2021年中考数学二轮复习课件-专题六 一次函数与反比例函数综合(56PPT)

专题六一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数综合,一般结合三角形、四边形、动态问题、存在性等问题结合考查,解决此类问题的关键是熟记一次函数、反比例函数的性质及数形结合、分类讨论等思想方法.考点一确定函数解析式及几何图形的面积问题【示范题1】(2020·南充中考)如图,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点A(a,8)作AB⊥y轴交于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=4BD.(1)求反比例函数的解析式;(2)求四边形OCDB的面积.【自主解答】(1)∵点A(a,8)在直线y=2x上,∴a=4,A(4,8),∵AB⊥y轴于B,AB=4BD,∴BD=1,即D(1,8),∵点D在y=上,∴k=8.∴反比例函数的解析式为y=.(2)由 解得 或 ∴C(2,4),∴S四边形OBDC=S△AOB-S△ADC=×4×8-×4×3=10.【跟踪训练】1.(2020·广西模拟)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m-3),B(-m,-1)两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式.(2)直线AB与x轴交于点C,点P在双曲线上,且在直线AB的下方,如果△ACP的面积为12,求点P的坐标.【解析】(1)点A、B都在反比例函数上,故n=2(m-3)=-m×(-1),解得:m=6,故点A、B的坐标为(2,3)、(-6,-1),将点A、B的坐标代入一次函数解析式得:

解得 故直线AB的解析式为:y=x+2,反比例函数的解析式为:y=.(2)如图,连接AP交x轴于点H,连接CP,设点P(s,t),st=6①,由点A、P的坐标,同理可得直线AP的解析式为:

令y=0,则x=,即点H(,0),△ACP的面积S=S△CHA-S△CHP=联立①②并解得:t=1或-3,故点P的坐标为(6,1)或(-2,-3).2.(2020·咸宁中考)如图,已知一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=的图象在第一、三象限分别交于A(6,1),B(a,-3)两点,连接OA,OB.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)△AOB的面积为

;

(3)直接写出y1>y2时,x的取值范围.【解析】(1)把A(6,1)代入y2=中,解得m=6,故反比例函数的解析式为y2=;把B(a,-3)代入y2=,解得a=-2,故B(-2,-3),把A(6,1),B(-2,-3)代入y1=kx+b(k≠0),得 解得:故一次函数解析式为y1=x-2.(2)如图,设一次函数y1=x-2与x轴交于点C,令y=0,得x=4.∴点C的坐标是(4,0),∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×4×1+×4×3=8.答案:8(3)由图象可知,当-2<x<0或x>6时,直线y1=kx+b落在双曲线y2=上方,即y1>y2,所以y1>y2时,x的取值范围是-2<x<0或x>6.3.(2020·遂宁中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0),连接AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y=(k≠0)于D、E两点,连接CE,交x轴于点F.(1)求双曲线y=(k≠0)和直线DE的解析式.(2)求△DEC的面积.【解析】(1)∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0),∴OA=2,OB=1,作DM⊥y轴于M,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∴∠OAB+∠DAM=90°,∵∠OAB+∠ABO=90°,∴∠DAM=∠ABO,在△AOB和△DMA中,

∴△AOB≌△DMA(AAS),∴AM=OB=1,DM=OA=2,∴D(2,3),∵双曲线y=(k≠0)经过D点,∴k=2×3=6,∴双曲线为y=,设直线DE的解析式为y=mx+n,把B(1,0),D(2,3)代入得

∴直线DE的解析式为y=3x-3;(2)连接AC,交BD于N,∵四边形ABCD是正方形,∴BD垂直平分AC,AC=BD,

∴E(-1,-6),∵B(1,0),D(2,3),

DB= ∴CN=BD=,∴S△DEC=考点二函数图象与几何图形的变化问题【示范题2】(2020·贵阳中考)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交,其中一个交点的横坐标是2.(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位,求平移后的图象与反比例函数y=

