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文档简介
矩阵理论讲义第四章内积空间第1页,课件共63页,创作于2023年2月4.1实内积空间定义.设V是一个实线性空间,R为实数域,2若
a,b
V,存在唯一的r
R与之对应,记作(a,b
)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0
a
=0则称(a,b)为a与b的内积,V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性第2页,课件共63页,创作于2023年2月3定义内积(内积的离散形式)例.线性空间称为内积空间的标准内积。第3页,课件共63页,创作于2023年2月4定义内积(内积一般形式)A为
n阶实正定矩阵,例.线性空间第4页,课件共63页,创作于2023年2月5定义内积(内积的连续形式)例.线性空间C[a,b],f,g∈C[a,b]第5页,课件共63页,创作于2023年2月6由定义知(关于第二个元素的线性性质)(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)第6页,课件共63页,创作于2023年2月向量长度,Cauchy-Schwarz不等式定义.
设V为实内积空间,称为向量a的长度,记作||a||。定理.
设V是实内积空间,a,b
V,k
R,则等号成立当且仅当a,b线性相关;Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性第7页,课件共63页,创作于2023年2月第8页,课件共63页,创作于2023年2月第9页,课件共63页,创作于2023年2月第10页,课件共63页,创作于2023年2月11例:利用Cauchy-Schwaz不等式证明第11页,课件共63页,创作于2023年2月向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知第12页,课件共63页,创作于2023年2月向量的正交定义.
设V是实内积空间,a,b
V,若(a,b)=0
,则称a与b正交,记作a
b。a与b正交这就是实内积空间中的勾股定理。第13页,课件共63页,创作于2023年2月第14页,课件共63页,创作于2023年2月15向量a与b在该基下的坐标为第15页,课件共63页,创作于2023年2月16第16页,课件共63页,创作于2023年2月度量矩阵矩阵
A
称为基的度量矩阵。即
A
为实对称矩阵。即
A
为实正定矩阵。第17页,课件共63页,创作于2023年2月定理:设内积空间V的两个基是:它们的度量矩阵分别为A与B,则A与B是合同的,即存在可逆矩阵P,使得其中可逆矩阵P是由前组基到后组基的过渡矩阵。第18页,课件共63页,创作于2023年2月4.2标准正交基若它们两两正交,则称其为一个正交向量组。定理:正交向量组必是线性无关的。第19页,课件共63页,创作于2023年2月20且其中每个向量的长度都是1,注意:(1)
标准正交基的度量矩阵是单位矩阵,即(2)
向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影,即第20页,课件共63页,创作于2023年2月Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程:设是内积空间V中线性无关的向量组,,使得则V中存在正交向量组第21页,课件共63页,创作于2023年2月Gram-Schmidt正交化过程
图解第22页,课件共63页,创作于2023年2月23令是正交向量组,并且则第23页,课件共63页,创作于2023年2月记第24页,课件共63页,创作于2023年2月或注意到K是可逆矩阵,因此第25页,课件共63页,创作于2023年2月是正交向量组下面用归纳法说明由归纳法假设可知是正交向量组。即第26页,课件共63页,创作于2023年2月矩阵A的QR分解推论1:n
维实内积空间V必存在标准正交基。推论2:n
维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V
的一个正交基。推论3:设A为可逆阵,则存在正交阵Q和可逆上三角阵R使得A=QR
,称为矩阵A的QR分解。第27页,课件共63页,创作于2023年2月28设A为n阶可逆阵,则利用Gram-Schmidt正交化过程,第28页,课件共63页,创作于2023年2月29第29页,课件共63页,创作于2023年2月30例:求矩阵A的QR分解,第30页,课件共63页,创作于2023年2月第31页,课件共63页,创作于2023年2月第32页,课件共63页,创作于2023年2月第33页,课件共63页,创作于2023年2月第34页,课件共63页,创作于2023年2月4.3正交子空间定义:设W,U是实内积空间V的子空间,(1)a
V,若
b
W,都有(a,b)=0,则称a与W正交,记作a
W;(2)若a
W,
b
U,都有(a,b)=0,则称W
与U正交,记作W
U;(3)若W
U,并且W
+U=V,则称U
为W的正交补。注意:若W
U,则W与U
