2023年湖南省新高考教学教研联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

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数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合，，则()

A.B.C.D.

2.已知函数，则下列结论错误的是()

A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称

C.的一个零点为D.在区间上单调递减

3.如果一组数据，，，，的方差是，那么另一组数据，，，，的方差为()

A.B.C.D.

4.已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是()

A.B.C.D.

5.已知定义在上的奇函数满足：当时，，则的解集为()

A.B.

C.D.

6.记函数的最小正周期为，若，且，则()

A.B.C.D.

7.很多人的童年都少不了折纸的乐趣，如今传统意义上的手工折纸已经与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题有一张矩形纸片，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与点重合于点，若，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为()

A.B.C.D.

8.已知为的外心，若，，则的最大值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的有()

A.若复数满足，则

B.若复数，为虚数单位，则的共轭复数

C.复数一定都满足

D.若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹为圆

10.如图，在中，，，，，分别是边上的三个四等分点，若，则()

A.B.

C.D.

11.已知、为正实数，，则()

A.B.的最大值为

C.的最小值为D.的最大值为

12.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，若平面平面，平面平面，记平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，则()

A.侧面为矩形

B.若为的中点，为的中点，则平面

C.

D.若，满足且为常数，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.数据、、、、、、、的第百分位数为______．

14.已知向量，，，若、、三点共线，则______．

15.如图，在平行四边形中，，，为线段的中点，，则______．

16.如图，在中，，点与点分别在直线的两侧，且，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

某实验中学对选择生物学科的名学生的高一下学期期中考试成绩进行统计，得到如图所示的频率直方图已知成绩均在区间内，不低于分视为优秀，低于分视为不及格同一组中数据用该组区间中间值做代表值．

根据此次成绩采用分层抽样从中抽取人开座谈会，求在区间应抽取多少人？

根据频率直方图，估计这次考试成绩的平均数和中位数．

18.本小题分

已知函数．

求的最小正周期和单调递增区间；

若在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

19.本小题分

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面．

证明：为的中点；

若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积．

20.本小题分

记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知

求证：；

若，求的最大值．

21.本小题分

如图，已知是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥．

若，证明：平面平面；

若，求直线与平面所成角的正弦值．

22.本小题分

已知函数，，．

若的最大值为，求的值；

当时，设，若的最小值为，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，，

，

因此，．

故选：．

求出集合、，利用交集的定义可求得集合．

本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：由于的最小正周期为，所以A正确．

因为，为最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确．

因为，所以的一个零点为，所以C正确．

由，得，而在上递减，在上递增，

所以在区间上不单调递减，所以D错误．

故选：．

对于，利用周期公式分析判断，对于，将代入函数判断是否能取得最值，对于，将代入函数中计算判断，对于，由求出的范围，然后根据余弦函数的性质判断．

本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：根据题意，数据，，，，的方差是，

则另一组数据，，，，的方差．

故选：．

根据题意，由方差的性质分析可得答案．

本题考查数据的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：因为向量与的夹角为，且，，

所以，

所以在方向上的投影向量为．

故选：．

根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得．

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为定义在上的奇函数满足：当时，，

则，解得，

故当时，，

因为、在上均为增函数，故函数在上为增函数，

且当时，，

令，则函数的定义域为，

，故函数为偶函数，

且，

由可得，即，

因为函数在上为增函数，则函数在上为增函数，

所以，解得或．

故选：．

由奇函数的性质可得出，求出的值，分析函数在上的单调性，令，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集．

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：根据最小正周期，可得，解得；

又，即是函数的一条对称轴，

所以，，解得，，

又，当时，．

故选：．

由最小正周期，可得，再由即可得，，从而求出的值．

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：由题意可得，，，

，又，

，，故以，，为同一个顶点的正方形的外接球即为三棱锥的外接球，

设外接球的半径为，则，

三棱锥的所有顶点都在球的表面积为．

故选：．

由题意可得以，，为同一个顶点的正方形的外接球即为三棱锥的外接球，求解可得球的表面积．

本题考查求空间几何体的外接球的表面积，属中档题．

8.【答案】

【解析】解：在中，设内角、、的对边分别为、、，

，，

，

，，，

如下图所示：

取线段的中点，连接，则，

，同理，

，则，

即，，

，即，

，

联立可得，，

，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为．

故选：．

由三角恒等变换化简可得出的值，推导出，，利用平面向量的数量积可得出、的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，

本题主要考查平面向量基本定理，向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于：若，则，显然为纯虚数，故A错误；

对于：，所以，故B正确；

对于：若，则，，

显然，故C错误；

对于：复数满足，所以复数在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确．

故选：．

利用反例说明、，根据复数的乘方及共轭复数判断，根据复数的几何意义判断．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于：，故A正确；

