《化工设备机械基础3版》第三章

第三章扭转§3.1扭转的概念和实例§3.2扭转时外力和内力的计算§3.3纯剪切§3.4圆轴扭转的应力§3.5圆轴扭转的强度条件§3.6圆轴扭转的变形和刚度条件汽车传动轴§3.1扭转的概念和实例汽车方向盘

工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴、丝锥、传动轴等。把这些构件的受力情况抽象为一个共同的力学模型，即圆轴扭转

杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。

受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。扭转受力特点及变形特点:§3.1扭转的概念和实例直接计算1.外力偶矩的计算§3.2扭转时外力和内力的计算

工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给出，而通常给出轴的转速n和轴所传递的功率P，通过功率的有关公式及推导，得出外力偶矩（又称转矩）的公式：式中：P的单位为kW，n的单位为r/min。N/m按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：已知轴转速－n转/分钟输出功率－P

千瓦求：力偶矩Me力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。N/mT=Me2.扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)扭矩图例:

一等圆传动轴如图a所示，其转速n=300r/min，主动轮A的输入功率，从动轮B、C的输出功率分别为。试求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。解：1.计算外力偶矩作用在A、B、C轮上的外力偶矩分别为Page11其中的转向和轴的转向相反，的转向和轴的转向相同2.计算扭矩在轴AC段任意横截面l—l处将轴切开，取左段为研究对象根据平衡条件得在轴AB段任意横截面2—2将轴截开，取右段为研究对象由平衡条件得3.画扭矩图根据所得扭矩作扭矩图Page13§3.3纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力

将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相等方向相反一对力偶矩。

圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。观察到：结果说明横截面上没有正应力采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。二、切应力互等定理

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。纯剪切各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切切应力互等定理：三、切应变剪切胡克定律在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量

称为切应变。当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变

与切应力τ成正比，这个关系称为剪切胡克定律。G—剪切弹性模量(GN/m2)各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：τ§3.4圆轴扭转时的应力一、变形几何关系观察变形：

圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。MexppqqMexppqqMeMe扭转角（rad）dx微段两截面的相对扭转角边缘上a点的错动距离：边缘上a点的切应变：

发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMedcabb′ppqq距圆心为

的圆周上e点的错动距离：距圆心为

处的切应变：也发生在垂直于半径的平面内。—扭转角沿x轴的变化率。dcabb′ppqqee′二、应力应变关系根据剪切胡克定律距圆心为

处的切应力：垂直于半径横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比。三、静力学关系横截面对形心的极惯性矩令抗扭截面系数

在圆截面边缘上，有最大切应力

横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。实心轴与的计算空心轴令则实心轴与空心轴与对比§3.4圆轴扭转的强度条件扭转强度条件：1.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：强度条件的应用（1）校核强度（2）设计截面（3）确定载荷例3.2

由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的强度。解：（1）计算抗扭截面模量cm3（2）强度校核

满足强度要求例3.3

如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。解：当实心轴和空心轴的最大应力同为[]时，两轴的许可扭矩分别为若两轴强度相等，则T1=T2，于是有

在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%。实心轴和空心轴横截面面积为已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴例题3.4空心轴d2＝0.5D2=23mm确定实心轴与空心轴的重量之比长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：

实心轴d1=45mm空心轴D2＝46mmd2＝23mmP1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：1、计算各轴的功率与转速2、计算各轴的扭矩例题3.53求:各轴横截面上的最大切应力；并校核各轴强度。已知：输入功率P1＝14kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,

z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.[]=30MPa。.T1=M1=1114NmT2=M2=557NmT3=M3=185.7Nm3、计算各轴的横截面上的最大切应力；校核各轴强度3满足强度要求。相对扭转角抗扭刚度§3.5圆轴扭转时的变形和刚度条件一、圆轴扭转的变形单位长度扭转角扭转刚度条件许用单位扭转角rad/m⁰/m二、圆轴扭转的刚度条件扭转强度条件扭转刚度条件已知T、D和[τ]，校核强度已知T

和[τ]，设计截面已知D和[τ]，确定许可载荷已知T、D和[φ/]，校核刚度已知T

和[φ/]，设计截面已知D和[φ/]，确定许可载荷例题3.6

某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角[φ/]=1⁰/m。试校核轴的强度和刚度。

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力偶矩例题3.7

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件§3.5圆轴扭转时的变形