专题探究课二-高考中三角函数问题的热点题型

专题探究课二--高考中三角函数问题的热点题型专题探究课二：高考中三角函数问题的热点题型1.(221·昆明调研)函数$f(x)=3\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)$的图像如下图所示。(1)求$f(x)$的最小正周期及图中$x$，$y$的值；(2)求$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上最大值和最小值。解：(1)由题得，$f(x)$的最小正周期为$\pi$，$y=3$。当$y=3$时，$\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)=1$，解得$\frac{2x+\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，即$2x+\pi=3\pi$，解得$x=\frac{\pi}{6}$。因此，$f(x)$的图像在$\left(\frac{\pi}{6},3\right)$处取得最大值。(2)因为$x\in\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$，所以$\frac{\pi}{6}<2x+\pi<\frac{5\pi}{6}$，即$\frac{1}{6}<\frac{2x+\pi}{\pi}<\frac{5}{6}$。因此，$2x+\pi$在$\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)$中取遍所有的值，所以$f(x)$在$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上的最大值为$3$，最小值为$-3$。2.(221·郑州模拟)在$\triangleABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对应的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{b}{a}$。(1)求$B$；(2)若$\cosA=\frac{1}{3}$，求$\sinC$的值。解：(1)在$\triangleABC$中，由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$。又因为$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{b}{a}$，所以$\sinB=\sqrt{3\sinA\cdot\frac{b}{a}}$。因此，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sqrt{3\sinA\cdot\frac{b}{a}}}$，整理得$\sinA=\frac{a}{2b}$，$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$。由正弦定理可得$\sinC=\frac{c}{2R}$，其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。因为$\sinA=\frac{a}{2b}$，$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$，所以$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)$。因此，$\sinC=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{a}{2b}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。3.(221·西安调研)设函数$f(x)=\sin\left(\omegax\right)+2\sin\omega$，已知函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$。(1)求函数$f(x)$的解析式；(2)若$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$（其中$b<c$），且$f(A)=\frac{3}{2}$，$\triangleABC$的面积为$S=63$，$a=27$，求$b$，$c$的值。解：(1)因为函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$，所以函数$f(x)$的周期为$2\pi$。设$\omega=2\pi/T$，其中$T$为函数$f(x)$的周期。因为函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$，所以$T=\pi$。因此，$\omega=2$，$f(x)=\sin(x-2\pi)+1$。(2)因为$f(A)=\frac{3}{2}$，所以$\sin(A-2\pi)+1=\frac{3}{2}$，解得$\sinA=\frac{5}{6}$。由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。因为$a=27$，$\sinA=\frac{5}{6}$，所以$R=\frac{27}{\frac{5}{6}}=\frac{162}{5}$。因为$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\cdot\frac{abc}{2R}$，所以$bc=\frac{4S\cdot2R}{a}=\frac{4\cdot63\cdot\frac{162}{5}}{27}=\frac{576}{5}$。因为$b<c$，所以$b=\frac{576}{5c}<c$，解得$c>\frac{288}{13}$，$b=\frac{576}{5c}<\frac{576}{5}\cdot\frac{13}{288}=\frac{13}{5}$。根据正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入b+c=2acosB，得a=2asinB。又因为A=2B，所以sinA=2sinBcosB，代入S=absinC/2，得S=1