全等三角形预习导学案

全等三角形预习导学案12.1全等三角形学习目标：1.知道什么是全等形、全等三角形；2.能够熟练地找出全等三角形的对应元素，并用符号正确地表示两个三角形全等；3.掌握全等三角形的性质。重点：全等三角形的概念和性质。难点：对应边和对应角的确定。自主学习一、全等形、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形的特征是它们的和都相同。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。二、全等三角形的对应元素及表示1.平移、翻折、旋转是寻找全等三角形的一种策略。一个图形经过平移、翻折、旋转后，虽然变化了，但是它的形状和大小都没有改变。2.全等三角形的对应元素有三个：对应顶点、对应边和对应角。3.寻找对应元素的规律：(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(5)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。4.“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。例如，△ABC≌△DEF读作“△ABC全等于△DEF”。5.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。三、全等三角形的性质全等三角形的性质是它们的对应边和对应角都相等。练习：1.如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边和角有：OC=OD，CA=BD，∠OCA=∠ODB。2.如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，其他的对应边和对应角有：AB=AC，AE=AD，∠AEB=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∠BEA=∠CDA。课堂小结：本节课学习了全等三角形的概念、对应元素和性质，掌握了寻找对应元素的规律和用符号表示全等三角形的方法。巩固练习：1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角。A（1）（2）（3）DE对应顶点：A-D-E，对应边：AB-DE，AC-DF，BC-EF，对应角：∠A-∠D-∠E，∠B-∠E-∠F，∠C-∠D-∠F。2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知∠A=43°，求∠B和∠C。因为△ABE≌△ACD，所以∠AEB=∠ACD，∠BAE=∠CAD，∠BEA=∠CDA。又因为∠ADE=∠AED，所以∠B=∠C。所以∠B=∠C=(180°-∠A)/2=(180°-43°)/2=68.5°。1.全等用符号表示，读作“congruentto”。2.若三角形BCE全等于三角形CBF，则∠CBE=∠CBF,∠BEC=∠BFC,BE=BF,CE=CF。4.如图，如果三角形ABC全等于三角形DBF，那么∠B的对应角是∠D，∠C的对应角是∠F，AB的对应边是DB，AC的对应边是DF。5.如图，如果三角形OCA全等于三角形OBD，那么对应顶点是O和O，A和D，B和C；对应角是∠OCA和∠OBD，∠OAC和∠ODB，∠OBC和∠ODC；对应边是OA和OD，OC和OB，BC和CD。6.如图，如果三角形ABC全等于三角形CDA，那么对应边是AB和CD，AC和DA，BC和CA；对应角是∠A和∠C,∠B和∠D,∠CAB和∠CDA。27.如图，如果三角形ABN全等于三角形ACM，那么对应边是AB和AC，AN和AM，BN和CM；对应角是∠B和∠C,∠ABN和∠ACM,∠BAN和∠CAM。二、填空题1.∠DBC等于∠ACB。2.EF的长为4。3.∠F=65°，AB=7.2㎝。4.DE与BC位置关系是相对，数量关系是等于。三、解答题5.△ABC≌△ADE，对应边是AB和AD，AC和AE，BC和DE；对应角是∠A和∠A，∠B和∠D，∠C和∠E。6.因为AC∥DF，且AD=BC，所以△ABC全等于△ADF，对应边是AB和AD，AC和AF，BC和DF。7.由于△ACF≌△ADE，所以DF=CF=9-4=5。8.∠C=90°-∠A=90°-∠ADB-∠EDB=90°-∠EDC-∠EDB=∠B。12.2三角形全等的判定(SSS)学习目标：1.能够自己探索出判定三角形全等的SSS判定定理。2.能够应用判定定理SSS进行简单的推理判定两个三角形全等。3.能够作出一个角等于已知角。学习重点：三角形全等的条件。AD学习难点：寻求三角形全等的条件。一、自主学习1.复习：什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？如图，若△ABC≌△DCB，则：相等的边是：CB。相等的角是：∠CAB和∠DCB。2.讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）（1）只给一个条件：一组对应边相等（或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？不一定。（2）给出两个条件画三角形，有几种情形。按下面给出的两个条件，画出的两个三角形一定全等吗？①一组对应边相等和一组对应角相等。②两组对应边相等。③两组对应角相等。（3）给出三个条件画三角形，有几种情形。按下面给出三个条件，画出的两个三角形一定全等吗？①三组对应角相等。②三组对应边相等。已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？a.作图方法：b.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现它们重合。c.归纳：三边对应相等的两个三角形，简写为“SSS”或“三边全等”。d.用数学语言表述：在△ABC和△A'B'C'中，∵AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）“SSS”是证明三角形全等的一个依据。探究1.