平面向量基本定理及向量的坐标表示

第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学重点难点重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算难点：向量的正交分解与平面向量基本定理第四章平面向量人教A版数学知识归纳1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a

、a

，1

2使得a＝

.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．a1e1＋a2e2第四章平面向量人教A版数学当θ＝0°时，a与b方向；当θ＝90°时，称a与b·3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同；当θ＝180°时，a与b方向

相反

垂直第四章平面向量人教A版数学4．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同

的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学误区警示已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆．a＝(x

，y

)，b＝(x

，y

)，则a∥b⇔x

y

－x

y

＝0，1

1

2

2 1

2 2

1当a、b都是非零向量时，a⊥b⇔x

x

＋y

y

＝0.1

2 1

2第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量解题技巧证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a

人教A与b共线(平行)．

版数学1

1

2

2 1

2 2

1(2)a＝(x

，y

)，b＝(x

，y

)，若x

y

－x

y

＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝±|a|·|b|，则a与b共线．第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学分析：据向量坐标与向量的始点、终点坐标的关系及数乘向量的定义求解．第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学总结评述：向量的坐标表示是给出向量的又一种形式，只与它的始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个，必须灵活运用．第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学答案：A第四章平面向量人教A版数学答案：D第四章平面向量人教A版数学[例2]

已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k取何值时ka＋2b与2a－4b平行？解析：当ka＋2b与2a－4b平行时，存在惟一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)．2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)．由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得第四章平面向量人教A版数学点评：可由向量平行的坐标表示的充要条件得(k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.第四章平面向量(文)(2010·江苏苏北四市)已知向量a＝(6,2)，b＝(－3，k)，若a∥b，则实数k等于人(

)

教A版数学A．1

B．－1

C．－2

D．2答案：B第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学分析：求轨迹方程的问题求谁设谁，设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学答案：D第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学即m＋2n＝1①第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量人教A版数学一、选择题1．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为(

)B．－a＋2bD．a＋2bA．2a－bC．a－2b[答案]C第四章平面向量人2．(文)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(

)

教A版数学B．6

C．2

D．－2A．－6[答案][解析]Ba＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.第四章平面向量人教A版数学[答案]

D第四章平面向量人教A版数学3．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于(

)B．1D．2A．－1C．－2[答案][解析]Cλa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.第四章平面向量人教A版数学[答案]

A第四章平面向量人教A版数学第四章平面向量教A版数学二、填空题5．(文)(2010·陕西文)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝

.人－1由题意得，a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，[答案][解析]m－1)，∵(a＋b)∥c，∴1×2－(m－1)×(－1)＝0，∴m＝－1.第四章平面向量人教A版数学1

2(理)(2010·上海嘉定区调研)已知e

＝(1,3)，e

＝(1,1)，e

＝(x，－1)，且e

＝2e

＋λe

(λ∈R)，则实数x的值是3

3

1

2

．[答案]

－5[解析]3

1

2e

＝2e

＋