四元数矩阵方程axb+xd=e的广义共轭解

四元数矩阵方程axb+xd=e的广义共轭解

1.广义共吾延拓问题随着科学技术的发展，一些新的结构矩阵不断提出。2002年，文献。2012年,文献矩阵方程AXB+CXD=E是Sylvester方程的推广形式,在图像处理、偏微分方程数值解、控制理论等领域具有广泛的实际应用.目前,对该方程的一般解、对称解或Hermitian解、共轭辛矩阵解、以及最小二乘解等已取得较多的研究成果共轭延拓解的存在及计算问题,其中A,B,C,D,E是已知四元数矩阵,X是未知矩阵.与复数域上广义Sylvester方程的求解方法相比,由于四元数乘法的非交换性,导致求解方程(1.1)时难以采用目前一些常用的处理方法.本文主要思想是:利用广义共轭延拓矩阵的向量化刻划方法,以及矩阵的Kronecker运算,将所讨论的四元数约束方程转化为无约束实矩阵方程,从而获得原问题的解.为讨论方便,用R定义1.1(广义行与列共轭延拓矩阵)分别称为以A为母矩阵的t次广义行与列共轭延拓矩阵.引理1.1.设矩阵S∈Q若对四元数矩阵S,Y作复分解,即S=S其中S证明.由vec(·)的定义,式子(1.2)显然成立.下面推导vec(Y根据四元数矩阵复分解的唯一性有由(1.2)得又因为所以其中I为相应阶数的单位矩阵.证毕.引理1.2.设矩阵S∈C其中K∈R引理1.3本文具体讨论如下两个问题:问题Ⅰ.给定A,C∈Q问题Ⅱ.给定A,C∈Q2.元数矩阵法给定矩阵A,C∈Q对矩阵B,D进行如下分块并将(2.2)代入(2.1)整理得记于是由(2.3)可得记则(2.5)等价于对四元数矩阵A,C,则(2.6)又可写成将(2.7)左边展开,并根据四元数矩阵复分解的唯一性可得记则复矩阵方程(2.8)等价于根据引理1.1,可得若记其中I是相应阶数的单位矩阵.再记则方程组(2.9)等价于其中v∈R则(2.12)等价于此外,利用四元数矩阵Frobenius范数及方程组(2.8)可得因此,关于问题Ⅰ的解,我们有:定理2.1.给定四元数矩阵A,C∈Q有解时,它的一般解为无解时,(2.16)式则为此问题的最小二乘广义列共轭延拓解,其中这里证明.由方程组(2.14)、引理1.1和引理1.3可知,四元数矩阵方程(1.1)存在广义列共轭延拓解因此,(2.16)式则为方程(1.1)的最小二乘广义列共轭延拓解.证毕3.问题的求解给定四元数矩阵A,C∈Q对矩阵A,C进行分块将(3.2)代入(3.1)整理得记于是方程(3.3)等价于记则方程(3.5)可写成对四元数矩阵则方程(3.6)等价于将(3.7)式左边展开,并根据四元数矩阵复分解的唯一性可得记则复矩阵方程(3.8)等价于根据引理1.1和引理1.2,可得其中则方程组(3.9)等价于其中u∈R则(3.11)又可写成此外,利用Frobenius范数性质及(3.8)可得因此,关于问题Ⅱ的解,我们有:定理3.1.给定四元数矩阵A,C∈Q有解时,它的一般解为无解时,(3.15)式则为此问题的最小二乘广义行共轭延拓解,其中vec(S这里证明.由方程组(3.13)及引理1.1-1.3可知,四元数矩阵方程(1.1)存在广义行共轭延拓解因此,(3.15)式则为方程(1.1)的最小二乘广义行共轭延拓解.证毕.根据定理2.1和定理3.1的结果,我们给出问题Ⅰ和Ⅱ的求解步骤:步1.对于方程(1.1)中的四元数矩阵,作变换至(2.5)(或(3.5)),写出矩阵A,C,步2.按(2.11)式(或(3.10)式)写出复矩阵G,L(或H,M),并对它们作实分解.步3.按(2.13)式(或(3.12)式)写出实矩阵步4.检验条件i)若条件成立,说明方程(1.1)存在广义列(行)共轭延拓解,并按(2.16)(或(3.15))写出其解集Ωii)若条件不成立,说明方程(1.1)不存在广义列(行)共轭延拓解,此时Ω4.u3000xb+cxd的存在性给定下列四元数矩阵试讨论四元数矩阵方程AXB+CXD=E的广义列共轭延拓解的存在性.解.由(2.2)-(2.6)可得四元数矩阵A,C,按(2.13)式写出实矩阵5.方程共吾解问题本文提出并讨论了四元数矩阵方程AXB+CXD=E的广义共轭延拓解问题,该问题是方程共轭解的拓展,在内容上推广了方程AXB=C的共轭解问题,获得更广泛的结果;在方法上主要利用四元数矩阵的复与实分解及结构