[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：△ABD≌△ACD。证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC，∴在△ABD和△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）温馨提示：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好。②三角形全等书写三步骤：A.写出在哪两个三角形中。B.摆出三个条件用大括号括起来。C.写出全等结论。2.如图，OA=OB，AC=BC。求证：∠AOC=∠BOC。3.尺规作图已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF=∠AOB。提升1.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE。求证：△ABC≌△AED。1.已知条件：△ABD≌△ACD，∠B=∠C，AD平分∠BAC，求证：△ABC是等边三角形。改写后：已知△ABD≌△ACD，且∠B=∠C，AD平分∠BAC，证明△ABC是等边三角形。2.已知条件：OA=OB，应添加什么条件可以得到△AOC≌△BOD。改写后：已知OA=OB，需要添加什么条件才能得到△AOC≌△BOD。3.已知条件：AB=AC，AD=AE，求证：∠B=∠C。改写后：已知AB=AC，AD=AE，要证明∠B=∠C。4.已知条件：CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN。改写后：已知CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，要证明DM=DN。课堂小结：1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”或“ASA”。2.目前为止，已探索出判定三角形全等的两种方法，分别是“SAS”和“ASA”。学习过程：一、自主学习1.复习思考：（1）目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有两种，分别是“SAS”和“ASA”。（2）已知两角一边的三角形又分为两种情况，分别是“AAS”和“ASA”。2.探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？（1）已知△ABC，求作△A'B'C'使得∠B'=∠B，∠C'=∠C，B'C'=BC。（2）将△A'B'C'剪下来放到△ABC上，观察是否能够完全重合。（3）归纳得出全等三角形判定“SAS”或“ASA”。（4）用数学语言表述全等三角形判定“SAS”或“ASA”。3.探究二：两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等？（1）已知△ABC和△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，要证明△ABC与△DEF全等。（2）归纳得出全等三角形判定“AAS”或“ASA”。C、斜边和一条直角边对应相等，D、两个锐角对应相等。③如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF。根据已知条件，可以得出AB平行于CD的结论。因为AF⊥BC，DE⊥BC，所以∠AFB=∠DEC（垂直的定义）。又因为BE=CF，所以BF=CE。在Rt△AFB和Rt△DEC中，根据余角定理可以得出∠ABF=∠CED。同理，在Rt△BFC和Rt△AED中，可以得出∠BFC=∠AED。因此，根据内错角相等的定理，可以得出AB平行于CD。④如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点。（1）MB=MD，ME=MF的证明：根据题意，可以得出△ABF≌△CED和△BFC≌△AED。因此，BF=CE，BF=BD-DF，CE=AC-AE。代入可得BD-DF=AC-AE，即BD+AE=AC+DF。又因为AB=CD，AF=CE，所以AM=MC。因此，可以得出MD=MA-AE=MC-DF=MB，ME=MA+AE=MC+DF=MF。（2）当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论仍然成立。证明同上。⑤如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F。（1）若AC//DB，且AC=DB，则可以得出ABCD是一个平行四边形，因此AE=BF，CE=DF，AC=BD。根据三边相等的条件，可以得出△ACE≌△BDF。（2）若AC//DB，且AE=BF，则可以得出△ABE≌△DCF。因此，AE=BF=CE-CD，即CE=AE+CD=BF+CD=DF。根据两边和一角相等的条件，可以得出△ACE≌△BDF。（3）若AE=BF，且CE=DF，则可以得出△ACE≌△BDF。因为AE=BF，所以AC=AB+BC=CD+BD，即AB=CD，AC=BD。因此，根据三边相等的条件，可以得出△ACE≌△BDF。（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF，则可以得出△ACE≌△BDF。因为AC=BD，所以ABCD是一个平行四边形，因此AE=BF，CE=DF。根据三边相等的条件，可以得出△ACE≌△BDF。（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则可以得出△ACE≌△BDF。因为AC=BD，所以ABCD是一个平行四边形，因此AE=BF，CE=DF。根据两边和一角相等的条件，可以得出△ACE≌△BDF。12.6角的平分线的性质(1)学习目标:1、了解角的平分线的概念和性质。2、掌握角平分线定理及其应用。3、培养推理能力和应用意识。教学重点：掌握角平分线定理及其应用。教学难点：角平分线定理的应用。学习过程一、自主学习1.什么是角的平分线？如何画角的平分线？2.