必修四平面向量复习分解

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思考是一种寻觅。寻觅的过程充满混沌与艰辛，需穿越荒漠涉过险滩，有时则穿行在热闹的人群中，忍受着生活的单调和人们的误解。在失败时思考，是为了渡过人生的这一危机，在大声喧哗时思考，是为了保持冷静；在独处时思考，是为了更仔细地梳理命运的线索……思考的魅力是无穷的，善于思考是人生的一大财富。愿每位同学在学习生活中懂得思考，学会思考。

第二章平面向量复习平面向量复习平面向量

表示运算

实数与向量的积

向量加法与减法

向量的数量积

平行四边形法则向量平行、垂直的条件平面向量的基本定理三角形法则向量的三种表示向量的相关概念一.基本概念1.向量及向量的模、向量的表示方法1)几何表示2)字母表示3)坐标表示AB有向线段AB向量的模（长度）1.设a=(x

,y),则2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则一.基本概念2.零向量及其特殊性3.单位向量一.基本概念4.平行向量5.相等向量6.相反向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.在保持长度和方向不变的前提下,向量可以平行移动.平移先后两向量相等任一组平行向量都可平移到同一直线上(共线向量)区分向量平行、共线与几何平行、共线长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.首要的是通过向量平移,使两个向量共起点7.两个非零向量的夹角一.基本概念1.向量加法的三角形法则2.向量加法的平行四边形法则3.向量减法的三角形法则首尾相接共起点共起点二.基本运算（向量途径）向量加法的运算律(交换律、结合律）平面向量复习1.向量的加法运算ABC

AB+BC=三角形法则OABC

OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a+b=重要结论：AB+BC+CA=0设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC平面向量复习2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a－b=

3.加法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=在同一个平行四边形中把握：及其模的关系ADBC3.实数与向量的积是一个向量运算律二.基本运算（向量途径）其实质就是向量的伸长或缩短！4.两个非零向量的数量积向量数量积的几何意义可正可负可为零二.基本运算（向量途径）运算律5、数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：注意：数量积不满足结合律平面向量数量积的重要性质

（1）e·a=a·

e=|a|cosθ（2）a⊥b的条件是

a·b=0(3)当

a与b同向时，

a·b=|a||b|;

当a与b

反向时，a·b=-|a||b|

特别地：a·a=|a|2

或

|a|=

（4）cosθ=

（5）|

a·b|≤|a||b|

a,b为非零向量，e为单位向量二.基本运算（坐标途径）三.两个等价条件四.一个基本定理2.平面向量基本定理利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组练习1：判断正误，并简述理由。(√

）(√

）(√

）(×

）(×

）(×

）平面向量复习2.设AB=2(a+5b)，BC=

2a+8b，CD=3(a

b)，求证：A、B、D三点共线。分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD=

2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD且AB与BD有公共点B∴

A、B、D三点共线AB∥BD

应用举例例3.向量的长度与夹角问题

应用举例例4.平行与垂直问题

应用举例例5.平行与垂直问题例7.

已知a=(1，1)，b=(－4，5)，分别求a，b的单位向量。例6.

已知平行四边形ABCD的三顶点A(－1,－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和中心M的坐标D(1，－2)例8.

已知a=(3，－2)，b=(－1，0)，（1）求向量3a－2b的坐标；（2）求a+3b的长度；（3）求x的值，使xa+(3－x)b与3a－2b为平行向量(11，-6)2x=9例9.已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在b方向上的正射影的数量。题型一:向量的基本概念√

×

（1）（2）（3）×

×

×

题型二：平面向量的几何运算CMND

（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心题型三:向量平行与垂直的条件利用向量共线定理及向量减法运算证明例

求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.题型四:运用坐标运算解决求角或距离等问题你能总结一下运用向量解决平面几何中角的计算问题的方法、思路吗？用坐标运算的方法解决下列问题：题型五:向量与三角函数的综合规律方法总结1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等。4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。作业布置1.

(湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2，=2，=2,则（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直2.(浙江)已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则｜｜的最大值是（）

A.1B.2C.D.

3.在△ABC中，若∣∣的值为()A.1B.3C.D.4.5.1.

(湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2，=2，=2,则（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直解:同学们能尝试用上述定比分点的向量式解决吗？1.

(湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2，=2，=2,则（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直作业布置2.(浙江)已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则｜｜的最大值是（）

A.1B.2C.D.

方法一:向量式展开后整理有方法二：方法三：（借助图形分析）∴C在以AB为直径的圆上，当OC为圆的直径时，取最大值3.在△ABC中，若∣∣的值为()A.1B.3C.D.分析：将两向量式相减有D【评注】注意向量的模与数量积之间的关系：4.5.做

一

做解（1）（2）如图建系，Cxy