四川省自贡市荣县2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含答案解析）

荣县2023年上期高一年级半期考试数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知向量，，则（）A. B.2 C. D.50【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得的坐标，再根据向量模的坐标表示即可得答案.【详解】由题意向量，，则向量，故，故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式得到答案.【详解】.故选：B.3.角的终边过点，若，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义，直接计算.【详解】由条件可知，由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题型，本题的易错点是忽略这个条件.4.已知向量是不共线的向量，，，若三点共线，则满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三点共线列方程组，由此求得的关系式，从而确定正确答案.【详解】由于三点共线，所以，即，所以，将代入得.故选：D5.在中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.6.已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．7.点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设，根据，求得点P的坐标，再根据点P在圆上，令，得到，利用判别式求解.【详解】解：如图所示：设，因为，所以，则，即，因为点P在圆上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值为2，故选：C8.已知函数的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，根据题意，结合正弦函数的性质得到，即可求解.【详解】因为，可得，因为函数的值域为，所以，解得.故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9.已知，下述结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用条件及数量积与模、夹角的关系得出夹角，一一计算判定即可.【详解】∵，∴，对于A项，，A正确；对于B项，，B正确；对于C项，，故C错误；对于D项，，故D错误.故选：AB10.已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（）A.若，则是锐角三角形B.若，则是等腰三角形C.若，则是等腰三角形D.【答案】ACD【解析】【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C，根据正弦定理判断D.【详解】选项A：因为，且是的内角，所以，所以，所以都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；选项B：由及正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；选项C：由即正弦定理可得，即，因为是的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；选项D：因为是的内角，所以根据正弦定理可得，故选项D正确；故选：ACD11.关于函数，下述结论正确的是（）A.的最小值为－1B.上单调递增C.函数在上有3个零点D.曲线关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】讨论和，分别写出函数的解析式，画出在上的图象，结合的图象和周期性，即可判断各选项是否正确.【详解】当时，函数；当时，函数.画出在上的图象，如图所示，根据函数的图象，以及函数是周期为的函数知，对于A，的最小值为-1，所以A正确；对于B，在上不是单调递增函数，B错误；对于C，函数在上有3个零点，分别是，所以C正确；对于D，曲线关于直线对称，所以D正确.故选：ACD.12.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差.下述结论正确的是（）A. B.C.在运行一周的过程中，的时间超过10min D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意建立三角函数模型，先得出解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.【详解】由题意可得是关于的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近点为P，则当时，游客甲位于，以OP为终边的角为，而转一圈需要大约30min，可知角速度大约为，由题意可得：，即A正确；当时，，即B错误；，由正弦函数的性质可得：，故，即高度超过90+2.5米时时间长20-10=10min，显然高度超过90米的时间长超过10min，故C正确；甲乙所在位置分别设为A、B两点，甲乙座舱差7个，则，故t分钟后甲乙的高度分别为：，，其高度差为：，即D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，．若向量与垂直，则________．【答案】7【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数的值．【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以，解得，故答案为：7．14.已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是_______.【答案】【解析】【分析】根据题意转化为，设，结合向量坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】因为点，点在线段的延长线上，且，可得，设，则，即，解得，即点的坐标为.故答案：.15.已知，则___________.【答案】【解析】【分析】先求得，然后利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式、二倍角公式、诱导公式等知识求得正确答案.【详解】..故答案为：16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求得，再得出，边化角化简未知式计算即可.【详解】根据正弦定理化简可得，即或，∵，∴，即，∴，∴.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，17题10分，其余题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知平行四边形（按A、B、C、D的顺序）的三个顶点A、B、C的坐标分别是.（1）求D的坐标；（2）求向量在向量上的投影向量的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算即可；（2）根据投影向量的定义计算即可.【小问1详解】易知，设顶点D的坐标为，则，，即，解得，∴顶点D的坐标为.【小问2详解】由上可得，设向量在向量上的投影向量，故.18.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.[方法二]：正弦化角（通性通法）设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．[方法三]：余弦与三角换元结合在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为．【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.19.已知.（1）求证：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合两角和与差的正弦公式，联立方程，即可求解；（2）因为，根据题意求得，由（1）和两角差的正切公式，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：因为，，联立方程组，可得，所以.【小问2详解】解：因为，可得，又因为，可得，因为，所以，所以，即，解得.20.在扇形中，半径，扇形的面积为，点是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形.（点在半径上，点在半径上），（1）求圆心角的大小；（2）求矩形的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据扇形面积公式求得.（2）设，利用表示出矩形的面积，根据三角函数的知识求得矩形的面积的最大值.【小问1详解】设，由于扇形半径，所以，即.【小问2详解】设，，在中，，，在中，，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为.21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）点D在AB边上，，且，求sin∠BCD.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的性质，化简得到，进而得到，即可求解；（2）根据题意求得，得到为等边三角形，所以，在中，求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为，由正弦定理，可得，因为，可得，所以，整理的，又因为，可得，所以，可得，即，因为，所以，解得.【小问2详解】解：因为，所以，因为，可得，解得，因为，且，为等边三角形，所以，在中，可得，所以，在中，由正弦定理得.22.已知函数最小值为；①的一条对称轴；②的一个对称中心且在单调递减；③向左平移单位达到图象关于轴对称，且；从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，作为已知条件.（1）求函数的解析式，并求的单调递增区间；（2）将的图象，先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，令.若总，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间：（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后根据所选条件，由三角函数的对称性、三角函数图象变换的知识求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）利用三角函数图象变换的知识求得，进而求得，利用二次函数的性质求得的最大值，由此由不等式分离参数，结合对钩函数的性质求得的取值范围.【小问1详解】由题意可知，，.选①，因为函数的一条对称轴，则，解得，，所以，的可能取值为、.若，则，则，不合乎题意；若，则，则，合乎题意.所以，；令解得，，所以，的单调增区间为.选②，因为函数的一个对称中心，则，解得，，所以，的可能取值为、.若，则，当时，，此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；若，则，当时，，此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；所以，；令解得，，所以，的单调增区间为.选③，将函数向左平移个单位得到图象关于轴对称，所得函数为，由于函数的图象关于轴对称，可得，解得，，所以，的可能取值