不确定度与数据处理

.不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差 x=x-A公认值—如物理常数等其中A称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：标准值—更高精度仪器测量结果理论值—理论公式计算结果对一个测量过程，真值A的最佳估计值是平均值x。在上述误差公式中，由于A不可知，显然x也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u(x)。（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。不确定度分为 A、B两个分量，其中 A类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。定量描述随机误差的物理量叫标准差。（1）标准差与标准偏差标准差lim(xiA)2kk∵真值A不可知，且测量次数 k为有限次 ∴ 实际上也不可知，于是：用标准偏差S代替标准差(xix)2：S(x)——单次测量的标准偏差k1结果表述：xS(x)（置信概率68.3%）i真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S(x)的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。 （并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为：S(x)（置信概率68.3%）真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中S(x)(xix)2——平均值的标准偏差k(k1)例1：某观察量的n次独立测量的结果是X1,X2,,Xn。试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的S(X)。1，即S(X)nn解：Xi由题知Xi相互独立，则根据方差合成公式有u2(X1)u2(Xn)Xu(X)nn利用样本标准偏差的定义，可知u(Xi)=S(X)i=1,2,,n故S2(X)S2(X)nS2(X)S(X)u(X)S(X)nnn3．系统误差与仪器误差（限）1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的取值范围。在物理实验中，对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。Word文档.2）仪器误差（限）：由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过适当简化称为仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和（作用在仪器上的）被测真值之间可能产生的最大误差。常用仪器的仪器误差（限） ：①长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其最小分度的1/2计算。②指针式仪表：仪＝a%Nm式中Nm是电表的量程，a是准确度等级。数字仪表：△＝a%Nx+b%Nm或△＝a%N+n字仪仪x式中a是数字式电表的准确度等级，N是显示的读数，b是误差的绝对项系数，Nm是仪表的满度值，n代表仪器固定项x误差，相当于最小量化单位的倍数。R0③电阻箱：仪＝ai%Rii式中R0是残余电阻，Ri是第i个度盘的示值，ai是相应电阻度盘的准确度级别。④直流电位差计：△仪＝a%(UxU0)10式中a是电位差计的准确度级别，Ux是标度盘示值，U0是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的10的整数幂。直流电桥：△仪＝a%(RxR0)10式中Rx是电桥标度盘示值，a是电桥的准确度级别，R0是有效量程的基准值，意义同上。（3）B类不确定度的处理在物理实验中，B类不确定度的来源通常包括以下三种：仪器误差仪、灵敏度误差灵和估计误差限估。其中灵敏度误差可表示为0.20.2。灵n/SxB类不确定度与各种误差限之间的关系为 ub 。34．不确定度的合成（1）直接测量 x：ua(x)，ub(x)则u(x)ua2(x)ub2(x)（称为合成不确定度）（2）间接测量y=(,x,,x)其中x,x,,x为相互独立的直接测量量112n2n则u(y)(f)2u2(xi)或u(y)(lnf)2u2(xi)ixiyixi（3）最终结果表述形式：()=（单位）NuN结果有效数字的确定原则：①不确定度u(N)只保留一位有效数字；②测量结果N与不确定度u(N)小数位数对齐。A例2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为nsin2。已测得A''，黄光（汞灯光源）所对应的'=602=5058sinA023'，则黄光所对应的折射率nu(n)=1.64790.0007。sinA2sin6005058AA解：n21.6479lnnlnsinA6002lnsinsinsin222dncosA(1dA1d)cosA1dA1AA1A22222)dActgdnAA(ctg2ctg22sin222sin2u(n)1(ctgActgA)2u2(A)1ctg2A2u2()n42241(ctg6005058ctg600)2(2180)21ctg26005058(3180)20.000426422604260Word文档.u(n)nu(n)1.64790.0004260.0007∴nu(n)=1.64790.0007n5．有效数字及其运算法则（1） 有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。在不计算不确定度的情况下，结果的有效数字由运算法则决定。2）运算法则①加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。