜-e-1或a=0时，无交点；当a=-e-1时，有唯一交点(切点)；当-e-1＜a＜0时，有两个交点；当a＞0时，在区间(-∞，0]内无交点，而在区间(0，+∞)内，即第一象限内有唯一交点．34.参考答案：35.参考答案：解：方法一：由y(x)=e-2xf(x，x)，两边对x求导有

y'=-2e-2xf(x，x)+e-2xf'1(x，x)+e-2xf'2(x，x)

=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]

=-2y+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]。

已知f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv，即f'1(u，v)+f'2(u，v)=uv，则f'1(x，x)+f'2(x，x)=x2。

因此，y(x)满足一阶微分方程y'+2y=x2e-2x。由一阶线性微分方程的通解公式得

方法二：由y(x)=e-2xf(x，x)有

f(x，x)=e2xy(x)，

(1)

已知f(u，v)满足

f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv，

(2)

这是一个偏微分方程，当u=x，v=x时，(2)式变为f'1(x，x)+f'2(x，x)=x2，即

将(1)式代入，有[e2xy(x)]'=x2，即

2e2xy(x)+e2xy'(x)=x2，

化简得

y'(x)+2y(x)=x2e-2x，

由一阶线性微分方程的通解公式得

36.参考答案：[解]因为A2=A，所以A(A-E)=0，

所以0=r(A(A-E))≥r(A)+r(A-E)-n，

即得-r(A)+r(A-E)≤n

①

又因为r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n即r(A)+r(A-E)≤n

②

由①②得r(A)+r(A-E)=n．所以r(A-E)=n-r．37.参考答案：±x[解析]令y'=p，则，即，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y'(0)=0得，，由y(0)=1得G2=0，所以特解为38.参考答案：解：

令则

所以

所以[解析]题设积分中含反三角函数，利用分部积分法．

被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换．39.参考答案：D40.参考答案：1，-