对于：在中，，，，

，即，

，故B正确；

对于：，故C正确；

对于：，

，

，故D错误．

故选：．

根据图形，结合向量加，减，数乘运算，即可判断；利用向量表示，利用数量积公式，判断；根据的判断，代入数量积和模的公式，即可判断．

本题考查平面向量的线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题，

11.【答案】

【解析】解：因为、为正实数，，

对于选项，，当且仅当时，等号成立，对；

对于选项，因为，则，

故，当且仅当时，等号成立，

所以，的最大值为，对；

对于选项，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，错；

对于选项，，

当且仅当时，即，时等号成立，故的最大值为，对．

故选：．

利用基本不等式可判断选项，利用二次函数的基本性质可判断选项．

本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于：是矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面，平面，，

过点作，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，平面，

平面，又平面，

．

在三棱柱中为平行四边形，所以为矩形，故A正确；

对于：取的中点，连接、，

因为为的中点，为的中点，所以，平面，

平面，所以平面，

又，平面，

平面，所以面，

，，平面，所以平面平面，

平面，所以平面，故B正确

对于、：由棱柱知，又平面，平面，

以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如下所示，

不妨设，，，

则，

取平面的一个法向量，

，则，

取平面的一个法向量，

设为平面的法向量，

则，，令，则，，

由，

，

，则，

，

则，

，．

且，

，

故，故C错误，D正确．

故选：．

证明平面，即可得到，从而判断，取的中点，连接、，即可证明平面平面，从而判断，对于、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．

本题考查空间角、距离，利用空间向量法可以将几何问题转化为代数计算等相关知识，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：将数据由小到大进行排列为、、、、、、、，共个数，

因为，故该组数据的第百分位数为．

故答案为：．

将数据由小到大排列，利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数．

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：已知向量，，，

则，，

因为、、三点共线，则，所以，，解得．

故答案为：．

计算出、的坐标，由题意可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值．

本题考查了向量坐标的减法运算，向量减法的几何意义，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：在平行四边形中，为中点，则有，

因为，，所以在中，

，，

因为，所以，

则

，

故答案为：．

以不共线的两个向量作为平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解过程中涉及到垂直，可用数量积为来突破，留意向量的方向，准确找出两向量的夹角．

本题考查平面向量数量积的应用，属基础题．

16.【答案】

【解析】解：设，则由，得，

在中，，由正弦定理得，

所以，得，

因为，所以，

所以，

设，因为，

所以，

所以，

在中由正弦定理得，，

所以，得，

所以，

在中，，，，

由余弦定理得

，

所以，

所以当，即时，取得最大值．

故答案为：．

由结合正弦定理可求得，则，设，在中由正弦定理可求得，则，然后在中由余弦定理表示出，再结合正弦函数的性质可求得结果．

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．

17.【答案】解：由频率分布直方图可知的频数为人，

所以在区间中应抽取人．

由频率分布直方图可知平均数为：

，

又，，

所以中位数位于之间，

设中位数为，则，解得，

故中位数为．

【解析】首先求出中的频数，按照分层抽样计数可得；

根据频率分布直方图中平均数与中位数计算规则计算可得．

本题主要考查频率分布直方图，平均数、中位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

18.【答案】解：

，

最小正周期；

令，，得，

所以函数的单调递增区间是，；

，

令，得，

令，如图，画出函数的图象，

若在区间上有两个不同的零点，则与的图象，有个不同的交点，即可，

得

所以实数的取值范围是．

【解析】首先化简函数，再根据三角函数的性质判断周期和单调递增区间；

将方程转化为，再结合函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可求解．

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．

19.【答案】解：连接，设，连接，

因为平面，平面，平面平面，

所以，又底面为矩形，所以为的中点，

所以为的中点．

因为平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，即，

又，所以，则，

由平面，平面，所以，

所以在中，

所以．

【解析】连接，设，连接，根据线面平行的性质得到，即可证明；

首先证明平面，则为直线与平面所成的角，再求出，最后根据计算可得．

本题考查线面平行的性质定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．

20.【答案】解：证明：因为，

所以，

所以，

所以，

因为为锐角三角形，

所以，

所以，

所以，

因为为锐角三角形，

所以，

所以，

所以；

因为，，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

，

，

，

，

因为，所以，

所以，

所以，

所以当时，取得最大值．

【解析】利用三角函数恒等变换公式对已知式子化简变形可证得结论；

由已知条件结合正弦定理可得，，从而可得，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得结果．

本题考查解三角形相关知识，属于中档题．

21.【答案】解：证明：翻折前，、分别是、的中点，则，

，，

为等边三角形，所以，，

且，，

翻折后，取的中点，连接、，如下图所示：

由题意可知，是边长为的等边三角形，

为的中点，所以，，且，

，，，

由余弦定理可得，