【解析】浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

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浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（有10个小题，共30分）.

1．（2022八上·杭州期中）数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器.下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2022八上·杭州期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

3．（2022八上·杭州期中）如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动.当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）

A．25°B．35°C．45°D．50°

4．（2022·杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线

C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线

5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（）

A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形

6．（2023八上·临河期中）如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A．AC，BC两边高线的交点处

B．AC，BC两边垂直平分线的交点处

C．AC，BC两边中线的交点处

D．∠A，∠B两内角平分线的交点处

7．（2022八上·杭州期中）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）

A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°

C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6

8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的上都，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）

A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺

9．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）

A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC

B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC

C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°

D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°

10．（2022八上·杭州期中）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（）

A．6B．7C．8D．

二、填空题（本大题有6个小题，共24分）

11．（2023八上·上城期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．

12．（2023八上·望江期中）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是．

13．（2022八上·杭州期中）如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是.

14．（2022八上·杭州期中）下列结论：

①周长相等的两个等边三角形全等；

②周长相等的两个等腰三角形全等；

③面积相等的两个等边三角形全等；

④面积相等的两个等腰三角形全等；

其中所有正确结论的序号是.

15．（2022八上·杭州期中）如图，等边△ABC的边长为8.P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝；若BQ＝5，则AQ＝.

16．（2022八上·杭州期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.当点M、N运动秒后，可得到直角三角形△AMN.

三、解答题（本大题共7小题，共66分。）。

17．（2022八上·杭州期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；

（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.

18．（2022八上·杭州期中）如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.

（1）求证：AC＝BD；

（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数.

19．（2022八上·杭州期中）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.

20．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.

（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；

（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长.

21．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.

（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；

（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.

22．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.

（1）当∠BDA＝100°时，求∠DEC的值；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.

23．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE.点G是线段BC的中点，连接AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H.

（1）求证：△DCE为等腰三角形；

（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝，求GH的长；

（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故答案为：C.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

2．【答案】B

【知识点】三角形的外角性质

【解析】【解答】解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，

∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，

故答案为：B.

【分析】对图形进行点标注，由题意得∠ABD＝60°，∠C＝45°，根据外角的性质可得∠α+∠C=∠ABD，据此计算.

3．【答案】D

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；线段的中点

【解析】【解答】解：∵点O是AB的中点，

∴OA＝OB，

由旋转得：OB＝OB′，

∴OA＝OB′，

∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，

∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°.

故答案为：D.

【分析】根据中点的概念可得OA＝OB，由旋转得：OB＝OB′，则OA＝OB′，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，根据外角的性质可得∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C，据此计算.

4．【答案】B

【知识点】三角形的角平分线、中线和高

【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；

线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.

5．【答案】D

【知识点】等边三角形的判定

【解析】【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；

B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；

C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；

D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；

故选D．

【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．

6．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，

故选B．

【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．

7．【答案】C

【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、3+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；

B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；

C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；

D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据三角形的三边关系可判断A；根据全等三角形的判定定理可判断B、C、D.

8．【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，

因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺

在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，

解之得x＝13，

即水深12尺，芦苇长13尺．

故答案为：D

【分析】由题意可知，设芦苇长为x，水深可以用x表示为（x-1）尺，B'C的长为正方形边长的一半即为5尺，根据勾股定理列出方程52+（x-1）2=x2，从而求得x的值即为芦苇的长。

9．【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：A.∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，

∵∠BAP＝∠B，

∴∠CAP＝∠C，

∴AP＝PC，

只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；

B.∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝90°，

∵∠BAP＝∠C，

∴∠C+∠CAP＝90°，

∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，

即AP⊥BC，故正确；

C.∵AP⊥BC，PB＝PC，

∴AP垂直平分BC，

而∠BAC不一定等于90°，故错误；

D.根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据∠BAC＝90°可得∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，结合∠BAP＝∠B可得∠CAP＝∠C，推出

AP＝PC，据此判断A；根据B中的条件可得∠C+∠CAP＝90°，结合内角和定理可得∠APC＝90°，据此判断；由C中的条件可得AP垂直平分BC，据此判断；根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，据此判断D.

