高一数学人教A版2019选择性2-1-2两条直线平行和垂直的判定课件（35张）

2.1.2两条直线平行和垂直的判定第2章直线和圆的方程人教A版2019选修第一册01两条直线平行的判定02两条直线垂直的判定03平行于垂直的综合应用目录学习目标1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?情景引入1.两条直线平行的判定

问题1

我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？并论证你的结论.注：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.

设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是l1//l2⇔a//b⇔1×k1

1×k2=0⇔k1=k2.l1∥l2tanα1=tanα2α1=α2k1=k2数形⇔⇔⇔l1//l2⇔k1=k2.于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有还有什么方法？

显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2．问题2

两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示

k1＝k2两条直线平行的判定

l1//l2时，k1与k2满足什么关系？oyx综上得：l1∥l2或l1与l2重合

k1=k2或l1与l2的斜率均不存在(用斜率证明三点共线时，常用这个结论)典例1已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1),Q(－1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.xyOBAPQ典例2四边形ABCD四个顶点为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并证明.xyOABCD典例3特别地：当l1⊥l2时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？思考

平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？提示k1·k2＝－1.2.两条直线垂直的判定问题3显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论.

l1⊥l2⇔α2=α1+90o，

k1=tanα1.l1⊥l2⇔k1k2=–1.还有什么方法？

设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0⇔1×1+k1k2=0⇔k1k2=–1.因此，当两条直线的斜率都存在时，可得到l1⊥l2⇔k1k2=–1.数形问题4

当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于－1吗？为什么？

当直线l1或l2的倾斜角为90o时，若l1⊥l2

，则另一条直线的倾斜角为0o；

反之亦然.2.特殊情况下的两直线垂直:如果直线l1，l2的斜率为k1，k2，那么

1.两直线斜率都存在时：一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0，则两条直线互相垂直类型斜率都存在l1（或l2）的斜率不存在前提条件α1≠90°，且α2≠90°α1＝90°（或α2＝90°）对应关系l1⊥l2⇔

l1⊥l2⇔l2（或l1）的斜率为0图示

两条直线垂直的判定

注意点：(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在.(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例5：已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断三角形ABC的形状.xyOABC典例41.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.解若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.练一练3.平行于垂直的综合应用解

A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.由斜率公式可得：由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.典例6解

设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，故所求点D的坐标为(3,3).2.已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，练一练解

设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，2.已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，练一练

已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断∆ABC的形状．

分析：如图，猜想AB⊥BC，∆ABC是直角三角形．

典例7

分析：设B(x，0)计算kAB，kBCkABkBC=

1构造方程

解：设B(x，0)，则

x可以等于2或5吗？当x=2或x=5时，∠ABC均不为直角.

整理，得x27x+7=0.

3.已知点A(5，–1)，C(2，3)，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．

练一练课本练习1.判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)经过A(2，3)，B(–1，0)两点的直线l1，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线l2；(2)经过C(3，1)，D(–2，0)两点的直线l3，与经过点M(1，–4)且斜率为–5的直线l4．

2.试确定m的值，使过A(m，1)，B(–1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(–5，0)两点的直线：(1)平行；(2)垂直．当堂检测答案

D当堂检测2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(

)答案:D3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为

.

答案:44.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,

则实数m=

.

5.顺次连接A(-4,3),B(2