矩阵理论讲义第四章内积空间

矩阵理论讲义第四章内积空间第1页，课件共63页，创作于2023年2月4.1实内积空间定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，2若

a,b

V,存在唯一的r

R与之对应，记作(a,b

)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0

a

=0则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性第2页，课件共63页，创作于2023年2月3定义内积(内积的离散形式)例.线性空间称为内积空间的标准内积。第3页，课件共63页，创作于2023年2月4定义内积（内积一般形式）A为

n阶实正定矩阵，例.线性空间第4页，课件共63页，创作于2023年2月5定义内积（内积的连续形式）例.线性空间C[a,b]，f,g∈C[a,b]第5页，课件共63页，创作于2023年2月6由定义知（关于第二个元素的线性性质）(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)第6页，课件共63页，创作于2023年2月向量长度,Cauchy-Schwarz不等式定义.

设V为实内积空间，称为向量a的长度，记作||a||。定理.

设V是实内积空间，a,b

V,k

R，则等号成立当且仅当a,b线性相关；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性第7页，课件共63页，创作于2023年2月第8页，课件共63页，创作于2023年2月第9页，课件共63页，创作于2023年2月第10页，课件共63页，创作于2023年2月11例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明第11页，课件共63页，创作于2023年2月向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知第12页，课件共63页，创作于2023年2月向量的正交定义.

设V是实内积空间，a,b

V,若(a,b)=0

,则称a与b正交，记作a

b。a与b正交这就是实内积空间中的勾股定理。第13页，课件共63页，创作于2023年2月第14页，课件共63页，创作于2023年2月15向量a与b在该基下的坐标为第15页，课件共63页，创作于2023年2月16第16页，课件共63页，创作于2023年2月度量矩阵矩阵

A

称为基的度量矩阵。即

A

为实对称矩阵。即

A

为实正定矩阵。第17页，课件共63页，创作于2023年2月定理：设内积空间V的两个基是：它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，即存在可逆矩阵P，使得其中可逆矩阵P是由前组基到后组基的过渡矩阵。第18页，课件共63页，创作于2023年2月4.2标准正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。第19页，课件共63页，创作于2023年2月20且其中每个向量的长度都是1，注意：(1)

标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)

向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即第20页，课件共63页，创作于2023年2月Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程：设是内积空间V中线性无关的向量组，，使得则V中存在正交向量组第21页，课件共63页，创作于2023年2月Gram-Schmidt正交化过程

图解第22页，课件共63页，创作于2023年2月23令是正交向量组，并且则第23页，课件共63页，创作于2023年2月记第24页，课件共63页，创作于2023年2月或注意到K是可逆矩阵，因此第25页，课件共63页，创作于2023年2月是正交向量组下面用归纳法说明由归纳法假设可知是正交向量组。即第26页，课件共63页，创作于2023年2月矩阵A的QR分解推论1：n

维实内积空间V必存在标准正交基。推论2：n

维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V

的一个正交基。推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R使得A=QR

，称为矩阵A的QR分解。第27页，课件共63页，创作于2023年2月28设A为n阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，第28页，课件共63页，创作于2023年2月29第29页，课件共63页，创作于2023年2月30例:求矩阵A的QR分解，第30页，课件共63页，创作于2023年2月第31页，课件共63页，创作于2023年2月第32页，课件共63页，创作于2023年2月第33页，课件共63页，创作于2023年2月第34页，课件共63页，创作于2023年2月4.3正交子空间定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)a

V,若

b

W,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作a

W;(2)若a

W,

b

U,都有(a,b)=0,则称W

与U正交，记作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,则称U

为W的正交补。注意：若W

U，则W与U

的和必是直和。第35页，课件共63页，创作于2023年2月正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且第36页，课件共63页，创作于2023年2月向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，则称向量b为向量a在W上的正投影，称向量长度||g||为向量a到W的距离。WdbOag第37页，课件共63页，创作于2023年2月垂线最短定理定理:设W是实内积空间V的子空间，a

V,b为a在W上的正投影，则

d

W,有并且等号成立当且仅当b=d。Wdba第38页，课件共63页，创作于2023年2月最小二乘法问题提出:实系数线性方程组（1）

即任意都可能使

（2）

不等于零．可能无解，第39页，课件共63页，创作于2023年2月设法找实数组使（2）最小,

这样的为方程组（1）的最小二乘解，

此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设

（3）

第40页，课件共63页，创作于2023年2月用距离的概念，（2）就是

由（3）,

设则要找使（2）最小，等价于找子空间

中向量使到它的距离比到

中其它向量的距离都短.

第41页，课件共63页，创作于2023年2月设这等价于

（4）

即

这样（4）等价于（5）

为此必或这就是最小二乘解所满足的代数方程.

第42页，课件共63页，创作于2023年2月已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关．下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值：找出对的一个近似公式.例题第43页，课件共63页，创作于2023年2月把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势近于一条直线．因此我们决定选取的一次式

来表达．当然最好能选到适当的使得下面的等式解：都成立.第44页，课件共63页，创作于2023年2月实际上是不可能的．任何代入上面各式都发生

些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方和最小，即找使

最小.易知

第45页，课件共63页，创作于2023年2月最小二乘解所满足的方程就是

第46页，课件共63页，创作于2023年2月解得（取三位有效数字）.即为

第47页，课件共63页，创作于2023年2月4.4正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换，若

a

V有则称T为V的正交变换。第48页，课件共63页，创作于2023年2月正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,b

V，则下列命题等价，第49页，课件共63页，创作于2023年2月50推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。第50页，课件共63页，创作于2023年2月Householder变换构造的正交变换讨论正交变换H的几何意义。第51页，课件共63页，创作于2023年2月故H(a)是a关于子空间的反射，dagbwO-g矩阵H称为Householder矩阵，变换H称为Householder变换，变换H也称初等反射变换。第52页，课件共63页，创作于2023年2月53求一个初等反射变换H，使H(a)=b。只需求一个w使得b是a关于子空间的反射，于是w与a-b平行，故可取第53页，课件共63页，创作于2023年2月4.5复内积空间定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，54若

a,b

V,存在唯一的c

C与之对应，记作(a,b

)=

c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=

k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=

0

a

=

0则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)第54页，课件共63页，创作于2023年2月55定义内积例.线性空间称为复内积空间的标准内积。第55页，课件共63页，创作于2023年2月56在复内积空间中还有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)Cauchy-Schwaz不等式且(a,b)=0

a与b正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组第56页，课件共63页，创作于2023年2月57向量a与b在该基下的坐标为第57页，课件共63页，创作于2023年2月58第58页，课件共63页，创作于2023年2月度量矩阵矩阵

A

称为基的度量矩阵。，即

A

为复正定矩阵。，则称

A

为Hermite矩阵。，即A

为Hermite矩阵。称

A

为复正定矩阵。第59页，课件共63页，创作于2023年2月设T是复内积空间V的线性变换，若

a

V有则称T为V的酉变换。第60页，课件共63页，创作于2023年2月定理:设T是复内积空间V