如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线。这是因为AE把∠BAD分成两个相等的角。3.根据角平分仪的制作原理，我们可以用尺规作角的平分线。为了更准确地作出角平分线，我们需要用大于1/2MN的长为半径画弧。探究1.OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点。通过测量PD和PE的长，可以发现PD=PE，因此可以得出结论：点P到∠AOB的两边的距离相等，即P在∠AOB的平分线上。这也是角平分线定理的基本思想。二、合作探究1.角平分线定理的表述和证明2.角平分线定理的应用：如何求角平分线的长度？三、归纳总结角平分线定理的应用：1.求角平分线的长度2.判断角平分线所在的位置3.利用角平分线定理求解几何问题四、拓展延伸1.角平分线定理的推广2.角平分线定理在三角函数中的应用五、课堂练习根据已知条件，求证：∠AEB=∠DEC。2.证明命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。题设：角ABC，角平分线AD，点E在AD上。结论：AE=ED=EB。根据角平分线的定义，AD将角ABC分成两个相等的角，即∠BAD=∠DAC。由此可知，△ABD与△ACD是全等的。因此，AB=AC，且BD=CD。又因为DE⊥AB，所以AD=AE+ED。同理，CD=CE+ED。将BD=CD代入其中，得到AE=CE，即E在AC的中垂线上。又因为AB=AC，所以E也在AB的中垂线上。因此，E是角ABC的平分线上的点，且AE=ED=EB。3.用数学语言来表述角的平分线的性质定理：定理：在一个角的内部，有且只有一条角平分线，它把这个角分成两个相等的角。证明一个几何命题的步骤有那些？证明一个几何命题的步骤一般包括以下几个步骤：1.理解题意，画图；2.根据已知条件，列出几何条件和结论；3.运用几何定理和公式进行推导；4.用语言或符号证明结论；5.检查证明过程是否严密、合理。课堂练习1.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）。A.SASB.AASC.SSSD.ASA答案：D。尺规作已知角的平分线的基本步骤是：以角的顶点为圆心，作一条任意弧，交角的两边于A、B两点。再以A、B两点为圆心，以任意长度画两个弧。这两个弧交于C点，连接C与角的顶点O，则OC即为角的平分线。这是基于ASA三角形全等定理。2.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）。A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D。根据题意，∠DPO和∠EPO是直角，因此不能相等。其他三个结论都是正确的。3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB。答案：根据题意，AD是∠BAC的平分线，因此∠BAD=∠CAD。又因为BD=DF，所以△BDF与△CDF是全等的。因此，∠BFD=∠CFD，即∠BFE=∠CFE。又因为DE⊥AB，所以AE=EB，DE=EF。因此，△ABE与△CFE是全等的，从而得到CF=EB。4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。答案：根据题意，AC⊥BC，因此△ABC是直角三角形。又因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD。因此，△ABD与△ACD是相似的。设BE=x，则DE=7-x。根据相似三角形的性质，得到3/7=x/(7-x)，解得x=21/10。因此，BE的长为2.1㎝。5.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等。答案：根据题意，AB=AC，因此BD=CD。又因为D是BC的中点，所以AD⊥BC，即AD是BC的高。因此，D到AB、AC的距离相等。6.已知：如图，AM是∠BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB，AC的垂线，垂足为F，D，且分别交AC、AB于点G，E．求证：OE=OG。答案：根据题意，AM是∠BAC的平分线，因此∠BAM=∠CAM。又因为OF⊥AB，OE⊥AC，所以∠OFE=∠OED，∠OGD=∠OFD。因此，△OFE与△OED是全等的，△OGD与△OFD是全等的。因此，OE=OG。7.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD。求证：BE=CF。答案：根据题意，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又因为BD=CD，所以△BDF与△CDF是全等的。因此，∠BFD=∠CFD，即∠BFE=∠CFE。又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以AE=EB，CF=FC。因此，△ABE与△CFC是全等的，从而得到BE=CF。8.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AD=BD。（1）求证：AC=BE；（2）求∠B的度数。答案：（1）根据题意，AD是△ABC的角平分线，因此∠BAD=∠CAD。又因为∠C=90°，所以△ABD与△ACD是相似的。因此，AC/AB=AB/AC，解得AC=AB^2/AC=BC。又因为AD=BD，所以△ABD是等腰三角形，即AB=BD。因此，AC=BC=BE。（2）根据题意，AD是△ABC的角平分线，因此∠BAD=∠CAD。又因为∠C=90°，所以△ABD与△ACD是相似的。因此，AC/AB=AB/AC，解得AC=AB^2/AC=BC。又因为AD=BD，所以△ABD是等腰三角形，即AB=BD。因此，BC=AB=AC。因此，∠B=45°。二、探究根据题目所给图，已知角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。证明：作角BPC的平分线，交AB，AC于点E，F，连接PE，PF。