N=A+B-C-D，则 u(N) u2(A)u2(B)u2(C)u2(D)取决于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位数最高者，最后结果与之对齐。②乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。NAB，则2222u(N)u(A)u(B)u(C)u(D)CDNABCD取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。③混合四则运算按以上原则按部就班执行。例3：某物理量的计算公式为Yk，其中k为常数，1.6为准确数，H≈16cm，d=0.1500cm。若使Y1.6d/H1的表示式中分母的值具有4位有效数字，正确测H的方法是（d）。(a)用游标卡尺估读到cm千分位(b)用米尺估读到cm百分位(c)用米尺只读到mm位(d)用米尺只读到cm位1.6d1.60.1500分母11.6d解：0.0151.015为4位有效数字H16H即H只需2位有效数字即可，故应选(d)。④特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通过微分关系传播处理。例4：tg452'=1.00116423最多可取几位有效数字？解：令y=tgx，其中x=452'取x110.00029(rad)60180则y110.000290.00058即小数点后第四位产生误差x45cos2xcos22tg452'=1.0012，有五位有效数字。例5：双棱镜测波长的计算公式为xbb，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。SSx=0.28144mmb=5.9325mmb'=0.7855mmS=27.65cmS'=75.90cm-4m(b)/b=0.025(b')/b'=0.025(S)=0.5cm(S')=0.5cmu(x)=2.01010(b)=0.005m(b')=0.005m(S')=0.05cmm(S)=0.05cmmm注：下标1代表来自方法误差，下标2代表来自仪器误差。要求：（1）给出测量结果的正确表述（包括必要的计算公式）。2）定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何？解：（1）xbb0.281445.93250.78555.86716104mmSS(276.5759.0)Word文档.lnlnx1lnb1lnbln(SS)dd(x)dbdbdSdS22x2b2bSSSSu()u(22u(b)222x)u(b)u(S)u(S)0.0111x2b2bSSSS其中u(x)2.0101040.000714；x0.28144u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u(b)u1(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.0002432b2b2b2b2b25.93253u1(b)1(b)/311(b)0.0250.007222222b2b23b23u1(b)u(b)u2(b)u2(b)2(b)/30.0050.001842b2b2b2b2b20.78553u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3u1(S)1(S)/30.50.00279222SSSS(27.6575.90)3u(S)u1(S)u2(S)u2(S)2(S)/30.050.000279SSSSSSSSSS(27.6575.90)3于是得u()=u()5.867161040.0111=6.5310-6mmu()=5877nm（2）由前面的计算可知，不确定度主要来自u1(b)和u1(b)，次要因素是u2(b)、u1(S)和u1(S)，可以忽略的因u(x)u2(b)u2(S)u2(S)2b2b2bSSSS、。素是、S和SSx2bSu()22(b)若只考虑主要项的贡献：u1(b)u1(b)12b2b0.01026b则有u()=6nmu()=5876nm比严格计算的结果稍小但相差无几。二、数据处理方法1．列表法：按一定规律把数据列成表格。列表原则：1）表格的标题栏中注明物理量的名称、符号和单位；2）记录原始数据（如记录刻度数，而不是记录长度）；3）简单处理结果（如算出长度）或函数关系；（4）参数和说明（如表格名称、仪器规格、环境参数、常量以及公用单位等） 。2．作图法：把实验数据用自变量和因变量的关系作成曲线，以便反映它们之间的变化规律或函数关系。作图要点：（1）原始数据列表表示——见列表法；（2）用坐标纸作图，图纸大小以不损失有效数字和能包括所有点为最低要求，因此至少应保证坐标纸的最小分格（通常为1mm）以下的估计位与实验数据中最后一位数字对应；（3）选好坐标轴并标明有关物理量的名称（或符号）、单位和坐标分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10Word文档.较好，以便于换算和描点；（4）实验数据点以+、×、、、△等符号标出，一般不用细圆点“·”标示实验点；光滑连接曲线并使实验点匀称地分布于曲线两侧（起平均的作用）；（5）图解法求直线斜率和截距时，应：在线上取点（不能使用实验点）；所取两点要相距足够远（以提高精度）；在图上要注明所取点的坐标。24.26例6：拉伸法测弹性模量的载荷——伸长曲线如图所示，图上至少有5处绘制错误或23.64不规范。它们是坐标轴应标注物理量和单位，轴上缺少分度值，实验点应以醒目标记标出，曲线应光滑连接，计算点坐标标注不规范。1.442.163．最小二乘法与一元线性回归法1）最小二乘法：对等精密度测量若存在一条最佳的拟合曲线，那么各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值。例7：试用最小二乘原理推导直线方程y=kx中回归系数k的计算公式。nkxi)2解：根据最小二乘原理应有(yimini1nnnn即(yikxi)202(yikxi)(xi)0xiyikxi20ki1i1i1i1于是得kxiyixyxi2x2（2）一元线性回归法： 设直线方程 y=a+bx，其中自变量 x的误差可略k由最小二乘原理，应有i[yi(a1k(abxi)]2kai[yi0i2[yi11即kk(abxi)]2bi[yi02[yi1i1xiyikxiyibkxi2解之得(xi)2xiyixiyiyxi2ax)2kx2(ii