10．【答案】C

【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；圆的面积

【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，

∵S1+S2＝12，

∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9，

∴AC×BC＝18，

∵AC+BC＝10.

∴AB＝

故答案为：C.

【分析】由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，根据圆的面积公式结合已知条件可得×π×()2+π×()2+AC×BC-π×()2＝9，则AC×BC＝18，然后根据AB=进行计算.

11．【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

【知识点】逆命题

【解析】【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，

所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．

12．【答案】50°或80°

【知识点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况：（1）当这个80°的角为顶角时，则底角=（180°﹣80°）÷2=50°；（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．故答案为：50°或80°．

【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

13．【答案】12cm

【知识点】翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，

∵AE＝4cm，

∴CE＝4cm，

∵△ABC的周长为20cm，

∴AB+CB＝20﹣8＝12（cm），

∴△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝12cm.

故答案为：12cm.

【分析】根据折叠的性质可得AE＝CE=4cm，AD＝CD，结合△ABC的周长可得AB+CB＝12cm，则△ABD的周长是AB+BC，据此计算.

14．【答案】①③

【知识点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：①周长相等的两个等边三角形全等，符合题意；

②周长相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；

③面积相等的两个等边三角形全等，符合题意；

④面积相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；

故答案为：①③.

【分析】周长相等的两个等边三角形边长相等，根据全等三角形的判定定理可判断①；周长相等的两个等腰三角形腰长、底边不一定对应相等，据此判断②；面积相等的两个等边三角形底边、高对应相等，据此判断③；若等腰锐角三角形与等腰钝角三角形的面积相等，而底边与高不一定对应相等，据此判断④.

15．【答案】120°；7

【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，

在△ABP与△ACQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP＝∠CAQ，

∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

过点A作AD⊥BC于D，

∵BC＝8，△ABC是等边三角形，

∴BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，

∴AD＝

∵BQ＝5，

∴DQ＝1，

∴AQ＝＝7.

故答案为：120°，7.

【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP＝∠CAQ，由外角的性质可得∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，利用勾股定理可得AD，然后求出DQ，再次利用勾股定理就可求出AQ.

16．【答案】或或或9

【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：当点N在AB上运动时，如图3，

若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，

∴AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，

∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，

解得t＝；

如图4，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，

解得t＝；

当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；

当点N在BC上运动时，

如图5，

当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，

则2t＝6+6+3，

解得t＝；

如图6，

当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，

则t＝6+3＝9；

综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN.

故答案为：或或或9.

【分析】当点N在AB上运动时，若∠AMN＝90°，则AN＝6-2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得2AM＝AN，代入求解即可；若∠ANM＝90°，同理可得2AN＝AM，代入求解即可；当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；当点N在BC上运动时，当点N位于BC中点处时，由等边三角形的性质可得AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，据此求解；当点M位于BC中点处时，同理可得t的值.

17．【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；

（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；

（3）解：如图所示，OPQ即为所求.

【知识点】等腰三角形的性质；有理数及其分类；无理数的认识；作图-三角形

【解析】【分析】（1）取AB=4，BC=3，AC=5，画出△ABC即可；

（2）取EF=，DE=，DF=，画出△DEF即可；

（3）取PO=OQ=，PQ=，画出△OPQ即可.

18．【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ACB和△BDA都是直角三角形，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，

，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），

∴AC＝BD；

（2）解：在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，

∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，

由（1）可知△ACB≌△BDA，

∴∠BAD＝∠ABC＝35°，

∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°.

