离散型随机变量及其分布

1.离散型随机变量的分布律定义1.

2.

则称为随机变量X的概率分布律，简称分布律.XX的分布律也可用如下的表格形式来表示：解例1

X所有可能取的值为0，1，2.于是分布律为以A记事件第一次罚球时罚中,以B记事件第二次罚球时罚中,则有或将分布律写成0.60.0750.325012X

线条图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX2.三种重要的离散型随机变量的概率分布

(1)两点分布

设随机变量X只可能取a与b两个值,它的分布律为则称X服从两点分布(其中0<p<1)

当a=0，b=1时两点分布称为(0—1)分布即：设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0—1)分布或伯努利分布.(其中0<p<1)实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明（2）二项分布1)重复独立试验

将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为

n次重复独立试验.2)n重伯努利试验

伯努利资料实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,就是

n重伯努利试验.3)二项概率公式且两两互不相容.称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布注意:

贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或

，

且P(A)=p

，

；

（3）各次试验相互独立.例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.解因此例2分析

这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例3解图示概率分布

例4

经验表明人们患了某种疾病，有30%的人不治自愈.医药公司推出一种新药，随机选10个患此病的病人服用新药，已知其中9人很快就痊愈了.设各人自行痊愈与否相互独立.试推断这些病人是自愈的，还是新药起了作用.解

假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概率为p=0.3.以X记10个病人中自愈的病人数，则X~B(10,0.3)（3）泊松分布

泊松资料泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.（4）泊松定理设随机变量X服从二项分布，其分布律为，k=0,1,2,…,n.又设np=,(是常数)，则有二项分布与泊松分布有以下的关系.该定理于1837年由法国数学家泊松引入！单击图形播放/暂停ESC键退出二项分布

泊松分布

可见，当n充分大,p又很小时,可用泊松分布来近似二项分布！

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等例５

某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01，设各人患病与否相互独立.现随机抽取200人，求其中至少4人患这种病的概率.解

以X记200人中患此病的人数，所求概率为查泊松分布表（附表３）则X~B(200，0.01).利用泊松定理，例6

为了保证设备正常工作,需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解所需解决的问题使得合理配备维修工人问题由泊松定理得故有个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8例8（课堂讨论）设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障故有即有

按第二种方法故80台中发生故障而不能及时维修的概率为离散型随机变量的分布两点分布二项分布泊松分布二项分布泊松分布两点分布３．小结

解：分析思考一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}解例13.例题讲解JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBase