2021届全国高考数学考前保温热身试卷(九)附答案解析

2021届全国高考数学考前保温热身试卷（九）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知全集u=R,A={x\x<0},B={x\x>-1),则集合Q(4nB)=()

A.{x|-1<%<0]B.{x|-1<%<0]

C.[x\x<-1或%>0]D.{x\x<-1或》>0}

2.若iz=(1—i)(l+i),则z=()

A.2iB.0C.—iD.-2i

3.若％,a=x3,b=(|)x,c=logix,则。，b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

4.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在

第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）

A.16种B.18种C.24种D.36种

「，一工

5.将正弦曲线y=s讥x经过伸缩变换*=5”后得到曲线的方程的周期为（）

（y=3y

A./B.zrC.27rD.37r

6.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩.老师说：你们四人中有两位优秀、

两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩.看后乙对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，贝M）

A.甲可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.甲、丁可以知道对方的成绩D.甲、丁可以知道自己的成绩

7.空间四边形4BC。中，M,N分别是AB和CC的中点，AD=BC=6,MN=3垃,则4。和BC所

成的角是（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

8.设函数丫=25讥（2%-9（4>0,3>0）的图象为（；，下面结论中正确的是（）

A.函数/（%）的最小正周期是2兀

B.图象C关于点©,0）对称

C.图象C向右平移;个单位后关于原点对称

D.函数/(x)在区间(一上是增函数

二、多选题(本大题共3小题，共15.0分)

9.已知双曲线C：1缶>0/>0)与双曲线0：5―3=1有相同的渐近线，且过点

P(6,4V3)，Fi，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有()

A.若双曲线C上一点M到它的焦点0的距离等于16,则点M到另一个焦点片的距离为1。

B.若N是双曲线C左支上的点，且|N&|・|NF2|=32,则A&NF2的面积为16

C.过点(3,0)的直线［与双曲线C有唯一公共点，则直线/的方程为4%-3y-12=0或4x+3y-

12=0

22

D.过点Q(2,2)的直线与双曲线」一一丹=1相交于4,B两点，且Q(2,2)为弦4B的中点，则直

线4B的方程为4x—y—6=0

10.已知向量五=(m,3),石=(2,-4),若位+»)1方，则()

A.m=1或m=—3

B.m=-1或?n=3

C.\a+b\=>/2^\a+b\=y/10

D.Ia+/?I=&或Ia.+b\—y/26

11.港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥

隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日

上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间，随

机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在［35,50］内，按通行

时间分为［35,38),［38,41),［41,44),［44,47),［47,50］五组，其中通行时间在［38,47)的车辆有182

台，频率分布直方图如图所示，则()

A.n=200

B.n=280

C.抽取的车辆中通行时间在［35,38)的车辆有4台

D.抽取的车辆中通行时间在［35,38)的车辆有12台

三、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

12.下面各组函数中为相同函数的是.(填上正确的序号)

®/(X)=J(尤一1)2,g(x)=x-l

②f(x)=x-l,g(t)=t-1

(3)/(x)=Vx2—1>g(x)-yjx+1-Vx—1

(4)/(x)=x,g(x)=?・

13.函数、=25讥(；兀工+8)(9>0)的部分图象如图所示，设p是图象的最高点，A,B是图象与％轴

的交点，则cos乙4PB=.

14.设函数/⑺二产(黄：。，若f(f(a))>0,则a的取值范围为

15.在抛物线/=2py(p>0)上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5,贝切=.

16.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面已

半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是cm.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2QCOS(TT+C)+2b=c.

(1)求角4的大小；

(2)若的(学一。)+25讥(兀-8)=0,且a=V5,试判断△4BC的形状，并说明理由.

已知数列｛｝的首项％.=|,册+言，，

18.an1=m=12,

(I)证明：数列｛9—1｝是等比数列;

an

(口)求数列｛7｝的前《项和.

19.对甲，乙两名运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，

做出甲的得分频率分布直方图如图，列出乙的得分统计表如下:

分值[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)

场数10204030

(1)估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率

(2)判断甲，乙两名运动员哪个成绩更稳定；(结论不要求证明)

(3)在乙所进行的100场比赛中，按表格中个分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛,

再从这10场比赛中随机选出2场进一步分析，记这2场比赛中得分不低于10分的场数为求f的

分布列和数学期望.

20.如图，四棱锥P-4BCD中，底面ABCD为平行四边形，LDAB=60°,AB=2AD,M为4B的中

点，△PAD为等边

三角形，且平面P4D1•平面ABCD.

(/)证明：PMJLBC；

(口)求二面角。-BC-P的余弦值.

21.以椭圆C；\+^=l(a>b>0)的中心。为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已

知椭圆的离心率为当，抛物线/=8y的准线过此椭圆的一个顶点.

(I)求椭圆C及其“伴随”的方程；

(II)斜率为1的直线沉经过抛物线久2=8y的焦点F,且与抛物线交于M,N两点，求线段MN的长度;

(DI)过点p(o,m)作“伴随”的切线，交椭圆c于a,B两点，若耐•布=|,求切线，的方程.

22.设.成拆砥:=帆@＞蹴一黑-：蹒？.

(1)当£=田寸，意感取到极值，求懒的值；

(2)当就满足什么条件时，典缄在区间上有单调递增的区间.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：T4={x|xW0},B={x\x>-1},

•••nB={x|—1<x<0},

则CudCB)={x\x<-1或x>0},

故选：D.

根据集合的基本运算进行求解即可.

本题主要考查集合关系的应用，比较基础.

2.答案：D

解析：解：：iz=(1-i)(l+i)=2,•,・z='=-2i

故选：D.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题.

3.答案：C

解析：解：：％〉1，•••一>1,0<<(1)0=1,logix<logil=0,

­•c<b<a.

故选：C.

根据x>l即可得出％3>1,0<(|尸<1［。9/<0,从而可得出a,b,c的大小关系.

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.

4.答案：B

解析：解：由题意如，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，

故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有用“=18种.

故选：B.

由题意知，甲丙的位置固定，节目乙不能排在第一位，先排乙，再排剩余，然后根据分步计数原理

得到结果.

本题主要考查排列组合基础知识，考查分步计数原理，特殊元素优先安排的原则，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：•.・「'=),

=3y

(x—2xr

••)irf

:.|yz=sin2x',即y'=3sin2x',

••.变换后的曲线周期为等=限

故选：B.

根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出.

本题考查了坐标系的伸缩变换，三角函数的周期，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：由乙不知道自己的成绩可知：甲和丙只能一个是优秀，一个是良好；乙和丁也是一个优

秀一个良好，

当甲知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道乙丁的成绩，

丁知道乙的成绩后，能够知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丙的成绩.但是丁不知道甲丙的成绩，

综上所述，甲，丁可以知道自己的成绩.

故选：D.

根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而乙知道甲、丙的成绩后仍无法得知

自己的成绩，故甲和丙只能一个是优秀，一个是良好；然后进行推理即可

本题考查了简单的合情推理，属于基础题.

7.答案：B

解析：解：如图所示：取的中点G,连接GM,GN,空间四边形/BCD中，AD=BC=6,M、N分

别是4B、CO的中点，

故MG是三角形48。的中位线，GN是三角形CBD的中位线，

故4MGN(或其补角)即为力。与BC所成的角.

△MGN中，MN=3®MG=NG=3,

MG2+NG2=18=MN2,

：.4MGN=90°.

故选B.

8.答案：B

解析：解：•.•函数y=2s讥(2x-今(4>0,3>0)的图象为酊

故函数的最小正周期为学=兀，故A错误；

令％=也求得f(x)=O,可得图象C关于点。,0)对称，故B正确；

图象C向右平移三个单位后，得到y=2sin(2x一兀一9=-2sin(2x-$的图象，

显然，所得图象不关于原点对称，故C错误；

当xe区间(一巳》216(一„),函数在区间(一看本)上不是增函数,故。错误，

故选：B.

由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=Asin(3x+w)的图象与性质以及正弦函数的图象和性质，属于中档题.

9.答案：BD

解析：解：由题意可知，设双曲线C的标准方程为立-竺=k(k>0),

将点P(6,4g)代入双曲线方程，可得k=也

故双曲线C的方程为百一乃=1,

916

所以a-3,b=4,c=5.