【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定（HL）

【解析】【分析】（1）由题意可得△ACB和△BDA都是直角三角形，AD=BC，AB=BA，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA，据此可得结论；

（2）根据余角的性质可得∠CAB＝90°﹣∠ABC＝55°，由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，然后根据∠CAO＝∠CAB-∠BAD进行计算.

19．【答案】解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），

则AE＝AB﹣0.8，

在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，

∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2

解得：x＝4，

答：秋千AB的长为4m.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设AB＝AB′＝xm，由题意可得B′E＝1.4-0.6＝0.8m，则AE＝AB-0.8，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理计算即可.

20．【答案】（1）解：∵∠ACD＝90°，∠A＝24°，

∴∠B＝66°.

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝∠BDC＝＝57°.

∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57°＝33°；

（2）解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，

由勾股定理得：AB＝＝13，

∵AB＝AD+BD，BD＝BC＝5，

∴AD＝13﹣5＝8.

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠B＝66°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD＝∠BDC＝57°，然后根据∠ACD＝90°-∠BCD进行计算；

（2）由勾股定理可得AB＝13，然后根据AB＝AD+BD结合BD＝BC＝5进行计算.

21．【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，

∴∠ABC＝80°.

在△BDC中，BD＝BC，

∴，

∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°.

（2）解：设∠BCD＝x°，

∵BE＝BC，

∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，

∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°.

∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，

又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，

∴2α＝β.

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质

【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠ABC＝80°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC=∠BCD=50°，由外角的性质可得∠ACD+∠A＝∠BDC，据此计算；

（2）设∠BCD＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE＝(α+x)°，由内角和定理可得∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2(α+x)°，则∠DBC-∠EBC＝2α°，由角的和差关系可得∠DBC-∠EBC＝∠ABE＝β°，据此解答.

22．【答案】（1）解：∵在△BAD中，∠B＝∠C＝40°，∠BDA＝100°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣100°＝40°；

∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣100°﹣40°＝40°.

∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；

（2）解：当DC＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：

∵∠C＝40°，

∴∠DEC+∠EDC＝140°，

又∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB+∠EDC＝140°，

∴∠ADB＝∠DEC，

又∵AB＝DC＝4，

在△ABD和△DCE中，，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（3）解：可以；当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，

∵∠BDA＝110°时，

∴∠ADC＝70°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAE＝70°，

∴∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°

∴△ADE的形状是等腰三角形；

∵当∠BDA的度数为80°时，

∴∠ADC＝100°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAE＝40°，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴△ADE的形状是等腰三角形.

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝40°，由平角的概念可得∠EDC＝40°，然后在△CDE中，根据内角和定理计算即可；

（2）根据内角和定理可得∠DEC+∠EDC＝140°，由平角的概念可得∠ADB+∠EDC＝140°，则∠ADB＝∠DEC，然后根据全等三角形的判定定理进行解答；

（3）当∠BDA=110°时，易得∠ADC＝70°，∠DAE＝70°，∠AED＝70°，则△ADE的形状是等腰三角形；当∠BDA=80°时，∠ADC＝100°，∠DAE＝40°，∠DAE＝∠ADE，据此解答.

23．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，

∵BD＝DE，

∴∠DBC＝∠E＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠CDE＝∠ACB＝∠E，

∴CD＝CE，

∴△DCE是等腰三角形

（2）解：

∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝，

∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，

∴∠HDC＝∠DCH＝45°

∴DH＝CH，

∵DH2+CH2＝DC2＝2，

∴DH＝CH＝1，

∵∠ABC＝∠DCH＝45°

∴△ABC是等腰直角三角形，

又∵点G是BC中点

∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，

∵BD＝DE，DH⊥BC

∴BH＝HE＝+1

∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1

∴1+2GH＝+1

∴GH＝

（3）解：CE＝2GH

理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，

∴BG＝GC，

∵BD＝DE，DH⊥BC，

∴BH＝HE，

∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝BC﹣BE+CE＝CE，

∴CE＝2GH

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠E＝∠ACB，根据角平分线的概念可得∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由外角的性质可得∠ACB＝∠E+∠CDE，进而推出CD＝CE，据此证明；

