第11章压杆稳定

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工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性材料力学中南大学土木建筑学院

二、三种平衡状态及判断方法

稳定平衡不稳定平衡随遇平衡判断方法——微小扰动法

在平衡位置给物体一任意微小扰动，扰动消失后考察物体是否自动恢复原平衡位置。材料力学中南大学土木建筑学院F>kl不稳定平衡稳定平衡F<klF=kl临界状态FRBAF直线平衡FRBAF微小偏转平衡FRBAF继续偏转倾倒lBA刚性杆Fk给刚性杆微小扰动，考虑扰动消失后杆的平衡。材料力学中南大学土木建筑学院

临界状态——压杆从稳定平衡到不稳定平衡之间的过渡状态。三、临界状态及失稳失稳(屈曲)——压杆失去稳定平衡状态的现象。注意：临界载荷是压杆保持稳定平衡时所能承受的最大载荷，或使压杆失稳时的最小载荷。中心受压直杆临界载荷Fcr——压杆处于临界状态的轴向压力。此时横截面上的应力称为临界应力scr失稳表现为由直线形式的平衡过渡到曲线形式的平衡。材料力学中南大学土木建筑学院保持常态、稳定失去常态、失稳F（<Fcr）压弯曲线平衡微小扰动QFcr压弯曲线平衡微小扰动QF轴压直线平衡弹性杆F（<Fcr

）恢复直线平衡扰动消失失稳曲线平衡Fcr扰动消失材料力学中南大学土木建筑学院四、稳定性问题1、危害临界应力往往低于材料的屈服极限；破坏往往突然发生，是不可恢复的。

2、特点每根压杆的临界载荷各不相同，稳定性计算就是计算压杆的临界载荷。3、广泛性除压杆外，凡有压应力的薄壁构件均存在稳定性问题。材料力学中南大学土木建筑学院Fcr材料力学中南大学土木建筑学院§11.2细长压杆的临界载荷

一、两端铰支(球铰)细长压杆的临界载荷FxFyl1、欧拉公式（Euler,1774）设：压杆处于临界状态，在微弯形态下平衡；此时的压力为临界载荷，即

F=Fcr假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，然后设法求挠曲函数。求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。材料力学中南大学土木建筑学院v〞+k2

v=0记通解

v=Asinkx+Bcoskx边界条件Ⅰ：x=0,v=0B=0v=AsinkxEIv〞=－

M=－

Fcrv

M=FcrvxvFxFyl材料力学中南大学土木建筑学院v=Asinkl=0A≠0sinkl=0

kl=np

n=1,2,…边界条件Ⅱ：x=l,v=0

保持微弯平衡形态的最小压力为临界载荷欧拉公式FxFyl材料力学中南大学土木建筑学院2、两个结果

①临界载荷（1）上述公式只适用于两端铰支细长压杆；（2）I——

各方向约束情况相同时应取最小形心主惯性矩，且按未削弱面积计算；（3）在确定的约束条件下，临界载荷Fcr仅与材料E、长度l和截面尺寸I有关，材料的E越大，截面越粗，杆件越短，临界力Fcr越高；（4）临界载荷是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，Fcr越高，稳定性越好，承载能力越强；材料力学中南大学土木建筑学院②弯曲挠曲线

（1）vmax

=A,数值不能确定，是由于采用了挠曲线近似微分方程，若采用精确微分方程，可以确定最大挠度值。（5）临界载荷Fcr与外部轴向压力的大小无关。材料力学中南大学土木建筑学院二、其他支座条件下细长压杆的临界载荷

方法1：同欧拉公式由“微分方程+边界条件”确定方法2：相当长度法在压杆中找出长度相当于两端铰支的一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该段临界载荷即为整个压杆的临界载荷。材料力学中南大学土木建筑学院1、一端固定、另一端自由相当于长度为2l两端铰支细长压杆的临界载荷Fcr材料力学中南大学土木建筑学院2、一端固定、另一端铰支

