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文档简介

第七次课§3.2

向量组的线性相关性§3.1n维向量了解n维向量的概念理解向量组的线性组合、线性相关（无关）的概念掌握向量组相关性的有关性质及判定定理教学内容教学目标及基本要求§3.3

向量组线性相关性的判定向量组的线性相关性重点难点向量组的线性相关性2023/9/22§3.1N维向量一、基本概念及运算Vector1、def：由n个数组成的有序数组或，称为n维向量。列向量(列矩阵)，记作行向量(行矩阵)，记作实向量复向量全为0零向量至少存在一个非零元素非零向量2023/9/232、向量组：若干个维数相同的行向量（列向量）所组成的集合3、矩阵与向量的内在联系列向量组行向量组2023/9/24二、n维向量的线性运算及其运算律1、同型向量：维数相同的行（列）向量2、向量相等：3、数乘：4、加（减）法：5、运算律：略，见教材2023/9/25设求1）例12）2023/9/26§3.2-§3.3向量组的线性相关性一、向量组的线性组合(P72定义3.2.1)2023/9/27则2023/9/28故判断向量组的线性组合（表示）可转化为判断其所对应的非齐次线性方程组是否有解。无解有解存在唯一解有无穷多解线性方程组的向量形式2023/9/29当方程个数=未知量个数时,也可用Cramer法则来判断结论1：任一向量都能被基本单位向量组线性表示“非不唯”均可由n维基本向量组表示为α=a1e1+a2e2+…+anen.2023/9/210例12023/9/211线性表示（表出）复习无解有解存在唯一解有无穷多解2023/9/212二、向量组的线性相关性AX=0的向量表示形式

则,当不全为0时（存在非零解）称线性相关

当时（只有零解）称线性无关

(P73定义3.2.2)2023/9/2132、定理1：只有零解(线性无关)存在非零解(线性相关)结论：基本单位向量组必线性无关。(P78定理3.3.2)(P74例3.2.1)2023/9/214例12023/9/215例22023/9/216(P75定理3.2.1)例1(P76例3.2.4)2023/9/217(P76定理3.2.2)2023/9/218简单结论：(1)：

(2)：相关对应分量成比例。(3)：含零向量的向量组一定线性相关。(4)：相关组加个仍相关。(5)：无关组减个仍无关。(6)：无关组增维仍无关。(7)：相关组降维仍相关。(P73)(P79推论3.3.4)2023/9/219三、向量组等价(1)：反身性(2)：对称性(3)：传递性2、性质(P79定义3.3.1)2023/9/220定理3.3.4（P79）推论3.3.5（P80）推论3.3.6（P80）等价无关组所含向量的个数相等2023/9/221小结线性表示（表出）无解有解存在唯一解有无穷多解2023/9/222线性相关性只有零解(线性无关

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