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专题探究课二--高考中三角函数问题的热点题型专题探究课二:高考中三角函数问题的热点题型1.(221·昆明调研)函数$f(x)=3\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)$的图像如下图所示。(1)求$f(x)$的最小正周期及图中$x$,$y$的值;(2)求$f(x)$在区间$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上最大值和最小值。解:(1)由题得,$f(x)$的最小正周期为$\pi$,$y=3$。当$y=3$时,$\sin\left(\frac{2x+\pi}{6}\right)=1$,解得$\frac{2x+\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$,即$2x+\pi=3\pi$,解得$x=\frac{\pi}{6}$。因此,$f(x)$的图像在$\left(\frac{\pi}{6},3\right)$处取得最大值。(2)因为$x\in\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$,所以$\frac{\pi}{6}<2x+\pi<\frac{5\pi}{6}$,即$\frac{1}{6}<\frac{2x+\pi}{\pi}<\frac{5}{6}$。因此,$2x+\pi$在$\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)$中取遍所有的值,所以$f(x)$在$\left(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right)$上的最大值为$3$,最小值为$-3$。2.(221·郑州模拟)在$\triangleABC$中,内角$A$,$B$,$C$所对应的边分别为$a$,$b$,$c$,已知$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{b}{a}$。(1)求$B$;(2)若$\cosA=\frac{1}{3}$,求$\sinC$的值。解:(1)在$\triangleABC$中,由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$。又因为$\sin^2B=3\sinA\cdot\frac{b}{a}$,所以$\sinB=\sqrt{3\sinA\cdot\frac{b}{a}}$。因此,$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sqrt{3\sinA\cdot\frac{b}{a}}}$,整理得$\sinA=\frac{a}{2b}$,$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$。由正弦定理可得$\sinC=\frac{c}{2R}$,其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。因为$\sinA=\frac{a}{2b}$,$\sinB=\frac{\sqrt{3}a}{2b}$,所以$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)$。因此,$\sinC=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{a}{2b}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}+\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}a}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。3.(221·西安调研)设函数$f(x)=\sin\left(\omegax\right)+2\sin\omega$,已知函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$。(1)求函数$f(x)$的解析式;(2)若$\triangleABC$的内角$A$,$B$,$C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$(其中$b<c$),且$f(A)=\frac{3}{2}$,$\triangleABC$的面积为$S=63$,$a=27$,求$b$,$c$的值。解:(1)因为函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$,所以函数$f(x)$的周期为$2\pi$。设$\omega=2\pi/T$,其中$T$为函数$f(x)$的周期。因为函数$f(x)$的图像的相邻两对称轴间的距离为$\pi$,所以$T=\pi$。因此,$\omega=2$,$f(x)=\sin(x-2\pi)+1$。(2)因为$f(A)=\frac{3}{2}$,所以$\sin(A-2\pi)+1=\frac{3}{2}$,解得$\sinA=\frac{5}{6}$。由正弦定理可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$,其中$R$为$\triangleABC$的外接圆半径。因为$a=27$,$\sinA=\frac{5}{6}$,所以$R=\frac{27}{\frac{5}{6}}=\frac{162}{5}$。因为$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}\cdot\frac{abc}{2R}$,所以$bc=\frac{4S\cdot2R}{a}=\frac{4\cdot63\cdot\frac{162}{5}}{27}=\frac{576}{5}$。因为$b<c$,所以$b=\frac{576}{5c}<c$,解得$c>\frac{288}{13}$,$b=\frac{576}{5c}<\frac{576}{5}\cdot\frac{13}{288}=\frac{13}{5}$。根据正弦定理,有a/sinA=b/sinB=c/sinC,代入b+c=2acosB,得a=2asinB。又因为A=2B,所以sinA=2sinBcosB,代入S=absinC/2,得S=1
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