相当于长度为0.7l两端铰支细长压杆的临界载荷。Fcr材料力学中南大学土木建筑学院Fcr

3、两端固定

相当于长度为0.5l两端铰支细长压杆的临界载荷。材料力学中南大学土木建筑学院三、欧拉公式的一般形式m

——长度系数ml

——相当长度

长度系数m与杆端约束有关，约束越强，m越小，约束越弱，m越大。一端固定、另一端自由

＝2.0两端铰支

＝1.0两端固定

＝0.5一端固定、另一端铰支

＝0.7常见约束下的

材料力学中南大学土木建筑学院固-固固-铰固-自铰-铰m=0.7m=0.5m=2m=1材料力学中南大学土木建筑学院比较四根压杆的欧拉临界力材料力学中南大学土木建筑学院§11.3临界应力

一、临界应力欧拉公式的一般形式临界应力惯性半径引入材料力学中南大学土木建筑学院用临界应力表达的欧拉公式记称为压杆的柔度（长细比）

柔度l集中反映压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。临界应力

失稳发生在l较大的纵向平面内scr越小，越容易失稳材料力学中南大学土木建筑学院二、欧拉公式的适用范围和经验公式适用条件:材料服从胡克定律;小变形。因此，应力超过材料的比例极限sp后，欧拉公式不再成立。欧拉公式的适用范围是scr

≤

sp

。≤sp挠曲线近似微分方程

EIv″=－M欧拉公式导出1、欧拉公式适用范围材料力学中南大学土木建筑学院Q235钢lp=100大柔度杆(细长杆)

可用欧拉公式求临界载荷或临界应力等价材料固有柔度值，与实际压杆无关。压杆柔度

lp实际压杆柔度材料固有柔度值

材料力学中南大学土木建筑学院2、经验公式压杆柔度<lp则scr>sp

超过比例极限的压杆稳定问题经验公式(1)直线公式scr=

a-b

a,b查表<lpls

中柔度杆(中长杆)sp<scr

ss直线经验公式须保证应力不大于屈服极限材料力学中南大学土木建筑学院<ls小柔度杆(短粗杆)

不属于压杆的稳定性问题，按抗压强度处理。(2)抛物线公式(中小柔度杆)此时scr>ssscr=

a1–b1

2a1,b1

查表具体请参阅有关规范。材料力学中南大学土木建筑学院柔度—影响压杆承载能力的综合指标。根据压杆柔度不同，可将压杆分成三类。

细长杆(

p)

——发生弹性失稳

中长杆(

s

<

p)——发生弹塑性失稳

短粗杆(

<

s)

——

不发生失稳(屈曲)，而发生屈服—实际压杆柔度（长细比）

三、临界应力总图

材料力学中南大学土木建筑学院

s

p临界应力总图

细长杆中长杆短粗杆λp材料力学中南大学土木建筑学院§11.4压杆的稳定计算强度条件相当应力不大于许用应力极限应力和安全因数只与材料有关，与实际应力状态无关，即强度许用应力为常数。极限应力塑性材料脆性材料材料力学中南大学土木建筑学院稳定条件工作应力不大于稳定许用应力。极限应力（临界应力）和稳定安全因数不仅与材料有关，而且与实际压杆的长度、约束条件、横截面尺寸和形状有关，即与实际压杆的柔度有关，所以稳定许用应力不是常数。材料力学中南大学土木建筑学院一、安全因数法理想压杆：材料均匀，轴线笔直，荷载无偏心。实际压杆：材料缺陷，轴线初弯，荷载偏心。

稳定条件工作安全因数规定的稳定安全因数工作安全因数不小于规定的稳定安全因数。必须由柔度判断压杆属何种性质的杆，用何公式来计算临界应力或临界载荷。注意材料力学中南大学土木建筑学院二、折减因数法scr、nst与压杆柔度l有关，[sw]是的l函数。[sw]=j[s][s]——强度许用应力j——折减因数j1

与柔度l有关

不必由柔度判断压杆属何种性质的杆，简化计算。注意稳定条件工作应力不大于稳定许用应力材料力学中南大学土木建筑学院分析哪一根细长压杆先失稳？于是

Fcr(a)<Fcr

(b)，(a)杆先失稳l=

l/i

,解：la>lb∴

scr(a)<scr

(b)材料力学中南大学土木建筑学院求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m，E=200GPa。解：图(a)图(b)5010图(a)FL图(b)FL(45