（2）由等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠DCH＝∠CDE+∠CED=45°，推出DH＝CH，结合勾股定理可得DH＝CH＝1，易得△ABC是等腰直角三角形，AG⊥BC，AG＝GC＝BG，由等腰三角形的性质可得BH＝HE＝+1，则BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝+1，据此求解；

（3）根据等腰三角形的性质可得BG＝GC，BH＝HE，则GH＝GC-HC＝GC-(HE-CE)＝BC﹣BE+CE＝CE，据此解答.

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浙江省杭州市西湖区保俶塔申花实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（有10个小题，共30分）.

1．（2022八上·杭州期中）数学考试必备学习用具：黑色的水笔、2B铅笔、橡皮、圆规、三角板全套、量角器.下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故答案为：C.

【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.

2．（2022八上·杭州期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

【答案】B

【知识点】三角形的外角性质

【解析】【解答】解：由题意得，∠ABD＝60°，∠C＝45°，

∴∠α＝∠ABD﹣∠C＝15°，

故答案为：B.

【分析】对图形进行点标注，由题意得∠ABD＝60°，∠C＝45°，根据外角的性质可得∠α+∠C=∠ABD，据此计算.

3．（2022八上·杭州期中）如图，是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动.当A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A'OA）是（）

A．25°B．35°C．45°D．50°

【答案】D

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；线段的中点

【解析】【解答】解：∵点O是AB的中点，

∴OA＝OB，

由旋转得：OB＝OB′，

∴OA＝OB′，

∴∠OAC＝∠OB′C＝25°，

∴∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C＝50°.

故答案为：D.

【分析】根据中点的概念可得OA＝OB，由旋转得：OB＝OB′，则OA＝OB′，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OB′C＝25°，根据外角的性质可得∠AOA′＝∠OAC+∠OB′C，据此计算.

4．（2022·杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线

C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线

【答案】B

【知识点】三角形的角平分线、中线和高

【解析】【解答】解：线段CD是△ABC的AB边上的高线，故A不符合题意；B符合题意；

线段AD不是△ABC的高线，故C，D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用三角形高的定义：从三角形的一个顶点作对边的垂线，这条垂线段就是三角形的高，据此可得答案.

5．下列条件中，不能得到等边三角形的是（）

A．有两个内角是60°的三角形B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形D．有两个外角相等的等腰三角形

【答案】D

【知识点】等边三角形的判定

【解析】【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；

B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；

C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；

D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；

故选D．

【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．

6．（2023八上·临河期中）如图，有A，B，C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A．AC，BC两边高线的交点处

B．AC，BC两边垂直平分线的交点处

C．AC，BC两边中线的交点处

D．∠A，∠B两内角平分线的交点处

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质

【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，

故选B．

【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．

7．（2022八上·杭州期中）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）

A．AB＝3，BC＝4，AC＝7B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°

C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4D．∠A＝∠B，AB＝6

【答案】C

【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定

【解析】【解答】解：A、3+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；

B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；

C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；

D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据三角形的三边关系可判断A；根据全等三角形的判定定理可判断B、C、D.

8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的上都，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）

A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺

【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，

因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺

在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，

解之得x＝13，

即水深12尺，芦苇长13尺．

故答案为：D

【分析】由题意可知，设芦苇长为x，水深可以用x表示为（x-1）尺，B'C的长为正方形边长的一半即为5尺，根据勾股定理列出方程52+（x-1）2=x2，从而求得x的值即为芦苇的长。

