数学史视域下的证明问题研究

数学史视域下的证明问题研究

一、．“哲学的意义上的证明”一些科学家长期以来一直将数学史乃至数学哲学融入数学教育。在义务教育教科书八年级上册《数学》中有一节的题目是“为什么要证明”为什么要证明？这其实是一个开放性的课题，但是教材却没有给予开放性回答，而是仅仅从观察、实验与归纳的局限性引入证明的重要性。事实上，“为什么要证明”这个问题从哲学的角度来说答案是开放的，不是一两句话就能说清楚。“证明”这一概念在人类数学发展史中很早就出现了，要真正理解人类在数学上为什么需要证明，就需要回到数学史中寻找答案。本文主要以泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图与亚里士多德等几位哲学家与数学家为例，通过对他们在关于数学证明方面工作的梳理研究来回答“为什么要证明”这个问题。实际上，本文列举的哲学家与数学家都对推动证明的发展做出了积极的贡献，可以说，“数学是演绎的科学”是在这些哲学家与数学家不断探索中得到的，后来的数学家也继承与发展了这一数学思想。“为什么要证明”的发展史就是由这些哲学家的贡献组成的。因此，认识理解了以下哲学家与数学家在数学证明上的研究，基本上就认识和理解了“为什么要证明”的数学发展史。二、数学史的视角1.泰勒斯的贡献在数学史上，“为什么要证明”这个问题可以追溯到古希腊。泰勒斯（Thales，约公元前640年—约公元前546年）是爱奥尼亚学派的创始人，是古希腊第一位哲学家、数学家。泰勒斯最伟大的贡献是把古埃及丈量土地的学问改造成演绎推理的学问，这一贡献标志着人类开始从经验数学转向演绎数学。王树禾高度评价了泰勒斯的这一贡献：“在泰勒斯的示范之下，希腊数学开始由直观感性的经验阶段向抽象的理论证明阶段过渡，这是数学史上里程碑式的突破，对数学的成长与发展具有极其重大的意义。”2.泰勒斯和阿那克西曼德的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约公元前500年）是古希腊哲学家、数学家，早年曾求学于泰勒斯和阿那克西曼德，40岁后创立所谓的毕达哥拉斯学派。3.“演绎法”的概念柏拉图（Plato，公元前427年—公元前347年）是古希腊哲学家，但是他也热衷于数学事业，对古希腊数学的发展表现了极大的关注与重视。流传十分广泛的一个故事可能是柏拉图在雅典学院的大门上写了几个字：“不懂几何者，不得入内”。克莱因在《古今数学思想》中有这样一段文字：“为什么希腊人坚持要作演绎证明呢？既然归纳、观察和实验一直是获得知识的重要来源，并且被各门科学用得很多很好，那为什么希腊人喜欢在数学里用演绎推理而排斥其他一切方法呢？我们知道希腊人（人们称之为有哲学思想的几何学家）喜欢推理和设想，这从他们对哲学、逻辑和理论科学作出的巨大贡献可以得到证明。另外，哲学家是关心获得真理的，而归纳、实验以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，而演绎法在前提正确的条件下则给出绝对肯定的结果。在古希腊社会中，数学是哲学家所追求的真理总体的一部分，因而认为必须是演绎的。”4.古希腊哲学家与数学亚里士多德（Aristotle，公元前384年—公元前322年）是古希腊伟大的哲学家，是古希腊哲学的集大成者，他对数学也是有贡献的。克莱因说：“亚里士多德虽在发现新的数学结果上没有重要贡献（欧几里得《原本》中有几个定理属于亚里士多德），但他对数学的本性及其与物理世界的关系所发表的看法却影响很多。”5.欧几里得几何公理化的重要性亚历山大时期数学家欧几里得在前人的基础上用公理化的演绎体系方式建立了几何学的大厦，具体的表现为《原本》的问世。当然，人类的数学公理化体系的发展在这个时期还没有终结。一方面，欧几里得的几何公理化还不太彻底，这项工作留给皮亚诺与希尔伯特等二十世纪的数学家去做；另一方面，针对欧几里得《原本》中的“第五公设问题”也给以后数学家带来了新的研究领域，给非欧几何的诞生创造了条件。另一位伟大的几何学家阿波罗尼奥斯（Apollonlius，公元前262—公元前190）也是继承与发扬古典时期的关于圆锥曲线方面研究成果的学者，当然他本人在这个领域也是有创新的在古希腊数学史上，还有不少数学家或哲学家在自觉或不自觉地推动演绎证明的数学发展，在此不再列举。6.欧几里得《原理》和《伦理学》文艺复兴以来，古希腊的理性精神又一次在人类的舞台上发挥出重要的作用。数学的演绎证明被推广到更为广泛的领域。例如，数学家、科学家牛顿（Newton,1642—1727）的《自然哲学之数学原理》就是按照欧几里得《原本》的公理化的模式写成的。著名的经济学家、人口学家马尔萨斯（Malthus,1766—1834）提倡人口论的思想也有两个假设，实际上这就是公理化最为显著的一个例子是17世纪的哲学家斯宾诺莎（B.Spinoza,1632—1677）的名著《伦理学》，这本书就是一板一眼地按照欧几里得《原本》的方式写成的。1776年，美国的《独立宣言》也同样是以《原本》为效仿对象的三、．西方马克思主义数学是演绎证明的科学通过以上内容可知，数学证明其实与哲学家的数学哲学思想有着千丝万缕的联系。泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图与亚里士多德等伟大的古希腊哲学家与数学家，他们的目的其实是统一的，目标是一致的，都是为了更好地追求数学知识真理而对数学知识强调用演绎证明的方式。这种对数学学科的高标准要求，对后世的影响是巨大的。在现代数学界，要想让一个数学命题得到数学界共同体的承认，必须诉诸于演绎证明。另一方面，这几位哲学家与数学家都强调在数学中需要演绎证明，说明了他们的数学哲学观点强调数学是一门演绎的科学，这就涉及一个数学的本质问题，或者说这是一个认识论的问题但是，如果你不认为数学是一门演绎的科学，而认为它是一门经验的科学，同样可以说“数学不需要证明，只需要进行实践活动就能产生数学知识”。这样的例子也是存在的。例如，古埃及数学、古巴比伦数学、古印度数学，甚至中国古代数学中都存在经验的数学，这些文明古国的数学家很少像古希腊数学家那样对数学命题进行证明，虽然在这些文明古国中的数学命题很多没有经过演绎证明，但是经受了实践经验的考验，几乎也都是正确的。这些文明古国的数学很少有证明，因为他们没有像古希腊哲学家或数学家那样特别强调“数学是演绎的科学”这一数学观念。以上从古希腊数学史的视角论证了为什么要证明，也可以说是古希腊数学家、哲学家为了追求一般的