福建省南平市茶富中学高三数学文上学期摸底试题含解析

福建省南平市茶富中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为A（－1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）（2）（3）则的顶点C的轨迹方程为（

）

A、

B、

C、

D、

参考答案：C略2.设函数，则的值为（

）A．1

B．3

C．5

D．6参考答案：C略3.如图所示，用4种不同颜色对图中的5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为（

）

A．72种

B．96种

C．108种

D．120种参考答案：B4.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B5.平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），如果∥，且⊥（﹣），那么实数x，y的值分别是（）A．2，﹣2 B．﹣2，﹣2 C．，2 D．，参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算法则先求出=（﹣1，y+4），再由∥，且⊥（﹣），利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，能求出实数x，y的值．【解答】解：∵平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），∴=（﹣1，y+4），∵∥，且⊥（﹣），∴，解得x=2，y=﹣2，∴实数x，y的值分别2，﹣2．故选：A．6.已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得8＞n≥7，即可得解输入的正整数n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=1，k=3满足条件k≤n，执行循环体，C=2，A=1．B=2，k=4满足条件k≤n，执行循环体，C=3，A=2．B=3，k=5满足条件k≤n，执行循环体，C=5，A=3．B=5，k=6满足条件k≤n，执行循环体，C=8，A=5．B=8，k=7满足条件k≤n，执行循环体，C=13，A=8．B=13，k=8由题意，此时应该不满足条件8≤n，退出循环，输出C的值为13，可得：8＞n≥7，所以输入的正整数n的值是7．故选：C．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，，成等差数列，Sn是数列{an}的前n项的和，则

A．1008

B．2016

C．2032

D．4032参考答案：B9.参考答案：C10.“”是“函数在区间上存在零点”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式组的解集为

▲

参考答案：12.若，满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：413.若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为

．；参考答案：14.某学校共有2000名学生，各年级男、女生人数如下表：

一年级二年级三年级男生369370女生381

已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到二年级女生的概率是0.19，现拟采用分层抽样的方法从全校学生中抽取80名学生，则三年级应抽取的学生人数为

人。

参考答案：20略15.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是__________.参考答案：16.我们把形如的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为____________.参考答案：17.已知____________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用圆的性质可得AC⊥BC，已知DC⊥平面ABC，可得DC⊥BC，可得BC⊥平面ACD，再利用线面垂直的性质即可得出；（II）设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，可得平面BCD的一个法向量是=，设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，利用，即可得出．又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，可得.=cosθ=，解得a．利用VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC=+，即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC∴DC⊥BC，又AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，又AD?平面ACD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量是=，设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，由条件得，=，=（﹣2，0，a）．∴即，不妨令x=1，则y=，z=，∴=．又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，∴．∴=cosθ=，∴==，解得a=2．∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC=+=+==8．∴该几何体ABCDE的体积是8．【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=k（x﹣1）（k∈R）．（1）若两个实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）=f（b），求4a﹣b的取值范围；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）已知0＜a＜b，证明：存在x0∈（a，b），使得．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意可得4a﹣b=﹣b，利用函数的单调性即可求出4a﹣b的取值范围，（2）令g（x）=lnx﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），求导，利用导数和函数的单调性和最值得关系即可求出，（3）问题转化为h（a）＞0且h（b）＜0，即证＜＜．再构造函数，利用单调性即可证明．【解答】解：（1）由0＜a＜b，且f（a）=f（b）得a=，（b＞1），故有4a﹣b=﹣b，b＞1，易知函数y=﹣b在（1，+∞）上单调递减，而b=1时y=3；b→+∞时，y→﹣∞，所以，4a﹣b的取值范围是（﹣∞，3）；（2）证明：令g（x）=lnx﹣k（x﹣1），x∈（1，+∞），则有g′（x）=﹣k=，x∈（1，+∞），当k≤0或k≥1时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=0，?x∈（1，+∞）均满足题意；当0＜k＜1时，＞1，令g′（x）＞0，得1＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，故g（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，取x0=，对任意，有g′（x）＞0，从而g（x）在（1，+∞），上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，即f（x）＞g（x）．

综上，当k＜1时，存在x0＞1，使得对任意的x∈（1，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）证明：记h（x）=﹣，要证存在x0∈（a，b），使得，即证函数h（x）在（a，b）上存在零点．因h（x）在（0，+∞）上单调递减，故只需证h（a）＞0且h（b）＜0，即证＜＜．①，下证：当0＜a＜b时，①式成立．记M（x）=lnx﹣x+1，x＞0，由M′（x）==1=，可得M（x）在（0，1）上单调增，（1，+∞）上单调减，由0＜a＜b，得＞1，0＜＜1，从而有f（）＞f（1）且f（）＜f（1），即有ln﹣+1＞0且ln﹣+1＜0，化简得＜lnb﹣lna＜．

又b﹣a＞0，故有证＜＜．成立．20.某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率；（Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．参考答案：21.（本小题满分13分）

设函数（a为常数）．（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）当x>l时，恒成立，求a的取值范围.参考答案：【知识点】导数的应用B12(1)单调增区间为，单调减区间为；(2)a∈[1,+∞﹚解析：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),a=2时，，当时得，当时得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；(2)等价于lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)＜0在(1.+∞)上恒成立，设h(x)=lnx－a(x－1)，则h(1)=0,.①若a≤0,,函数h(x)为增函数，且向正无穷趋近，显然不满足条件；②若a≥1，则x∈(1,+∞)时，≤0恒成立，∴h(x)=lnx－a(x－1)在(1.+∞)上为减函数，∴h(x)=lnx－a(x－1)＜h(1)=0在(1.+∞)上恒成立，即lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立；③若0＜a＜1,则=0时，，∴时，，∴h(x)=lnx－a(x－1)在上为增函数，当时，h(x)=lnx－a(x－1)＞0，不能使lnx＜a(x－1)在(1.+∞)上恒成立，综上，a∈[1,+∞﹚.【思路点拨】求函数的单调区间就是求使导数大于0及小于0对应的区间，由不等式恒成立求参数范围问题，可构建函数，利用导数判断函数的单调性，结合单调性求函数的最值，利用最值求参数的范围.22.已知，函数，.（其中e是自然对数的底数）（1）当时，求函数的极值；（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.参考答案：（1）由，

…………1分令，解得：

…………2分故、随变化如下表：

极小值

又，故函数有极小值；

…