bxi)]2minkk(abxi)](1)0akbxiyii1i1(abx)](x)0kxkx2kyiabxiiii111ixyxyx2x2ybx（3）相关系数r：用于检验x和y之间是否存在线性关系。rxyxy(x2x2)(y2y2)Word文档.r1通过全部实验点yabxr1xi、yi之间线性相关强烈r物理意义r0yi随xi增加而增加r0yi随xi增加而减小r0xi、yi之间无线性关系拟合直线为与x轴平行的直线例8：根据所给相关系数r作出实验点分布草图：①=-1②r=0.9993③=0.015rryyyx x x（4）回归法使用要点：①自变量x测量误差可略，即应选择测量精度较高的物理量作自变量；②因变量y为等精度测量或近似等精度测量，即 u(yi)近似相等；③作线性关系的检验 ：利用物理规律或作图等其它方法确认线性关系的存在；或检验相关系数是否满足 |r|1。例9：实验线路及测量数据如下，用一元线性回归法计算电压表内阻R（写出计算公式即可）。VERRVR()20.050.0100.0200.0300.0400.0V(V)2.802.722.602.382.202.04V解：根据线路图可得EVRRVERVRRVRVVu(R)~0.1，0.10.005，1R20.0400.00.00025精度：可知R的精度较高计算R、u(1/V)u(V)0.01，0.01，V0.00361/VV~2.040.0052.80故将公式变形为11R1令1yRx并设直线方程y=+VERVEVabxa11aRVa则有bERVRV∴bE4．逐差法（1）测量次数为偶数的逐差法设自变量和因变量之间存在线性关系yabx，并有一组实验数据：x1,,xn,xn1,x2ny1,,yk,yn1,；y2n隔n项逐差，可得到byn1y1,,bny2nyn取平均值b1nbi1nyniyi。1xn1x1x2nxnni1ni1xnixi对于自变量x等间隔分布的情况，有xnixinx于是b1n(yniyi)nxin1求得b后，可由公式yiabxi求出ayibxiWord文档.例10：已知R=R(1+t)，实验数据如下，用逐差法求电阻温度系数（不要求计算不确定度）。0t(℃)85.080.075.070.065.060.055.050.0R()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215解：=+Rt并设=+bx则有a=Rb=R=a0000即b而利用逐差法可得：ai1234平均t=ti+4-ti(℃)20.020.020.020.020.0R=R-R()0.02420.02410.02290.02220.02335i+4i于是有bR0.023350.0011675t20.0a1(Rbt)1n(2.73120.0011675540.0)0.26268故b0.00116754.45103（1/℃）0.2626例11：迈克尔逊干涉仪实验数据处理条纹吞吐n0100200300400M2镜位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300条纹吞吐n500600700800900M2镜位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得i12345平均dN=ni+5-ni500500500500500500=Xi+5-X(mm)0.161600.160500.159700.158850.157850.15970500i2d50020.15970u()22u(d500)u(N)N638.8(nm)d500N500ua(d500)(did500)20.000648(mm)ua2(d500)54u(d500)ub2(d500)其中0.00005ub(d500)0.0000289(mm)0.53u(N)0.289ub(N)3220.00064820.2892于是u()u(d500)u(N)2.6(nm)d500638.80.1597025002N故u()=6393(nm)解法二：由逐差法可得i12345平均N'=(ni+5-ni)/5100100100100100100d100=(Xi+5-Xi)/50.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940(mm)Word文档.2d10020.031940u()u(d100)2u(N)2N638.8(nm)d100N100ua(d100)(did100)2u(d100)ua2(d100)ub2(d100)540.000130(mm)其中0.000050.00000577(mm)ub(d100)30.55u(N)ub(N)0.057753220.00013020.05772于是u(u(d100)u(N))d100N638.8210022.6(nm)0.031940故u()=6393(nm)2）测量次数为奇数的逐差法处理原则：去掉中间的数据。例12：重新处理迈克尔逊干涉仪实验数据条纹吞吐n0100200300400M2镜位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300条纹吞吐n5006007008009001000M2镜位置X(mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280解：去掉中间的数据后为条纹吞吐n0100200300400M2镜位置X(mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300条纹吞吐n6007008009001000M2镜位置X(mm)34.6763534.7080034.7394534.7708534.80280由逐差法可得i12345平均N=ni+6-ni600