的和必是直和。第35页,课件共63页,创作于2023年2月正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间,则W的正交补存在且唯一,记该正交补为,并且第36页,课件共63页,创作于2023年2月向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间,则称向量b为向量a在W上的正投影,称向量长度||g||为向量a到W的距离。WdbOag第37页,课件共63页,创作于2023年2月垂线最短定理定理:设W是实内积空间V的子空间,a
V,b为a在W上的正投影,则
d
W,有并且等号成立当且仅当b=d。Wdba第38页,课件共63页,创作于2023年2月最小二乘法问题提出:实系数线性方程组(1)
即任意都可能使
(2)
不等于零.可能无解,第39页,课件共63页,创作于2023年2月设法找实数组使(2)最小,
这样的为方程组(1)的最小二乘解,
此问题叫最小二乘法问题.最小二乘法的表示:设
(3)
第40页,课件共63页,创作于2023年2月用距离的概念,(2)就是
由(3),
设则要找使(2)最小,等价于找子空间
中向量使到它的距离比到
中其它向量的距离都短.
第41页,课件共63页,创作于2023年2月设这等价于
(4)
即
这样(4)等价于(5)
为此必或这就是最小二乘解所满足的代数方程.
第42页,课件共63页,创作于2023年2月已知某种材料在生产过程中的废品率与某种化学成份有关.下列表中记载了某工厂生产中与相应的的几次数值:找出对的一个近似公式.例题第43页,课件共63页,创作于2023年2月把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线.因此我们决定选取的一次式
来表达.当然最好能选到适当的使得下面的等式解:都成立.第44页,课件共63页,创作于2023年2月实际上是不可能的.任何代入上面各式都发生
些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方和最小,即找使
最小.易知
第45页,课件共63页,创作于2023年2月最小二乘解所满足的方程就是
第46页,课件共63页,创作于2023年2月解得(取三位有效数字).即为
第47页,课件共63页,创作于2023年2月4.4正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换,若
a
V有则称T为V的正交变换。第48页,课件共63页,创作于2023年2月正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换,a,b
V,则下列命题等价,第49页,课件共63页,创作于2023年2月50推论:(1)两个正交变换的积仍是正交变换;(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。第50页,课件共63页,创作于2023年2月Householder变换构造的正交变换讨论正交变换H的几何意义。第51页,课件共63页,创作于2023年2月故H(a)是a关于子空间的反射,dagbwO-g矩阵H称为Householder矩阵,变换H称为Householder变换,变换H也称初等反射变换。第52页,课件共63页,创作于2023年2月53求一个初等反射变换H,使H(a)=b。只需求一个w使得b是a关于子空间的反射,于是w与a-b平行,故可取第53页,课件共63页,创作于2023年2月4.5复内积空间定义.设V是一个复线性空间,C为复数域,54若
a,b
V,存在唯一的c
C与之对应,记作(a,b
)=
c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=
k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=
0
a
=
0则称(a,b)为a与b的内积,V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)第54页,课件共63页,创作于2023年2月55定义内积例.线性空间称为复内积空间的标准内积。第55页,课件共63页,创作于2023年2月56在复内积空间中还有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)Cauchy-Schwaz不等式且(a,b)=0
a与b正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组第56页,课件共63页,创作于2023年2月57向量a与b在该基下的坐标为第57页,课件共63页,创作于2023年2月58第58页,课件共63页,创作于2023年2月度量矩阵矩阵
A
称为基的度量矩阵。,即
A
为复正定矩阵。,则称
A
为Hermite矩阵。,即A
为Hermite矩阵。称
A
为复正定矩阵。第59页,课件共63页,创作于2023年2月设T是复内积空间V的线性变换,若
a
V有则称T为V的酉变换。第60页,课件共63页,创作于2023年2月定理:设T是复内积空间V
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