导数与函数之放缩技巧

导数与函数之放缩技巧本讲将讲解放缩法的认识、原理、方法和应用。其中，指数和对数的放缩是常用的方法，如ex≥x+1，1-≤lnx≤x-1等。下面将通过例题来说明放缩法的应用。例1：已知函数f(x)=aex-lnx-1。证明：当a≥e时，f(x)≥0。解析：考虑ex≥x+1，lnx≤x-1的放缩方法，得到f(x)≥ex-1-lnx-1≥x-(x-1)-1=0。因为a≥e，所以结论成立。例2：已知f(x)=a(x-lnx)+2x-1,a∈R。证明：当a=1时，f(x)>f'(x)对任意x∈[1,2]恒成立。解析：考虑将f(x)分解成两个函数的和，分别求最小值，相加即可。同时，利用lnx≤x-1的放缩方法，将g(x)=x-lnx+2/(3x^2)放缩为g(x)≥x-(x-1)+2/(3x^2)-3/2(x-1)^2。然后证明6x^2+2x-4-3x^3≥0，即可得到g(x)的最小值，从而得到结论。例3：已知f(x)=ex^2-xlnx。证明：f(x)<xex+1。解析：考虑将f(x)转化为g(x)=ex+lnx-ex-1的形式，然后利用ex-ex≥1和lnx≥1-x/ex的放缩方法，得到g(x)>1+x/ex-x/ex-1=x/ex+x-1>0，即f(x)<xex+1。例4：已知f(x)=ax-lnx-1。证明：当a≤1/e时，f(x)≤0。解析：考虑ex≥ex-1和lnx≤x-1的放缩方法，得到f(x)≤ex-lnx-1≤x-(x-1)-1=0。因为a≤1/e，所以结论成立。综上所述，放缩法是一种常用的证明方法，可以通过合理的放缩方法，将复杂的问题简化为易于处理的形式，从而得到结论。(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围。解：首先证明当a≥1时，f(x)≥0恒成立。当a≥1时，f(x)≥x-lnx-1≥x-(x-1)-1=0接着证明当a<1时，f(x)不恒成立。当a<1时，f(1)=a-1<0，故f(x)不恒成立。综上可得a≥1。(2)证明：x+lnx-1≥2√x-1。证明：利用lnx≤x-1可得：x+lnx-1≥x+x-1-1=2x-2≥2√x-1例5：已知函数f(x)=x-ax-lnx，若对任意x>0，都有f(x)≥0恒成立，求a的范围。解：利用lnx≤x-1可得：-lnx≥1-xe-x≥x/e-lnx-1≥-1-xe-x/(x+1)≥1/e将上述两个不等式相加可得：e-x/(x+1)-lnx-1≥0即f(x)=x-ax-lnx≥x-ax-(e-x/(x+1)-1)≥x-ax-1≥0当a≤1时，f(x)=x-ax-lnx≥x-x-1=1不恒成立。综上可得a>1。参考练习：1.若f(x)=lnx-2x+2，a>0，若f(x)≥-ax^2+ax在x∈[1,e]恒成立，求a的取值范围。2.x≥1时，a(x-1)^2+lnx-x+1≤0恒成立，求a取值范围。3.若x≥1时，f(x)=aln(x+1)+1/(x+1)+2x-1≥0恒成立，求a取值范围。二．三角函数的放缩常见三角函数的放缩：(1)sinx≤1，cosx≤1(2)x∈(0,π/2)时，sinx<x<tanx例6：已知f(x)=sinx+ln(x+1)，当x≥0时，f(x)-ax≤0恒成立，求a的取值范围。解：显然a≥2，证明如下：当a≥2时，f(x)-ax=sinx+ln(x+1)-ax≤x+x-ax=(2-a)x≤0当a<2时，令h(x)=sinx+ln(x+1)-ax，则h(0)=0，h'(0)=2-a>0则h(x)≤0不恒成立。综上可得a≥2。参考练习4：4.若x∈[0,π/2]时，f(x)=x+sinx-axcosx≥0恒成立，求a的取值范围。三．其它类型放缩：例7：设λ>0，若对任意x>0，都有e^λx-lnx/λ≥0恒成立。求λ取值范围。解：令f(x)=e^λx-lnx/λ。考虑：e^x≥e^0=1，lnx≤x。