45

6)

等边角钢yz材料力学中南大学土木建筑学院一压杆长1.5m，由两根5.6号（56568）等边角钢组成，两端铰支，压力F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验线公式求临界压力和稳定安全因数nst。解：一个角钢：两根角钢图示组合之后所以，用经验公式求临界压力。yz材料力学中南大学土木建筑学院安全因数材料力学中南大学土木建筑学院已知：b=20mmh=50mml=940mml1=880mmQ235钢E＝205GPaF＝70kNnst=3.0校核稳定性PPPPl1

lyxxzFFFF材料力学中南大学土木建筑学院解:1、计算柔度

x-y面内，两端铰支绕z轴发生失稳m=1PFlyxFyzhbBAlyxF材料力学中南大学土木建筑学院x-z

面内，两端固定绕y轴发生失稳

m=0.5FFl1

xzyzhbl1FzxBA材料力学中南大学土木建筑学院2、计算临界力比较lz=65.1ly=76.3

因为

lz

＜ly

所以x-z面内先失稳且为中柔度压杆(即绕y轴失稳)=218.5kN3、稳定校核满足稳定条件=3.12>nst=3yzhb材料力学中南大学土木建筑学院

图示起重机，BC为钢拉索，

AB

杆为圆松木，长

L=6m，

[

]=11MPa，直径：d=0.3m，试求此杆的许用压力。解：折减因数法①最大柔度xy面内，两端视为铰支

z=1xyzOxz面内，一端固支，一端自由=2ABWFTC材料力学中南大学土木建筑学院②求折减因数③求许用压力材料力学中南大学土木建筑学院解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，z1

图示立柱，l=6m，由两根10号槽钢组成，材料为Q235钢，E=200GPa，

sp=200MPa，下端固定，上端为球铰支座，试问a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？Fly1z0yC1a材料力学中南大学土木建筑学院求临界载荷：大柔度杆，由欧拉公式求临界载荷。>lp材料力学中南大学土木建筑学院图示结构，已知E=200GPa,l<122时，scr=240-0.0068l2MPa。求Fcr=?

Fcr

6

100

300

10

58①②解：①杆：

材料力学中南大学土木建筑学院②杆：

所以，Fcr=4.32kN

Fcr

6

100

300

10

58①②材料力学中南大学土木建筑学院解：①、②杆受力：

①杆的稳定性：

图示结构，两杆材料均为Q235、长度相同，已知：F=90kN,E=200GPa,l=0.8m,lp=99.3,ls=57,经验公式scr=304-1.12l(MPa),nst=3。校核结构的稳定性。F

3032

①

②

30o30o材料力学中南大学土木建筑学院②杆的稳定性：

满足稳定性要求！材料力学中南大学土木建筑学院

图示结构，①杆的直径d=60mm,许用应力[s]=160MPa。试根据①杆的稳定条件确定结构的许可载荷[F]。F①d1.5ma2al60708090100)(lj0.440.340.260.200.16解：（1）求①杆的受力：

F1=3F（2）确定：

（3）确定结构的许可载荷[F]

材料力学中南大学土木建筑学院得材料力学中南大学土木建筑学院解：1）求BC杆的轴力以AB梁为分离体，对A点取矩，有：托架的撑杆材料为Q235钢，外径D=50mm，内径d=40mm，两端球形铰支，E=206GPa。根据该杆的稳定性要求确定横梁上均布载荷集度q的许可值。稳定安全因数nst=3。1m2m30°ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面ABCq材料力学中南大学土木建筑学院2）求BC杆的临界力=16mm×2/cos30°16×103=144.3=707mm2。=181132mm4。材料力学中南大学土木建筑学院1m2m30°ⅠⅠⅠ-Ⅰ截面ABCq因为l>lp=100，故可用欧拉公式计算BC杆的临界力。×181132=69kN(1.