对于选项4由双曲线的定义可知，HAfFJ-\MF2\\=2a,即|16-|MBI|=6,

解得IMF21=10或IM/y=22,

故选项A错误；

对于选项B,若N是双曲线C左支上的点，则|NFz|-|N0|=6,

2

所以INF】/-2\NF^\■\NF2\+\NF2\=36,

又|NFJL=32,

2

所以|NF/2+\NF2\=36+2X32=100,

2

又IF1F2I=10.所以|NF/2+\NF2\=内尸2『=100,

故△&NF2为直角三角形，

所以='NF/•INF2I=：X32=16,

故选项8正确；

对于选项C,因为(3,0)为双曲线C的右顶点，

当过点(3,0)的直线，与双曲线C相切时，直线，与双曲线C有唯一的公共点，此时，的方程为x=3；

当直线［与双曲线C的渐近线平行时，直线2与双曲线C有唯一公共点，此时直线I的斜率为土，

故直线［的方程为y=±5(X-3),即4x—3y—12=。或4x+3y-12=0.

综上所述，直线，的方程为％=3或4x-3y-12=0或4x+3y-12=0.

故选项C错误；

2222

对于选项。，由题意，双曲线------—=1即为^—=1,

。2-7匕2-828

设砥卬月)，B(x,y),则苧一q=i，学一4=1，

22ZOZo

两式相减可得，生遐一/二理=0,即a*出包一型口亚3=0,

2828

因为Q(2,2)为弦4B的中点，

所以XI+》2=4,yi+y2=4,且直线4B的斜率存在，

故旧-&)、4_Ji-")X4_0

所以直线4B的斜率k=手资=4,

xl~x2

故直线AB的方程为y-2=4(%-2),即4x-y-6=0,

故选项。正确.

故选：BD.

先求出双曲线C的标准方程，利用双曲线的定义判断选项4利用双曲线的定义结合勾股定理，可得

△F1NF2为直角三角形，由三角形的面积公式求解，即可判断选项B；分直线斜率不存在和直线与双

曲线的渐近线平行两种情况，分别求解直线，的方程，即可判断选项G利用“点差法”求出直线48

的斜率，由点斜式求出直线4B的方程，即可判断选项D.

本题以命题的真假判断为载体，考查了双曲线的定义的应用，几何性质的应用，直线与双曲线位置

关系的运用，“点差法”的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

10.答案:AC

解析：解：根据题意，向量五=(?n,3),B=(2,—4),则乞+3=(m+2,—1)，

若@+K)1a>则有+2)+(―1)x3=m2+2m—3=0,

解可得：？n=l或一3,故A正确，B错误；

当m=l时，a+b=(3,-1)>贝！1|曰+5|=历万=/16

当m=-3时，a+b=(-1,-1)-则|苍+B|=Vm=夜，

故|方+B|=VI或同，故C正确，力错误，

故选：AC.

根据题意，用m表示丘+石的坐标，由向量垂直的判断方法可得若0+K)la)则有加(僧+2)+(-1)x

3=m2+2m-3=0,解可得m的值，即可得W+3的坐标，求出|五+刈的值，即可得答案.

本题考查向量垂直的判断，涉及向量模和向量坐标计算，属于基础题.

11.答案：AD

解析：

本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

由频率分布直方图得通行时间在［38,47)对应的频率为0.91,再由通行时间在［38,47)的车辆有182台,

能求出小山通行时间在［35,38)的频率为0.06,能求出抽取的车辆中通行时间在［35,38)的车辆数.

解：由频率分布直方图得：

通行时间在［38,47)对应的频率为：1-(0.01+0.02)x3=0.91,

♦.•通行时间在［38,47)的车辆有182台，

n==200,故A正确，B错误；

通行时间在［35,38)的频率为0.02x3=0.06,

•••抽取的车辆中通行时间在［35,38)的车辆有：0.06x200=12台，故C错误，。正确.

故选：AD.

12.答案：②

解析：解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，

即：定义域，对应法则和值域,

①中两个函数f(x)=|x-1|,g(x)=x-1的对应法则不同，

②中两个函数的定义域和对应法则都相同，值域也相同，

③中两个函数的定义域分别为：刀式一1或％21；或两个函数的定义域不同，

2

④中，/(x)=X的定义域是R，9(久)=亍的定义域是{x|x羊0},所以不是同一个函数；

故答案为：②

要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域.

