2022年山西省运城市平陆县实验中学高三数学文联考试题含解析

2022年山西省运城市平陆县实验中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C2.设函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D作出函数的图象.因为由方程,得或.显然有一个实数根,因此只要有两个根(不是),利用图象可得,实数a的取值范围是.

3.已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800参考答案：B【考点】数列的应用．【分析】利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值为M，最小值为m推出结果．【解答】解：数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，可得a1=1，a2=5，此时公差d=4是最大值，M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此时d=1，m=S15=4×15=165．M+m=435+165=600．故选：B．4.设M、N是直线x+y﹣2=0上的两动点，且|MN|=，则的最小值为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，运用两点的距离公式可得m﹣n=1，再由向量的数量积的坐标表示，转化为n的二次函数，配方即可得到所求最小值．【解答】解：设M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，由|MN|=，可得=，可得m﹣n=1，即m=1+n，则?=mn+（2﹣m）（2﹣n）=2mn+4﹣2（m+n）=2n（1+n）+4﹣2（1+2n）=2（n2﹣n+1）=2[（n﹣）2+]≥，当n=，m=时，可得?的最小值为，故选：D．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，注意运用转化思想，运用二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知实数、满足，设函数，则使的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：B，，故选B.6.在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函数，使得(为常数)，这里点的坐标分别为，则的取值范围为A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】平面向量综合问题

F2

F4【答案解析】A

解析：由已知得，点，

故选：A【思路点拨】根据已知条件求出向量的坐标，代入中，利用向量相等的条件得到两个方程，化简即可解得的取值范围7.下列命题中，真命题是（

）

A．

B．

C．

D．充分条件参考答案：D略8.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B9.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．10.已知x、y满足不等式组，则z＝2x＋y的最大值与最小值的比值为（

）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________参考答案：112.已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：x－1045f（x）1221

f(x)的导函数y＝f′（x）的图象如图所示：下列关于f（x）命题：

①函数f(x)是周期函数；

②函数f(x)在[O，2]是减函数；

③如果当x∈[-1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；

④函数y=f(x)-a的零点个数可能为O、1、2、3、4个．

其中正确命题的序号是

。参考答案：13.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是

.参考答案：答案：

()14.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P0（,）,当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为

参考答案：【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.权所有C4

【答案解析】y=sin

解析：∵函数的周期为T=60，∴ω==，设函数解析式为y=sin（﹣t+φ）（顺时针走动为负方向）∵初始位置为P0（，），∴t=0时，y=，∴sinφ=，∴φ可取，∴函数解析式为y=sin（﹣t+）,故答案为：【思路点拨】首先确定函数的周期，再设函数的解析式，待定系数可求函数的解析式．15.若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为

．参考答案：16.如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足=3，点P在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=．求出P到平面BCD的距离，即可求出结论．【解答】解：设棱长为4a，PC=x（0＜x≤4a），则PE=．设P到平面BCD的距离为h，则=，∴h=x，∴sinθ==，∴x=2a时，sinθ的最大值为．故答案为．17.（4分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2，A=120°，S△ABC=．参考答案：考点： 正弦定理．专题： 解三角形．分析： 由正弦定理和已知易得C=30°，进而可得sinB=，由三角形的面积公式可得．解答： 解：∵在△ABC中，a=2，c=2，A=120°，∴由正弦定理可得sinC===，∴C=30°，或C=150°（A=120°，应舍去），∴sinB=sin（A+C）=sin150°=∴S△ABC===故答案为：点评： 本题考查正弦定理，涉及三角形的面积公式，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,令，其中是函数的导函数.(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当时，若存在,使得恒成立，求m的取值范围.参考答案：(Ⅰ)极小值，无极大值；(Ⅱ).试题解析：(Ⅰ)依题意，则当a=0时，令解得；当时，，当时，所以的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+∞)所以时取得极小值，无极大值.(Ⅱ)当即时，恒有成立，所以在上是单调递减.所以所以，因为存在,使得恒成立，所以整理得又<0，所以令=－，则∈(2,8)，构造函数,所以，当时，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，所以m的取值范围为(,+∞).考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上的最值.【方法点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，训练了恒成立问题的求解方法，合理构造函数并正确求导是解题的关键，是压轴题；利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格.考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.19.（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的

“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)参考答案：（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数.

…3分（Ⅱ）由，得，两式相减得，所以

…5分经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列.

……………8分（Ⅲ）,所以单调递减.由题意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即数列最多有26项.

…………13分20.（本小题满分10分）已知.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若不等式对一切实数a，b，c恒成立，求实数的取值范围．参考答案：21.已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由．可得=﹣，可得3x1?x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：（3+4k2）x1?x2+4km（x1+x2）+4m2=0，把根与系数的关系代入即可证明．（3）由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，可得k∈R．|AB|==，即可得出．【解答】（1）解：由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆E的方程为=1．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，∴x1+x2=，x1?x2=，∵．∴=﹣，即3x1?x2+4y1y2=0，∴3x1?x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：（3+4k2）x1?x2+4km（x1+x2）+4m2=0，∴（3+4k2）+4km?+4m2=0，化为：2m2=4k2+3．（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为：4k2+3＞m2，∴4k2+3，∴k∈R．|AB|=====∈．当且仅当k=0时，|AB|的最大值2．22.已知函数f（x）=ex（x∈R）．（1）证明：曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点；（2）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设，求出导数，令h（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得h（x）的最小值，g（x）的单调性，再由g（0）=0，即可得证；（2）结论：．运用作差法，设m（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，求得导数，由基本不等式可得m（x）的单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：设，g'（x）=ex