FECh0267轴对称问题三维问题

2023/9/21§2.6轴对称问题有限元法2023/9/22注：仍以三结点三角形为例，所建立的原则完全使用于其他单元在子午面上离散成三角形单元网格2023/9/23一.位移模式与插值函数 结点位移位移模式同平面问题，即：径向位移轴向位移2023/9/24二.应变和应力阵1）应变有四项，2023/9/25由上式可见，在三角形单元中其他同平面问题2023/9/262）应力其中2023/9/27单元中除剪应力是常量外，其他均为非常量（自己推导）2023/9/28三.刚度矩阵上式中积分号内不是常数，而是（r，z）的函数问题：内包括r，z；体积微元中有r；积分式中有2023/9/29解决的方法：

1.数值积分

2.近似积分，用三角形的形心坐标代替r，z；于是2023/9/210其中可以写出近似的显式且：2023/9/211四.等效结点载荷2023/9/212说明： 轴对称问题由于本身的二维特性，与平面问题有很大的类似。仅多一项，所以只需很少量的变动。由平面问题弹性静力分析程序可计算轴对称问题。 集中力应为作用在一圈结点上集中力的总量。 是作用在结点i

圆周每单位长度上的集中载荷在r

和z

方向的分量.2023/9/213ANSYS对轴对称结构建模的一些特殊要求

对轴对称结构模型的特殊要求有：·对称轴必须与总体笛卡尔坐标的Y轴重合。·不允许出现负的X方向节点坐标出现。·总体笛卡尔坐标Y方向代表轴向，总体笛卡尔坐标X方向代表径向，总体笛卡尔坐标Z方向代表周向。·模型应当用适当的单元类型组合在一起：——对轴对称模型，可用二维实体且KEYOPT（3）=1，和（或）轴对称壳体。而且，可用不同的连接，接触，组合及表面单元并可将轴对称实体和壳单元容在一个模型里。（除非是轴对称实体或壳单元否则程序不会识别其它的单元）如果ANSYS单元手册没有对一个特殊单元类型讨论其在轴对称结构中的应用，那么对轴对称分析不要使用此种单元类型。——对轴对称谐波模型，只能使用轴对称谐波单元。2023/9/214·SHELL51和SHELL61单元不应位于总体Y轴上。·对包含二维实体单元的模型剪切影响是重要的，在厚度方向上至少要使用二个单元。

如果结构沿对称轴包含有孔，不要忘记在Y轴和二维轴对称模型间留适当的距离（见图X方向的偏移表示一个轴对称孔。）对轴对称载荷的讨论参见ANSYS基本分析程序指南的载荷。

X方向的偏移表示一个轴对称孔2023/9/215

一些小的细节对分析来说不重要，不必在模型中体现，因为它只会使你的模型过于复杂。可是对有些结构，小的细节如倒角或孔可能是最大应力位置之所在，可能非常重要，取决于用户的分析目的。必须对结构的预期行为有足够的理解以对模型应包含多少细节作出适当的决定。关于模型的细节部分

有些情况下，仅有一点微不足道的细节破坏了结构的对称。那么，可以忽略这些细节（或相反的将它们视为对称的），以利于用更小的对称模型，必须权衡模型简化带来的好处与精度降低的代价来确定是否对一个非（拟）对称结构故意忽略其非对称细节。2023/9/2162.7三维空间问题有限元

多数弹性力学问题需要按照三维空间问题来求解。三维弹性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。2023/9/217

多数弹性力学问题需要按照三维空间问题来求解。三维弹性力学问题的有限元法的基本步骤与平面问题的步骤一样，包括单元离散化、选择单元位移模式、单元分析、整体分析和方程求解。在分析三维问题时，所选择的单元主要为四面体单元和六面体单元。每个单元节点上定义有三个位移分量u、v、w。三维问题有限元法有以下两个主要难点：(1)单元划分比较复杂无法采用人工方法完成复杂三维实体的单元划分，需要有功能强大的单元划分程序，从CAD模型直接生成离散的单元网格。2023/9/2181、位移函数常应变四面体单元是四结点线性四面体元，在四个角点i、j、m、l为节点，每个节点有3个自由度。单元的节点位移向量可以表示为{a}e=[ui,vi,wi,uj,vj,wj,ul,vl,wl,um,vm,wm]T2-7-1常应变四面体单元xyz2023/9/219

类似与平面常应变三角形单元，其节点位移模式可以通过形状函数表示为:u=Niui+Njuj+Nlul+Nmumw=Niwi+Njwj+Nlwl+Nmwmv=Nivi+Njvj+Nlvl+Nmvm式中Nj=-(aj+bjx+cjy+djz)/6VNi=(ai+bix+ciy+diz)/6VNm=-(am+bmx+cmy+dmz)/6VNl=(al+blx+cly+dlz)/6V2023/9/220式中(i、j、m、l轮换)2023/9/2212、应变矩阵每个点有6个应变分量。按照弹性力学的几何方程，单元内任意点的6个应变分量可以表示为

{ε}=[B]{a}e=[Bi-Bj

Bl-Bm]{a}eu=ΣNKuK;节点位移可以统一表示为w=ΣNKwKv=ΣNKvK;(k=i、j、m、l)其中，应变矩阵的每个分块子矩阵是6*3的矩阵2023/9/222(r=i、j、m、l)2023/9/2233、单元刚度矩阵类似与平面常应变三角形单元的推导，空间四面体单元的单元刚度矩阵为

