工学电路理论非正弦周期电流电路

2023/9/21第九章非正弦周期电流电路解永平2007.09.302023/9/22学习背景直流信号：直流分析法；正弦信号：同一频率，相量分析法；非正弦周期信号：如何分析计算；思路：利用高等数学中的傅氏级数展开法，将非正弦周期电压(电流)分解为恒定分量和一系列不同频率正弦量之和。其它信号：方波、三角波、锯齿波等分析方法？？？结果：直流信号、正弦信号同时存在，如何分析？2023/9/23基本学习思路非正弦周期信号恒定分量基波分量谐波分量时域叠加电路响应电路响应电路响应电路响应2023/9/24基本要求了解非正弦周期函数的分解方法及谐波的概念掌握非正弦周期电压和电流的有效值、电路平均功率的计算正确运用叠加原理分析计算非正弦周期电流电路的稳态响应2023/9/25提纲9.1非正弦周期信号

9.2非正弦周期信号分解为傅立叶级数

9.3非正弦周期量的有效值、平均功率

9.4非正弦周期电流电路的计算

9.5应用---谐波在供电系统的危害2023/9/269.1非正弦周期信号(1)同频率的正弦量：在前面分析的交流电路中，我们总是认为电路中的激励及各部分稳态响应都是同频率的正弦量。(2)非正弦周期信号：在实际工程实践中，常常会遇到按非正弦规律变化的电源和信号，例如锯齿波、收音机或电视机的信号、脉冲信号，

(3)信号响应：由非正弦周期信号在线性电路中产生的电流和电压也将是按非正弦规律周期变化的量，即非正弦周期电流和电压。(4)非正弦周期交流信号的特点不是正弦波；按周期规律变化：2023/9/27非正弦周期信号(5)非正弦信号的产生？

a.正弦电源经过非线性元件时，产生的电流将不再是正弦波；

b.发电机由于内部结构的缘故很难保证电动势是正弦波；

c.电路中有几个不同频率的正弦电源作用，叠加后就不再是正弦波了。(6)非正弦周期电流线性电路的稳态分析：谐波分析法

a.利用数学中学过的傅氏级数展开法，将非正弦周期电压（电流）分解为恒定分量和一系列不同频率正弦量之和；

b.分别计算恒定分量和各频率正弦量单独作用下电路的响应；

c.根据叠加定理，将所得响应的时域形式相加，得到电路对原非正弦信号的稳态响应。2023/9/289.2非正弦周期信号分解为傅立叶级数(1)基本概念：一个周期为T的非正弦周期函数f(x)，当满足狄里赫利条件时，就可以分解为一个收敛的三角函数。(2)傅立叶级数：f(x)可展开成一个收敛的傅立叶级数，即

式中：2023/9/29非正弦周期信号分解为傅立叶级数把上式中各个同频率的sin项和cos项合并成一项，得：(3)定义：

a.恒定分量或直流分量：第一项A0是常量，称为f(t)的恒定分量或直流分量；

b.基波：第二项Amcos(

t+φ1)是正弦波，其周期与原函数f(t)

相同，称为1次谐波或基波（fundamentalwave）

c.谐波：其余各项依次称为2次，3次，…，k次谐波，并统称为高次谐波。恒定分量基波分量谐波分量特点：高次谐波的频率是基波频率的整数倍，由于傅立叶级数是收敛的，一般来说谐波次数越高，其幅值越小。哪个分量作用大？依据是什么？2023/9/210非正弦周期信号分解为傅立叶级数

(4)频谱：为了既方便而又直观地表达周期函数分解为傅立叶级数后包括哪些谐波分量、各谐波分量所占的比重以及对应的初相位关系，通常将Akm对k

的函数关系绘成线图，用以表明各次谐波的相对大小。图中每条线段代表一个谐波分量的振幅，这种图形称为非正弦周期函数的振幅频谱，简称频谱。(5)系数a0、ak、bk的计算公式；(6)常见周期函数的傅立叶级数，供谐波分析时直接引用。振幅频谱图2023/9/211例9-1将图所示的周期函数f(t)展开成傅立叶级数。解：f(t)在一个周期内的表达式为计算傅立叶系数如下2023/9/212将所得系数代入式(9-1)有例9-1将图所示的周期函数f(t)展开成傅立叶级数。2023/9/2139.3非正弦周期量的有效值、平均功率1.三角函数的性质(1)余弦信号在一个周期内的积分为零(2)相同频率的电压、电流乘积在一个周期内的积分为

(3)不同频率的电压、电流乘积在一个周期内的积分为零注：三角函数的正交性2023/9/214(1)周期信号的有效值任何周期性的电流和电压的有效值就是它们的均方根值，即：2023/9/215(2)非正弦周期函数有效值假设非正弦周期电流i(t)