得：e^λx≥λx-lnx/λ≥-1将上述两个不等式相加可得：f(x)=e^λx-lnx/λ≥λx-x/λ-1当λ≥1时，f(x)≥0恒成立。参考练习：5.若x∈[0,π/2]时，f(x)=cosx/(1+sinx)+2sinx/(1+cosx)≤2恒成立，求证：x∈[0,π/2]时，tanx≤2。设$f(x)=ax^2-a-\lnx$，求$a$的取值范围，使得$f(x)>-\frac{1}{e^{1-x}}$在$x>1$时恒成立。首先，我们求出$f(x)$的导数和二阶导数：$$f'(x)=2ax-\frac{1}{x}$$$$f''(x)=2a+\frac{1}{x^2}$$对于$x>1$，有$f'(x)>0$，即$f(x)$在$x>1$时单调递增。因此，我们只需要考虑$f(x)$在$x=1$处的取值。由于$f(1)=-a<0$，因此我们需要使$f(x)$在$x=1$处的切线方程$y=f(1)+f'(1)(x-1)$下方，即$f(x)>f(1)+f'(1)(x-1)-\frac{1}{e^{1-x}}$在$x>1$时恒成立。将$x=1$代入上式，得到$f(1)+f'(1)(x-1)-\frac{1}{e^{1-x}}=-a+2a-\frac{1}{e^0}=a-\frac{1}{e}$。因此，我们需要使$a-\frac{1}{e}<0$，即$a<\frac{1}{e}$。综上所述，$a\in(0,\frac{1}{e})$。2.当$x\geq1$时，$g(x)=a(x-1)^2+\lnx-x+1$，求$a$取值范围。令$g(x)=a(x-1)^2+\lnx-x+1$，当$a\leq0$时，$g(x)=a(x-1)^2+\lnx-x+1\leq\lnx-x+1\leqx-1-x+1=0$。当$a>0$时，$g(x)=a(x-1)^2+\lnx-x+1\geqa(x-1)^2+(1-a)\lnx-x+1=(x-1)^2\cdot\frac{a}{x-1}+(1-a)\lnx-x+1$。因为$\frac{a}{x-1}>0$，所以在$(1,+\infty)$必存在$x$，使得$x>1$，即$a(x-1)>\frac{1}{x-1}$。当$a>1$时，$g(x)\geq(x-1)^2\cdot\frac{a}{x-1}+(1-a)\lnx-x+1>\frac{(x-1)^2}{x-1}+(1-a)\lnx-x+1=x-1+(1-a)\lnx-x+1=(1-a)\lnx>0$，即$g(x)\leq0$不恒成立。综上可得$a\leq0$或$a\in(0,1]$。3.若$x\geq1$时，$f(x)=a\ln(x+1)+\frac{1}{x}+2x-1\geq0$，求$a$取值范围。利用放缩：$1-\frac{1}{x}\leq\lnx\leqx-1$，得到$1\leq\ln(x+1)\leqx$。当$a\geq-1$时，$f(x)=a\ln(x+1)+\frac{1}{x}+2x-1\geq-a\ln(x+1)-\frac{1}{x}-2x+1\geq-a(x+1)-\frac{1}{x}-2x+1=-ax-\frac{1}{x}-x+1$。当$x\in(0,1)$时，$-ax-\frac{1}{x}-x+1<0$，所以只需考虑$x\geq1$的情况。此时，$f(x)\geq-a(x+1)-\frac{1}{x}-2x+1\geq-(a+2)x-1+\frac{1}{x}$。因为$x\geq1$，所以$\frac{1}{x}\leq1$，所以$-(a+2)x-1+\frac{1}{x}\geq-(a+3)x-1$。当$a\geq-3$时，$f(x)\geq-(a+3)x-1\geq0$，即$f(x)$恒成立。当$a<-3$时，$f(x)\geq-(a+3)x-1>0$，即$f(x)$不恒成立。综上可得$a\geq-1$。4.若$x\in[0,\frac{\pi}{6}]$时，$f(x)=x+\sinx-a\cosx\geq0$，求$a$取值范围。当$a\leq2$时，$f(x)=x+\s