单元刚度矩阵可以写成分块子矩阵组合的形式2023/9/224其中，任一分块子矩阵的形式为(r,s=i、j、m、l)应注意：对于常应变四面体单元，其单元刚度矩阵中，各元素均为常数。2023/9/2251、位移函数六面体单元以八个角点为节点，每个节点有3个自由度。单元的节点位移向量可以表示为{a}e=[u1,v1,w1,……,u8,v8,w8]T2-7-2六面体单元2023/9/226节点位移模式可以表示为:节点位移也可以通过形状函数表示为:2023/9/2272、应变矩阵每个点有6个应变分量。按照弹性力学的几何方程，单元内任意点的6个应变分量可以表示为

{ε}=[B]{a}e3、单元刚度矩阵空间六面体单元的单元刚度矩阵为

2023/9/228单元等效结点载荷列阵29载荷分类载荷包括边界条件和内外环境对物体的作用。可以分成以下几类：自由度约束集中载荷面载荷体载荷惯性载荷与其它单个分析因素相比，选择合适的载荷对你的分析结果影响更大。将载荷添加到模型上一般比确定是什么载荷要简单的多。载荷考虑30结构分析中的固定位移(零或者非零值)。大多数自由度约束用作：对称性边界条件或者称作“built-in”边界条件指定刚体位移。热分析中的指定温度。举例自由度约束

自由度约束就是给某个自由度(DOF)指定一已知数值(值不一定是零)。31对称性或反对称边界条件可以添加到线、面或平面的节点上。(它们中的每一个最后成为各个节点上的一组约束。)在大多数情况下，ANSYS将自动确定约束的方向。固定位移约束举例:对称边界条件的添加

32固定位移约束举例:刚体位移约束1stpointpinned-3translationalconstraints2ndpointconstrainedinbothdirectionsnormaltolinebetween1st&2ndconstrainedpoints3rdpointconstrainednormaltoplanepassingthroughall3constrainedpoints该方块上下面受压。它需要仔细选择6个平移自由度，并约束它们的刚体运动，但不能引起附加扭曲应力。33集中载荷结构分析中的力和弯矩。热分析中热流率。集中载荷可以添加到节点和关键点上。(添加到关键点上的力将自动转化到相连的应节点上。)举例34集中载荷通常是向由梁(beam)、杆(spars)和弹簧(springs)构成的非连续性的模型添加载荷的一种途径。对于由壳单元(shells)、平面单元(XYplaneelements)或者三维实体单元(3-Dsolids)等组成连续性模型，集中载荷意味存在应力奇异点。你可以用等效集中载荷代替静力分布载荷，并添加到模型上。如果你不关心(集中载荷作用)节点处的应力，这样做是可以接受的。对于结构分析而言35面载荷结构分析中的压力。热分析中的对流和热流密度。面载荷可以添加到线或面上(实体模型上的实体)、以及节点或单元上。作用在线或面上的面载荷最终会传到面内各个单元上。举例36在块顶面上施加均布压力37变化面载荷情形

梯度在面载荷中可能会使用到。你可以给一按线性变化的面载荷指定一个梯度，例如水工结构在深度方向上受到静水压。38面载荷不是垂直于表面的情形某些类型的载荷只能作用在面效应单元上，这些单元的作用是将载荷传递到模型的其它单元：结构实体单元的切向(或其它方向)压力。实体热单元的辐射描述。39体载荷结构分析中的温度载荷。热分析中生热率。电磁场分析中电流密度。体载荷可以、添加到关键点或节点上。(关键点上的体载荷最终将转化成各个节点上的一组组体载荷。)举例40体载荷分布复杂情形体载荷分布一般都很复杂，必须通过其它分析才能得到，例如通过热应力分析获得温度分布。在某些情况下，体载荷是由当前分析结果决定，这就需要进行耦合场分析。结构分析模型上温度分布41特点惯性载荷只有结构分析中有。惯性载荷是对整个结构定义的，是独立于实体模型和有限元模型的。考虑惯性载荷就必须定义材料密度(材料特性DENS)。绕Y轴的角速度惯性载荷

惯性载荷是由物体的惯性（质量矩阵）引起的载荷，例如重力加速度，加速度，以及角加速度。42分析一受垂直载荷的托架。怎样才能使模型左边边界在垂直方向上不存在运动？举例:向结构添加匹配载荷添加载荷应遵循的原则简化假定越少越好。使施加的载荷与结构的实际承载状态保持吻合。43你可能需要约束Y方向上的一个点-但这样做会在约束点位置产生应力奇异...constrainedpointstresssingularity举例:向结构添加匹配载荷44如果你将整个左边边界的垂直自由度全部约束，可能会更好些，但人为阻碍“泊松效应”（即，一个方向上的应力引起其它方向上的应变），造成应力场局部失真。constrainededge45事实上，并没有很好的方法向该结构上添加垂直约束。如果希望得到精确的应力，在分析中还应当将托架的支撑部分考虑进来。46如果你没法做得更好，只要其它位置结果正确也是可以认为是正确的，但是你必须忽略“不合理”边界的附近一定区域内的应力。加载时，你必须十分清楚各个加载对象。更小的托架模型能更好地确定孔周围的应力。47除了对称边界外，实际上不存在真正的刚性边界。不要忘记泊松效应。添加刚体运动约束,但不能添加过多的（其它）约束：一块二维平面应力、平面