可分解为傅立叶级数将i(t)

代入有效值公式，则得电流i(t)

的有效值为：非正弦周期电压u(t)的有效值为：结论：非正弦周期电流（或电压）的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。求得i(t)

的有效值为：2023/9/216(3)非正弦周期电流电路的功率设任意二端网络端口的电压u(t)和电流i(t)取关联参考方向，即：则，二端网络吸收的平均功率定义为：将傅立叶级数形式的u(t)和i(t)代入上式就可以求出P,则，二端网络吸收的平均功率为：结论：

平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率

TT/2tisIm2023/9/2179.4非正弦周期电流电路的计算电路响应电路is1is2is3is3is2is1(1)把给定的非正弦周期激励源分解为傅立叶级数表达式；(3)分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应：直流分量用直流电路分析方法，此时电感短路，电容开路；对于不同频率的正弦谐波分量，采用正弦电路相量分析计算方法；(4)应用叠加定理把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的响应值。(2)把得到的各次谐波等效为电路的激励电源(电压源或电流源)2023/9/218例9-2电路如图(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路电流i、i1、i2。解：(1)直流分量10V作用时，电感短路，电容开路，如图(b)所示。ii1R2+CLR1u(t)i2(a)I(0)I1(0)R2+R1U0I2(0)(b)2023/9/219(2)基波单独作用时，如图(c)所示。所以，有：R2+R1(c)例9-2电路如图(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路电流i、i1、i2。2023/9/220R2+R1(d)(3)三次谐波单独作用时，如图(d)所示所以，有：例9-2电路如图(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路电流i、i1、i2。2023/9/221(4)应用叠加定理例9-2电路如图(a)所示，已知R1＝5

，R2＝10，XL＝

L＝2，XC＝1/(

C)＝15，u(t)=10+141.4cosωt+70.7cos(3ωt+30°)V，求各支路电流i、i1、i2。2023/9/222例9-3如图所示N为无源网络。已知u(t)=100cos314t+50cos(942t-30°)V，i(t)=10cos314t+1.75cos(942t+θ3)A，若N为RLC串联时，求R、L、C的值，并求θ3的值和电路的平均功率。解：设基波角频率为

，

=314rad/s。从基波的电流与电压同相位可知，该电路对基波发生串联谐振。所以，有：三次谐波阻抗的模可表示为：可解出：N+u－iab设三次谐波电路呈现的阻抗角为：有：设电路消耗的平均功率为P，则2023/9/223例9-4如图所示，已知：，，，，求电流表的读数。解：由于i2与i1频率相同，则：得：由KCL，得：所以，其有效值为：Ai1(t)i3(t)i2(t)A即电流表的读数为5A。A2023/9/224例9-5如图所示，已知us由直流分量和三次谐波组成，其直流分量为8V，和是电压表，是电流表，已知的读数为10V，1/(ωC)=9Ω

，ωL=1Ω，求和的读数。

电流表的读数为：解：(1)直流分量8V单独作用时，等效电路如图所示，则：2Ω2ΩCL+V1usAV三次谐波电压有效值为：VV1AV1VAA(2)三次谐波单独作用时：L和C对三次谐波发生串联谐振，等效电路如图所示，则：2Ω2Ω+V1usAVI(0)+U(0)2Ω+V1usAVI(3)+U(3)电压表的读数为：4VV2023/9/225例9-6已知：

，求图示电路中各表读数。解(1)当直流分量u0=30V

作用于电路时，L1、L2短路，C1、C2开路，电路如图所示。uabL1C1C2L2+_25F25F30

cdA2V1A110mHA3V240mHu0+_30

I1(0)I2(0)I3(0)U1(0)++__U2(0)2023/9/226(2)基波作用于电路时，电路的相量模型如所示。从图中可知，L1、C1

对基波发生并联谐振。基波电压加于L1、C1

并联电路两端，故：其中：+_30

j40

j10

-j40

-j40

__++例9-6已知：

，求图示电路中各表读数。2023/9/227+_30

j80

j20

-j20

-j20

__++(3)二次谐波作用于电路时，电路的相量模型如图所示。从图中可知，L2、C2

对二次谐波发生并联谐振。所以：二次谐波电压加于L2、C2

并联电路两端，故其中：例9-6已知：

，求图示电路中各表读数。2023/9/228有电流表读数：

电压表读数为：(1)直流：I1(0)=I3(0)=1A，I2(0)=0A，U1(0)=U2(0)=30V；(2)基波：I1(1)=I3(1