由角平分线的性质，得∠BPM=∠CPN∠BPE=∠CPF又因为△BPE与△CPF有∠BPE=∠CPFBE=CFPE=PF（共边）∴△BPE≌△CPF（SAS）∴BP=CP同理可得∠CPM=∠BPN∠CPG=∠BPGPG=PN（共边）△CPG≌△BPG（SAS）∴CP=BP综上可得BP=CP，EP=FP，故点P到三边AB，BC，CA的距离相等。因此，点P在角ABC的平分线上。三、提升根据题目所给图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠1＝∠2。证明：连接OE，OD，OC，OB。由题意得∠ODC=∠OEB=90°OB=OC∴△OEB≌△ODC（HL）∴∠1=∠2因此，∠1＝∠2。1.已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为120°。2.下列说法错误的是（）B.一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角。3.到三角形三条边的距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点。4.到三角形三边距离相等的点是三边上的中线的交点。5.完成下面的证明过程：如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB.求证：DF＝EF.证明：由题意得∠1＝∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴∠DPE=90°又因为∠1＝∠2∴∠DPA=∠EPB又因为△DPA与△EPB有∠DPA=∠EPBPA=PBPD=PE（共边）∴△DPA≌△EPB（SAS）∴DF=EF因此，DF＝EF。6.如图,三条公路两两相交于点A、B、C，现要修货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有2处，并画出来。7.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD，求证：AD平分∠BAC。证明：连接AD，BD，CD。由题意得BD=CD∴△BDC为等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又因为BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AEB=∠AFB=90°∠BDC=∠BEC+∠CFB=90°-∠AEB+90°-∠AFB=180°-∠BAC∴∠BDC=∠BAC又因为BD=CD∴AD为BD，CD的公共角平分线∴AD平分∠BAC因此，AD平分∠BAC。8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB。证明：连接AM，BD，CD。由题意得∠B=∠C=90°M是BC的中点∴BM=CM又因为DM平分∠ADC∴∠ADM=∠CDM又因为△BDM与△CDM有BD=CDDM=DM（共边）∠BDM=∠CDM∴△BDM≌△CDM（SAS）∴BM=CM∴AM平分∠DAB因此，AM平分∠DAB。9.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC,BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°。证明：连接BD，AC。由题意得BC>BAAD=DCBD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD又因为△ABD与△CBD有BD=BD（共边）∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS）∴AD=BC又因为AD=DC∴DC=BC∴△ABC为等腰三角形∴∠CAB=∠ABC∠A+∠C=2∠CAB=180°因此，∠A+∠C=180°。10.如图，AD∥BC，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为点D，交BC于点C．试问：（1）点P是线段CD的中点吗？为什么？（2）线段AD与线段BC的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？(1)点P不是线段CD的中点。因为∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，而线段CD与这两条平分线无关，所以点P不是线段CD的中点。(2)线段AD与线段BC的和等于线段AB的长度。因为AD∥BC，所以△ADB与△CDB为相似三角形。∴AD/CD=BD/CDAD=BD(BD=CD)∴AD=BD=AB-BDBC=CD∴AB=AD+BD+BC=AD+CD=AD+BC因此，线段AD与线段BC的和等于线段AB的长度。角角边全等的判定方法；全等三角形的性质和应用；全等三角形的证明方法和技巧。2.基本训练（1）掌握全等三角形的判定方法；（2）掌握全等三角形的性质和应用；（3）掌握全等三角形的证明方法和技巧。3.典型例题（1）根据已知条件判断两个三角形是否全等；（2）根据已知条件求出未知角度或边长；（3）根据已知条件证明两个三角形全等；（4）应用全等三角形的性质解决实际问题。4.综合运用根据综合条件，应用全等三角形的知识解决复杂问题，培养综合运用能力。四．练习题1.判断下列命题的真假，并说明理由。（1）全等三角形的周长相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）全等三角形的内角和相等；（4）全等三角形的任意两个对应角相等。2.已知△ABC≌△DEF，AB=6，BC=8，EF=10，求出△DEF的周长和角B的度数。3.如图，AB=AC，AD是BC的中线，DE垂直于BC，求证：△ABE≌△ACD。4.如图，AB=AC，AD是BC的中线，DE垂直于BC，求证：AE=CD。5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且BD=CE，求证：△A