本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注

意要从三个方面来分析.

13・答案：f

解析：解：由题意作PNJ.X轴于N,由函数的解析式可知:

A=2即PN=2,

设乙4PN=a,4NPB=B，

因为函数的周期T=4B=e=4,所以4V=1,NB=3,

2

13

所以=tanp=

tana+tanp_5+3

所以tan乙4PB=tan(a+3)=

1-tanatanpi-lx1

所以cos2乙4PB=1----1-=一1,

1+taM乙4PB----1+64-----65

°J解得：COS乙4PB=—.

65

故答案为：叵.

65

利用函数的解析式求出4通过函数的周期求出AB,然后利用两角和的正切函数求tan乙4PB,再由

COS2Z^APB=石m而即可求cos乙4PB的值.

本题考查三角函数的解析式的应用，两角和的正切函数的应用，

考查分析问题解决问题的能力，考查了同角三角函数关系式的应

用，属于中档题.

14.答案：a>1

解析：解：设t=f(a),

则不等式等价为/«)>0,

当t>0时，f(t)=-t2>0不成立，

当t<0时，，由/(t)>0得户+t>0,

得t>0(舍)或t<-1,

即不等式f(f(a))>0等价为/(a)=t<-l,

若a>0时，/(a)=-a2<-1,得a2>1得a>1或a<-1(舍)，

当a<0时，由f(a)=t<—1得a2+a<-1,

得a2+a+l<0,此时判别式△=1-4=—3<0,即不等式无解，

综上实数a的取值范围是a>1,

故答案为：a>l.

设t=/(a),利用换元法转化为/(t)>0,然后求出t的范围，再次求解不等式即可.

本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的表达式，利用换元法是解决本题的关键.考查学生的

换元思想.

15.答案6

解析：解：•••抛物线/=2py(p>0)上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距离为5,

2+巳=5,

2

.・・p=6.

故答案为6.

利用抛物线的定义，转化求解即可.

本题考查抛物线简单性质的应用，是基础题.

16.答案：4

解析：设球的半径为r,

4

则6r-itr2=8?rr2+3X—TTr3=^>6r-nr2=8TTr2+4TIr3^^>6r=8+4r=

3

4(cm).

17.答案：(本题满分12分)

解：(1)在△ABC中，由2acos(7r+C)+2b=c,

可得：-2acosC+2b=c.即：_2以>叱~：)+2b=c,

化简得匕2+c2-a2=be,即：cosA=

又因为：Ae(0,TT),

所以：4=家.・・6分

（2）△力BC的形状为直角三角形，理由如下：

由cos（羊—C）+2sin（n—B）=0,得—si"+2sinB=0,即c=2b,

22

又由余弦定理Q2=b+c-2bccosA9

222

将Q=V5，c=2b代入，可得：3=h4-4b—2bf

解得b=1,c=2,即Q24-ft2=C2,

即△ABC的形状为直角三角形，得证.…12分

解析：（1）利用诱导公式，余弦定理化简已知可求cosa=；,结合范围2€（0,兀），可求A的值.

（2）利用诱导公式，正弦定理化简等式可得c=2b,又由余弦定理可求b,c的值，再由勾股定理即可

判断△ABC的形状.

本题主要考查了诱导公式，余弦定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化

思想的应用，属于基础题.

18.答案：解：（I）由已知：M+i=岩，

1a+l1.11

•'=n-.=_+-•^―

a

n+i20n22an

又=I.

二数列｛《-1｝是以;为首项，;为公比的等比数列.

Unzz

（口）由（I淡哈-1=1C）"T=费,

昵=»1，♦•哈♦+&

设%=3+专+9+…+羡①

则九=蠢+晟+…+•+嘉’②

由①一②得：=#费+…+*一号一品=1一专一号'

2

•••7；=2—/一/又1+2+3+,“+凡=审.

,数歹%｝的前几项和：Sn=2—雷+也罗=的户一答+崇一募=?宇一赢=1—/一

n

2n+1

解析：（1）化简厮+1=若构造新的数列｛2一1｝,进而证明数歹此9—1｝是等比数列.

