理学导数概念

微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)

微分概念的产生是为了描述曲线的切线和运动质点速度,微积分分为微分学与积分学两部分.更一般地说,是为了描述变化率的概念,这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝库之门.由牛顿—莱布尼兹定理联系着.

微积分的系统发展通常归功于两位伟大的科学先驱——

这一系统发展的关键在于认识到,过去是一直是分别研究的微分和积分这两个过程是彼此互逆的两个过程,

公正的历史评价,他俩的巨大成就也是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作基础之上的.牛顿和莱布尼兹.17世纪后出现的微积分,在数学邻域中占据着主要的地位.它非常成功地运用了无限过程的运算,即极限运算.兹的工作才使得微积分成为了一门独立的十几位最伟大的数学家和几十位其它只是通过牛顿和莱布尼事实上,微积分问题至少被17世纪数学家探索过,的科学.

今天,微积分的思想和方法不仅获得了广泛的应用,学的重要支柱.而且微积分也成了数学科本章主要内容高阶导数导数概念求导法则隐函数求导

函数微分引例导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系求导举例第一节导数的概念例1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时刻的瞬时速度v(t0).

这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解若运动是匀速的,平均速度就等于质点一、引例关系质点走过的路程为,0tt®从时刻并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,平均速度就是这段时间内运动快慢的平均值,

越接近它越近似表明t0时刻运动的快慢.因此,人们把t0时的速度定义为例2割线的极限位置——对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线如何作过的切线呢？

初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周但此定义不适应其它曲线.如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置.曲线上点法国数学家费马1629年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题.处切线的斜率.已知曲线的方程确定点MN为割线，当点N在曲线上趋于点M时,现在来解决以下问题：则MT为点M处的如图,MN旋转而趋向极限位置MT,切线.割线MN的斜率为切线MT的斜率为0limxx®

就其实际意义来说各不相同,关系上有如下的共性:但在数量计算方法上,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,均需要做以下极限运算：令上述极限可以写为或定义函数与自二、导数的定义之比为变量的增量xD中的任何一个表示,存在,如或或有导数.可用下列记号则称此极限值为处不可导或导数不存在.特别当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无注要注意导数定义可以写成多种形式:当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x0在利用导数的定义证题或计算时,正(负)无穷时,穷大,但这时导数不存在.关于导数的说明或令(1)点导数是函数在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率.则无论何种形式，其本质在于(1)函数增量与自变量增量之比；(2)变化过程为自变量增量趋近于零.例第86页1，2题边际概念是与导数密切相关的经济学概念,(2)如果函数y=f(x)在开区间

I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导.注记作即或(3)对于任一都对应着f(x)的一个确定的导数值.叫做原来函数f(x)的导函数.函数在某点的导数就是导函数在这点的函数值导函数是一个函数，它是x与f(x)的导数间的对应，导函数也简称为导数.上述的求极限过程中，谁是变量？从而确定了一个以x为自变量，以导数值为因变量的新的函数.例解三、求导举例(几个基本初等函数的导数)

步骤

即例解更一般地如即以后证明！例解即同理可得课后练习！例解即第一章第9节例7！例解即或利用第一章第9节例6！例解即左右极限虽然存在，但是不相等.是否可导取决于是否存在单侧导数存在而且相等，由导数定义存在的充分必要条件为和分别称为f(x)在x0处的左导数和右导数，记为左右导数统称为单侧导数.处的可导性.此性质常用于判定分段函数在分段点如果在开区间内可导,都存在,比如f(x)=|x|在x=0处所以在此点不可导.极限存在的充要条件为左右极限存在且相等.特别地:即四、导数的几何意义由引例2(切线问题)，切线的斜率就是极限值))(,()(,0)()1(000xfxxfyxf在点则曲线若==¢;轴的切线平行于Ox例解得切线斜率为所求切线方程为法线方程为由导数的几何意义,即即五、可导与连续的关系即函数极限与无穷小的关系所以,该点必连续.结论：如果函数则函数在在点x处可导,如,该命题的逆命题不一定成立.注连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.例讨论函数在x=0处的连续性和可导性.解在x=0处的连续性是显然的.但在x=0处，由于所以是不可导的.