偏导数全微分

01九月20231偏导数的几何意义如图x0y0(x0,y0,0)01九月20232几何意义fx(x0,y0)是曲线在点(x0,y0,z0)处的切线沿x轴的斜率。fy(x0,y0)是曲线在点(x0,y0,z0)处的切线沿y轴的斜率。偏导函数01九月20233偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处01九月20234例４设求f(x,y)的偏导数。解01九月20235偏导数存在、连续、极限存在的关系f(x,y)在(x0,y0)偏导数存在f(x,y)在(x0,y0)连续f(x,y)在(x0,y0)极限存在在(0,0)极限不存在，例如在(0,0)不连续，但。01九月20236二、高阶偏导数01九月20237问题：混合偏导数都相等吗？例７设求二阶混合偏导数。解01九月20238按定义可知：01九月20239例9

证明函数满足拉普拉斯方程例8

证明函数满足拉普拉斯方程01九月202310内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)01九月202311思考与练习：设z=f(u)，方程确定u

是x,y

的函数,连续,且解：01九月202312作业P635（1）（3）（5）；6（1）（3）（5）；

7,（1）；8；

P693；4；5；6（2）（3）；7；8；9（2）01九月202313第三节、全微分的定义一、全微分的概念1.回忆：一元函数的微分2.二元函数的偏增量与偏微分应用近似计算估计误差中值定理：01九月2023143.二元函数的全增量与全微分全增量例1求在(x,y)和(1,1)的全微分其中全微分定义（略）则称为二元函数在(x,y)的全微分。其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关。若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。01九月202315注：类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点：（1）dz是△z的线性主部；（2）误差为o(

)2.函数z=f(x,y)在点(x,y)可微

函数在该点连续。3.几何意义：函数z=f(x,y)在(x,y)点可微⇔曲面z=f(x,y)在(x,y)点切平面存在。由微分定义:01九月202316二、可微分的条件证明：定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，则该函数在点(x,y)的偏导数存在，且z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为:。01九月202317注意：定理1的逆定理不成立，即:偏导数存在不一定可微!反例：则01九月202318证明：01九月202319例2

计算函数的全微分。01九月202320例3设解:利用轮换对称性,可得：01九月202321证明：（1）令：则????01九月202322（2）不存在。01九月202323注:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件。01九月202324内容小结1.微分定义:2.重要关系:偏导存在函数可微偏导数连续函数连续01九月202325课外作业：01九月202326全微分在近似计算中的应用也可写成01九月202327解由公式得01九月202328练习题01九月20232901九月20233001九月202331练习题答案01九月20233201九月20233301九月202334不存在.观察播放01九月202335不存在.观察01九月202336观察不存在.01九月202337观察不存在.01九月202338观察不存在.01九月202339观察不存在.01九月202340观察不存