（2）根据（1）求出数歹U｛《-1｝的递推公式，得出即，进而构造数列｛；｝,求出数列｛；｝的通项公式，进

而求出前n项和治.

此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前几项和的方法.

19.答案：解：（1）由甲的得分频率分布直方图知：

甲在一场比赛中得分不低于20分的概率p=0.048x10+0.024x10=0.72....（2分）.

（2）观察甲的得分频率分布直方图和乙的得分统计表，

得到甲的成绩更稳定.…（5分）

（HI）按照分层抽样法，在[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）

内抽出的比赛场数分别为1,2,4,3,...（6分）

X的取值为0,1,2,...（7分）

。6=。）=寻=卜“（9分）

P（f=l）=等=看，…（10分）

Lio

P（f=2）=旨=*...（11分）

・•・X的分布列为：

X012

771

P

151515

...（13分）

解析：（1）由甲的得分频率分布直方图能求出甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.

（2）观察甲的得分频率分布直方图和乙的得分统计表，得到甲的成绩更稳定.

（2）由题意知X的取值为0,1,2,分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列.

本题考查频率分布直方图和频率分布统计表的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求

法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.

20.答案：(/)证明：取AD中点为0,连结P。、0M、DM,T

由已知得P。平面4BCD,二PO1BC,

/.DAB=90°,AB=2AD,/I_

•••△4DM是正三角形，

•••OMLAD,二OM_LBC,；.BC_L平面POM,•••PMA.BC-,J'、、

X,v

(H)解：以。为坐标原点，分别以射线。4方向、OM方向、OP

方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，

设4。=2,则。P=百，BD=2V3,贝加(0,0,b)，B(-1,2A/3,0).C(-3,2A/3,0),

APB=(-1.2A-V3)，BC=(-2,0,0).

・•・平面DBC的法向量为元=(0,0,1),

设平面PBC的法向量为布=(x,y,z),

由［沅•竺=0得］一4+275y—V3z=0

Im-BC=0l-2x=0

取y=1，得记=(0,1,2),

__>一、mn22Vs

・•・cos<m,n>=——=］——=—»

|m||n|Vl+225

.•・二面角。-BC-P的余弦值为述.

5

解析：(/)取4。中点为。，连结P。、OM、DM,通过计算可得△4DM是正三角形，利用线面垂直的

判定定理即得结论；

(II)以。为坐标原点，分别以射线。4方向、OM方向、OP方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则

所求值即为平面DBC的法向量与平面P8C的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可.

本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，线线垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力，

注意解题方法的积累，属于中档题.

21.答案:解:(I)椭圆C的离心率为e=工3,即3a2=牝2,

a2

由小=炉+c2f则小=4b2,

设椭圆C的方程为马+圣=1,.・.(1分)

抛物线/=8y的准线方程为y=-2,它与y轴的交点(0,—2)是椭圆的一个顶点，

故a=2,

・•.b=1,...(2分)

，椭圆C的标准方程为t+%2=1,

4

椭圆C的“伴随”方程为M+y2=L...(3分)

(II)由抛物线/=8y焦点在(0,2),设直线m的斜率y=x+2,则时(右,则)，W(x4,y4),

北2二=".2,整理得：y2-12y+4=0,

由韦达定理可知：为+、4=12,%3+%4=8,

由抛物线的焦点弦公式可知：|MN|=%+y4+P=16;.・.(6分)

(HI)由题意知，|m|>1.

易知切线］的斜率存在，设切线，的方程为y=k％+加，

y=kx+m

*+%2_］，得(N+4)x2+2kmx+m2-4=0...(7分)

{4

设a,B两点的坐标分别为(/,力),(%2而，

则/+x2=-记7，x1-x2=再z....(8分)

又由，与圆/+y2=1相切，

.•.黑=1,即/=62一1.(9分)

vfcz+l

2222

月,72=(kX［+m)(/cx2+m)=kxx-x2+km{xr+x2)+m=k-+km(-+m=

4(>2―卜2)

H+4'

又小2一卜2=i,

4

•・•%”=引

于是Xl巾2+%、2=法