9．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）

A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC

B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC

C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°

D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°

【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定

【解析】【解答】解：A.∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，

∵∠BAP＝∠B，

∴∠CAP＝∠C，

∴AP＝PC，

只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；

B.∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝90°，

∵∠BAP＝∠C，

∴∠C+∠CAP＝90°，

∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，

即AP⊥BC，故正确；

C.∵AP⊥BC，PB＝PC，

∴AP垂直平分BC，

而∠BAC不一定等于90°，故错误；

D.根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据∠BAC＝90°可得∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，结合∠BAP＝∠B可得∠CAP＝∠C，推出

AP＝PC，据此判断A；根据B中的条件可得∠C+∠CAP＝90°，结合内角和定理可得∠APC＝90°，据此判断；由C中的条件可得AP垂直平分BC，据此判断；根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，据此判断D.

10．（2022八上·杭州期中）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝9，且AC+BC＝10，则AB的长为（）

A．6B．7C．8D．

【答案】C

【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；圆的面积

【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，

∵S1+S2＝12，

∴×π×（）2+π×（）2+AC×BC﹣π×（）2＝9，

∴AC×BC＝18，

∵AC+BC＝10.

∴AB＝

故答案为：C.

【分析】由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，根据圆的面积公式结合已知条件可得×π×()2+π×()2+AC×BC-π×()2＝9，则AC×BC＝18，然后根据AB=进行计算.

二、填空题（本大题有6个小题，共24分）

11．（2023八上·上城期末）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．

【答案】如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

【知识点】逆命题

【解析】【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，

所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

故答案为：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．

12．（2023八上·望江期中）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是．

【答案】50°或80°

【知识点】等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：由题意知，分两种情况：（1）当这个80°的角为顶角时，则底角=（180°﹣80°）÷2=50°；（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．故答案为：50°或80°．

【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

13．（2022八上·杭州期中）如图，△ABD的周长为20cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE＝4cm，则△ABC的周长是.

【答案】12cm

【知识点】翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：根据折叠方法可得AE＝CE，AD＝CD，

∵AE＝4cm，

∴CE＝4cm，

∵△ABC的周长为20cm，

∴AB+CB＝20﹣8＝12（cm），

∴△ABD的周长是：AB+BD+AD＝AB+BC＝12cm.

故答案为：12cm.

【分析】根据折叠的性质可得AE＝CE=4cm，AD＝CD，结合△ABC的周长可得AB+CB＝12cm，则△ABD的周长是AB+BC，据此计算.

14．（2022八上·杭州期中）下列结论：

①周长相等的两个等边三角形全等；

②周长相等的两个等腰三角形全等；

③面积相等的两个等边三角形全等；

④面积相等的两个等腰三角形全等；

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③

【知识点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：①周长相等的两个等边三角形全等，符合题意；

②周长相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；

③面积相等的两个等边三角形全等，符合题意；

④面积相等的两个等腰三角形不一定全等，如两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，故周长相等的两个等腰三角形不一定全等，不符合题意；

故答案为：①③.

【分析】周长相等的两个等边三角形边长相等，根据全等三角形的判定定理可判断①；周长相等的两个等腰三角形腰长、底边不一定对应相等，据此判断②；面积相等的两个等边三角形底边、高对应相等，据此判断③；若等腰锐角三角形与等腰钝角三角形的面积相等，而底边与高不一定对应相等，据此判断④.

15．（2022八上·杭州期中）如图，等边△ABC的边长为8.P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP交于点O，AP＝CQ，则∠AOB＝；若BQ＝5，则AQ＝.

【答案】120°；7

【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，

在△ABP与△ACQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

∴∠ABP＝∠CAQ，

∴∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，

∴∠AOB＝120°；

过点A作AD⊥BC于D，

∵BC＝8，△ABC是等边三角形，

∴BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，

∴AD＝

∵BQ＝5，

∴DQ＝1，

∴AQ＝＝7.

故答案为：120°，7.

【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，利用SAS证明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP＝∠CAQ，由外角的性质可得∠BOQ＝∠ABO+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝60°，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝4，∠ABD＝60°，利用勾股定理可得AD，然后求出DQ，再次利用勾股定理就可求出AQ.