图象的交点坐标;(3)直接写出一个一次函数,使其过点(0,5),且与反比例函数y=的图象没有公共点.【自主解答】(1)将x=2代入y=x+1得y=3,故其中交点的坐标为(2,3),将(2,3)代入反比例函数表达式并解得:k=2×3=6,故反比例函数表达式为:y=①;(2)一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位得到y=x-1②,联立①②并解得:故交点坐标为(-2,-3)或(3,2);(3)设一次函数的表达式为:y=kx+5③,联立①③并整理得:kx2+5x-6=0,∵两个函数没有公共点,故Δ=25+24k<0,解得:k<-,故可以取k=-2(答案不唯一),故一次函数表达式为:y=-2x+5(答案不唯一).【跟踪训练】1.(2020·岳阳中考)如图,一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,m),B两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点,求b的值.【解析】(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象相交于A(-1,m),∴m=4,∴k=-1×4=-4,∴反比例函数的表达式为y=-.(2)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),∴y=x+5-b,∵平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点,∴x+5-b=-有一个解,即x2+(5-b)x+4=0有一个根,即Δ=(5-b)2-16=0,解得b=9或1.2.(2020·玉林模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,次函数y=-x+5的图象与反比例函数y=(k>0)的图象相交于A,B两点,与x轴相交于点C,连接OB,且△BOC的面积为.(1)求反比例函数的解析式.(2)将直线AB向下平移,若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点,试说明直线AB向下平移了几个单位长度?【解析】(1)一次函数y=-x+5中,令y=0,解得x=5,∴C(5,0),∴OC=5,作BD⊥OC于D,∵△BOC的面积为,∴OC·BD=,即×5BD=,∴BD=1,∴点B的纵坐标为1,代入y=-x+5中,求得x=4,∴B(4,1),∵反比例函数y=(k>0)的图象经过B点,∴k=4×1=4,∴反比例函数的解析式为y=.(2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=-x+5-m,∵直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点,∴=-x+5-m,整理得x2+(m-5)x+4=0,Δ=(m-5)2-4×1×4=0,解得m=9或m=1,即m的值为1或9.考点三函数与最值、存在性有关的问题【示范题3】(2020·连云港中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,点B在y轴的负半轴上,AB交x轴于点C,C为线段AB的中点.(1)m=

,点C的坐标为

;

(2)若点D为线段AB上的一个动点,过点D作DE∥y轴,交反比例函数图象于点E,求△ODE面积的最大值.【自主解答】(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,∴m=4×=6,∵AB交x轴于点C,C为线段AB的中点.∴C(2,0).答案:6

(2,0)(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,把A,C(2,0)代入得解得∴直线AB的解析式为y=x-;∵点D为线段AB上的一个动点,∴设D(0<x≤4),∵DE∥y轴,∴E∴S△ODE=∴当x=1时,△ODE的面积有最大值为.【跟踪训练】1.(2020·江西模拟)如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(1,2),B(a,-1).(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)若直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点C,x轴上是否存在一点P,使S△APC=4?若存在,请求出点P坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)把点A(1,2)代入y=得,2=,∴m=2,∴反比例函数的解析式为y=;把B(a,-1)代入y=得,a=-2,∴B(-2,-1),把点A(1,2),B(-2,-1)代入y=kx+b得

∴一次函数的解析式为:y=x+1.(2)当y=0时,0=x+1,解得:x=-1,∴C(-1,0),设P(x,0),∴S△APC=×|x+1|×2=4,∴x=3或x=-5,∴P(3,0)或(-5,0).2.(2020·来宾模拟)如图,已知一次函数y=x-2与反比例函数y=的图象相交于点A(2,n),与x轴相交于点B.(1)求k的值以及点B的坐标.(2)在y轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当y=0时,x-2=0,解得x=,∴B点坐标为(,0),把A(2,n)代入y=x-2得n=×2-2=3,∴A(2,3),把A(2,3)代入y=得k=2×3=6,∴反比例函数解析式为y=;即k的值为6,B点坐标为(,0).(2)存在.作B点关于y轴的对称点B′,连接AB′交y轴于P点,如图,则B′(-,0),∵PB′=PB,∴PA+PB=PA+PB′=AB′,∴此时PA+PB的值最小,设直线AB′的解析式为y=mx+n,把A(2,3),B′(-,0)代入得

∴直线AB′的解析式为y=当x=0时,y=∴满足条件的P点坐标为(0,).考点四一次函数与反比例函数的实际应用【示范题4】(2020·重庆北碚区模拟)为了预防流感,某学校用药熏消毒法对教室进行消毒.已知一瓶药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后,y与x成反比例,如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)写出倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围.(2)据测定,当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时,消毒有效,那么倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,有效消毒时间是多少分钟?【自主解答】(1)当0≤x≤15时,设y=ax(a≠0);当x≥15时,设y=(k≠0).将(15,20)代入y=ax,20=15a,解得:a=,∴y=x(0≤x≤15).将(15,20)代入y=,20=,解得:k=300,∴y=(x>15).(2)当y=x,y=8时,x=6;当y==8时,x=37.5.37.5-6=31.5(分钟).答:有效消毒时间是31.5分钟.【跟踪训练】1.(2020·莆田二模)实验数据显示,一般成人喝50毫升某品牌白酒后,血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)变化的图象,如图(图象由线段OA与部分双曲线AB组成).国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.(1)求部分双曲线AB的函数解析式.(2)参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上22:30在家喝完50毫升该品牌白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.【解析】(1)依题意,直线OA过(,20),则直线OA的解析式为y=80x,当x=时,y=120,即A(,120),设双曲线的解析式为y=,将点A(,120)代入得:k=180,∴y=(x≥);(2)由y=得当y=20时,x=9,从晚上22:30到第二