高数拉普拉斯变换

2023/9/21

目录第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示第五章留数及其应用第六章傅立叶变换第七章拉普拉斯变换第一章复数与复变函数2023/9/22第七章拉普拉斯变换

上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介绍的是后面这种情况．

2023/9/23第七章拉普拉斯变换

7.1拉普拉斯变换的概念

7.2拉氏变换的性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉氏变换的应用及综合举例本章小结思考题2023/9/24第一节拉普拉斯变换的概念

1．拉普拉斯变换的定义

2023/9/25例1．解：1/s的拉氏逆变换为哪个？？？2023/9/26例2．解：由上式可得：2023/9/27第二节拉氏变换的性质1．线性性质一、线性与相似性质

2023/9/28例1．解：

w偶函数

w奇函数2023/9/29例2．解：2．相似性质2023/9/210二、微分性质

1．导数的象函数推广：此性质使我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它对分析线性系统有重要的作用．2023/9/211例3．解：利用线性性质及微分性质，有:代入初值:有前面结果，可以得到：对方程两边取拉氏变换，有:利用线性性质，有:解得:2023/9/2122．象函数的导数一般地有例4．解：同理例5．2023/9/213三、积分性质

1．积分的象函数推广：２．象函数的积分推广：2023/9/214例5．解：2023/9/215四、延迟与位移性质

1．位移性质若则有证明：这个性质表明：象原函数乘以指数函数其象函数做位移的拉氏变换等于2023/9/216例6．设求解：令则据积分性质得：所以2023/9/2172．延迟性质若或证明：由定义2023/9/218例7．求函数的拉氏变换．解：已知由延迟性知例8．求函数的拉氏变换．解：因为所以2023/9/219五、周期函数的拉氏变换

设逐段光滑，则证明：由定义有2023/9/220几个常用函数的拉氏变换2023/9/221六、卷积与卷积定理

1．卷积的概念前面讨论两函数傅氏卷积为则记作：2023/9/222例1．解：2．卷积的性质2023/9/2233．卷积定理或证明：2023/9/224推论：则这性质说明：函数卷积的拉氏变换等于其象函数的乘积．例2．求下列卷积的拉氏变换解：2023/9/225第三节拉普拉斯逆变换一、反演积分公式

构成一对互逆的积分变换公式，拉氏变换对．2023/9/226二、利用留数计算反演积分

定理2：

即：计算复变函数积分通常比较困难，可以利用留数方法拉计算这个反演积分．2023/9/227例1．解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷积求解2023/9/228根据卷积定理有：解：法二利用留数求解及留数计算法则有：2023/9/229第四节拉普拉斯变换的应用及综合题

对于一个系统，无论是机械的，电的，要想真正了解、分析与研究，就应该对该系统建立描述系统数量特性的数学模型或把面放窄一点来考虑就要建立该系统的微分方程，尤其在一些线性电路上，因为这一类线性电路是满足叠加定原理的系统，它们在自动控制中占有很重要的地位，本节着重是对建立的微分方程，通过用拉氏变换的一套方法来解微分方程．

2023/9/230例1．解：方程两边取拉氏变换，得：由拉氏变换的性质及初始条件得：取逆变换，得：2023/9/231用拉