对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-

本节要点一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分的联系

在第一节中,讨论的是对弧长的曲线积分,这是一种1.有向曲线一、第二类曲线积分的概念无方向的曲线积分.例如曲线的弧长、转动惯量等等,均与方向无关.在这一节中,我们讨论与“方向”有关的曲线积分.

例如对单位圆

给定一条曲线,如果规定了其中的一个走向作为曲线的“方向”,则此曲线称为有向曲线.若规定其方向为逆时针方向（即当参数由变为时曲线上动点的移动方向）,则就成为一条有向曲线.

对非封闭曲线弧如果规定它的两个端点中的一个（记作）为起点,另一个（记作）为终点,此时有

为向曲线量的方向与曲线的方向一致（见下图）.

对有向曲线曲线规定上任一点处的切向故,单位切向量为例8.7设有向曲线求任意一点处的单位位切向量.解按以上对有向曲线切向量的方向的规定,从图上可以看出,此曲线在任意点处的切向量为2.变力沿曲线的作功问题

设一质点从点沿光滑的平面曲线移动到点在移

分析若力是常力,曲线为直线,则功为动过程中,质点受到力的作用,其中为上的连续函数,求变力所做的功.由于光滑且很短,可以用

若是变力,且质点沿曲线移动,我们用定积分的方法来解决.

在曲线上自至取分点有向线段来近似代替.其中将曲线弧分成个小弧段.设分点为是向量在轴上的投影,是向量在轴上的投影.因函数连续,故在上,可以用任一点处的力来近似代替,即在上有于是变力沿有向小弧段所做的功近似于常力沿有向线段所做的功,即所以将所有小弧段长度的最大者记为并令所得上述和式的极限即为变力沿有向曲线所做的功.

这种和式的极限在研究其它问题时也会经常遇到.我们引入下述定义.3.第二类曲线积分的定义有向曲线弧,函数定义8.2设是平面上从点到点的一条光滑的在上有界,沿的方向依次取分点把分成个有向弧段设并记为所有小弧段长度的最大者,在上任取一点如果极限类似地,如果极限存在,则称此极限为函数在有向线段上对坐标的积分,记为存在,则称此极限为函数在有向线段上对坐标的积分,记为及即（8.5）（）其中称为被积函数,及称为被积表达式,称为（有向）积分弧,称为有向弧的投影元素.

在应用中经常出现这种合并起来的形式.为简单起见,记为由此,变力沿曲线做的功可写成（8.6）

如果曲线是分段光滑的,则规定函数在上对坐标的曲线积分等于在光滑的各弧段上对坐标的曲线积分的和.

当连续时,对坐标的曲线积分和总存在（以下总假定在上连续）.5.积分性质⑴若则即:改变曲线方向则积分变号.⑵若是

的反向曲线,则

因此,关于坐标的曲线积分,一定要注意积分弧段的方向.二、第二类曲线积分的计算方法

第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分

若平面定向曲线的方程为加以计算.函数在上连续,当参数单调地由变到时,点从的起点沿移动到的终点则有（8.7）

下面来推导该公式.

因在上连续,故所给的曲线积分一定存在.在上取取一列点它们对应一列单调变化的参数值

由对坐标曲线积分的定义,有再由微分中值定理,有其中在与之间,取并注意到当时,有由曲线积分的存在性得而上式右端即为定积分即有同理有两式相加即为（8.7）

值得注意的是,在（8.7）式右端的定积分中,下限对应于的起点,对应于的终点.未必小于特殊地,若平面曲线由方程给出时,其中由变到则例8.7计算解1积分曲线如图.其中为抛物线从点到点的一段弧.将所给曲线积分化为对的积分,为此将曲线分为和两部分.其中从变到;从变到.因此解2将所给曲线积分化为对的积分.由于从变到,所以例8.8求解因12的直线段.为从到从到故例8.8计算其中为⑴半径为圆心在原点,按逆时针方向绕行的上半圆周;⑵从点到点的直线段.解积分曲线如图.⑴取的参数方程为从变到则⑵此时为有向线段从变到所以例8.9设有一质量为的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点移到点求重力做的功.解取水平直线为轴,轴铅直向上（见下图）.力为常力重力在两坐标轴上的投影分别为因此质点从点移动到点时,重力所做的功为则重

上式表明,重力做的功与质点的路径无关,仅取决于下降的高度.

对于定义在空间的有向曲线上的三元函数,可以类似定义下列三个对坐标的曲线积分:而且公式（8.7）可以做如下推广.

若由参数方程确定,则有从变到（）其中对应曲线的起点,对应曲线终点.例8.10求其中为从解线段的参数方程为的有向线段.到其中从变到相应的积分为例8.11由确定一力场,质点沿柱面与平面的交线从解由第二类曲线积分的物理意义,得场力所作的功移动到点求场力作的功.而在曲线

上,有为`三、两类曲线积分的联系

设有向光滑曲线上任一点处的单位切向量的指向与有向曲线的方向一致,则（8.9）

我们借助变力做功问题来导出（8.9）.

设质点在变力的作用下,沿曲线从点移到点则力所做的功为

现利用对弧长的曲线积分来来计算此功

设上自到依次排列的分点把分成个小弧段,取出其中一个代表性的小弧段并记作（见下图）.其中的坐标为该点处的切向量为的长度为我们用点处的有向切线段来近似代替有向小弧段当质从移到时,变力所做的功近似等于对上式右端积分,即