16．（2022八上·杭州期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.当点M、N运动秒后，可得到直角三角形△AMN.

【答案】或或或9

【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形

【解析】【解答】解：当点N在AB上运动时，如图3，

若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，

∴AN＝6﹣2t，

∵∠A＝60°，

∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，

解得t＝；

如图4，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，

解得t＝；

当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；

当点N在BC上运动时，

如图5，

当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，

则2t＝6+6+3，

解得t＝；

如图6，

当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，

则t＝6+3＝9；

综上，当t＝或或或9时，可得到直角三角形△AMN.

故答案为：或或或9.

【分析】当点N在AB上运动时，若∠AMN＝90°，则AN＝6-2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得2AM＝AN，代入求解即可；若∠ANM＝90°，同理可得2AN＝AM，代入求解即可；当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形；当点N在BC上运动时，当点N位于BC中点处时，由等边三角形的性质可得AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，据此求解；当点M位于BC中点处时，同理可得t的值.

三、解答题（本大题共7小题，共66分。）。

17．（2022八上·杭州期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；

（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.

【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；

（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；

（3）解：如图所示，OPQ即为所求.

【知识点】等腰三角形的性质；有理数及其分类；无理数的认识；作图-三角形

【解析】【分析】（1）取AB=4，BC=3，AC=5，画出△ABC即可；

（2）取EF=，DE=，DF=，画出△DEF即可；

（3）取PO=OQ=，PQ=，画出△OPQ即可.

18．（2022八上·杭州期中）如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.

（1）求证：AC＝BD；

（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数.

【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ACB和△BDA都是直角三角形，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，

，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），

∴AC＝BD；

（2）解：在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，

∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，

由（1）可知△ACB≌△BDA，

∴∠BAD＝∠ABC＝35°，

∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°.

【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定（HL）

【解析】【分析】（1）由题意可得△ACB和△BDA都是直角三角形，AD=BC，AB=BA，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA，据此可得结论；

（2）根据余角的性质可得∠CAB＝90°﹣∠ABC＝55°，由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，然后根据∠CAO＝∠CAB-∠BAD进行计算.

19．（2022八上·杭州期中）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的长.

【答案】解：设AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），

则AE＝AB﹣0.8，

在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，

∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2

解得：x＝4，

答：秋千AB的长为4m.

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【分析】设AB＝AB′＝xm，由题意可得B′E＝1.4-0.6＝0.8m，则AE＝AB-0.8，然后在Rt△AEB中，利用勾股定理计算即可.

20．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD.

（1）若∠A＝24°，求∠ACD的度数；

（2）若BC＝5，AC＝12，求AD的长.

【答案】（1）解：∵∠ACD＝90°，∠A＝24°，

∴∠B＝66°.

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝∠BDC＝＝57°.

∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57°＝33°；

（2）解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，

由勾股定理得：AB＝＝13，

∵AB＝AD+BD，BD＝BC＝5，

∴AD＝13﹣5＝8.

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠B＝66°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BCD＝∠BDC＝57°，然后根据∠ACD＝90°-∠BCD进行计算；

（2）由勾股定理可得AB＝13，然后根据AB＝AD+BD结合BD＝BC＝5进行计算.

21．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE.

（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；

（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，

∴∠ABC＝80°.

在△BDC中，BD＝BC，

∴，

∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°.

（2）解：设∠BCD＝x°，

∵BE＝BC，

∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，

∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°.

∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，

又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，

∴2α＝β.

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质

【解析】【分析】（1）根据内角和定理可得∠ABC＝80°，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠BDC=∠BCD=50°，由外角的性质可得∠ACD+∠A＝∠BDC，据此计算；

（2）设∠BCD＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠BEC＝∠BCE＝(α+x)°，由内角和定理可得∠DB