5.4 导数与函数的极值、最值 -(选择性必修第二、三册)(教师版)

导数与函数的极值、最值1极值的概念若在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则a称为函数y=f(x)的极小值点，若在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b称为函数y=f(x)的极大值点，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．PS：①把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”，如下图；②极值是“函数值y”，极值点是“自变量x值”，如下图有极大值f−1和f(1)，极小值f−2和f(2)，极大值点−1和1，极小值点−2和③对于极值还有特别强调一下Eg设x0是函数y=fA.必有f'x0C.f'x0=0或f解析：函数fxf'但x<0时，f'x>0故根据极值的定义，0不是函数fx又如函数gx当x<0时，g'x=−1<0所以gx在x=0处取到极值，但在导数不存在；故选C总结①若fx可导，且x0是②若x0是f'x③定义很重要.2求函数的极值的方法解方程f'(x)=0，当(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧3函数y=f((1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【题型一】极值的概念【典题1】【多选题】设函数f(x)的定义域为R，x0(xA．∀x∈R,f(x)≤f(x0) B．C．−x0是−f(x)的极小值点 D．−x【解析】对于A，极大值并不一定是最大值，故错误；对于B，f(−x)是f(x)关于y轴对称的图象，−x0应是f(−x)的极大值点对于C，－f(x)是f(x)关于x轴对称的图象，x0应是－f(x)的极小值点，而x0对于D，−f(−x)相当于f(x)关于原点对称的图象，−x0是故选：ABC．【点拨】①熟悉函数图象的变换：f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象，－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象，－f(－x)相当于f(x)关于原点对称的对称图象；②数形结合是个好方法.【典题2】如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则Fx=fxA．1个极大值点，2个极小值点 B．2个零点 C．0个零点 D．2个极小值点，无极大值点【解析】由原图可知，k<0,m>0，设原图中的两切点横坐标为a,b．再在同一坐标系中做出y=f(x)与y=kx的图象如图：由图可知，y=f(x)与y=kx没有公共点，故函数F(x)没有零点．直线x=n与y=f(x)、y=kx分别交于点A、B，则F(x)的函数值可以理解为线段AB长度；由图可知：当x∈(－∞,a)时，F(x)单调递减；当x∈(a,c)，当x∈(c,b)时，F(x)单调递减；当x∈(b,+∞)时，F(x)单调递增．故a,b是函数F(x)的极小值点，c是F(x)的极大值点．故选：AC．【点拨】①分析函数极值可先分析函数单调性.②F(x)【典题3】若函数f(x)=12x2−x+alnx【解析】因为f(x)=1所以f'(x)=x−1+ax=x2所以y=x2−x+a在(0,+∞)有所以△=1−4a>0a>0，解得【点拨】①对于可导函数f(x)有n个极值，则导函数f'(x)有n个零点；②在求解过程中进行转化一定要注意等价转化，本题中不要若f(x)=12x2−x+alnx有两个不同的极值点⇒y=x巩固练习1(★)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，函数gA．f(x)在(−∞,−2),(1,2)上为减函数B．f(x)在(−2,1),(2,+∞)上为增函数C．f(x)的极小值为f(−2)，极大值为f(2)D．f(x)的极大值为f(−2)，【答案】D【解析】当x∈(－∞,－2)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)为增函数；当x∈(－2,1)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)为减函数；当x∈(1,2)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)为减函数；当x∈(2,+∞)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)为增函数,所以f(x)的极大值为f(－2),极小值为f(2),结合选项可知,只有选项D正确．故选：D．2(★)已知函数f(x)=lnxex的极值点为x=A．(0,12) B．(12,1)【答案】C【解析】f'(x)=令g(x)=1x−lnx,则g(x)单调递减且g(1)=1>0,g由零点判定定理可得,x0∈(1,2)．故选：C．3(★★)若函数fx=x2−(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是【答案】a>0,且a≠2【解析】因为f(x)=x2－(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x所以f′(x)=0有两个不相等的正实数解,所以a2>0,且a2≠14(★★)若函数f(x)=x3−(a2+3)x2+2ax+3【答案】a<6,【解析】f(x)=x则f'(x)=3x由题意得：f'(2)=0,即12－2a－12+2a=0,f'(2)恒为0,∵f(2)是极小值,∴x<2时,函数单调递减,结合二次函数的性质f′(x)的对称轴在x=2的左侧,即a+66<2,故a<6,又故a<6,5(★★★)若函数fx=x3−3ax2+12x(a>0)【答案】(－∞,16)【解析】因为函数f(x)=x3－3a所以f'(x)=3x2－6ax+12=3(则△=4a2－16>0且a>0,解得所以f(=(=2a(4=－4a令ℎ(a)=－4a3+24a(a>2)即ℎ(a)在(2,+∞)上单调递减,所以ℎ(a)<ℎ(2)=16,所以f(x1)+f(【题型二】求函数极值【典题1】已知函数fx=xlnx+xA．0<x0<1C．f(x0)+2【解析】∵f'(x)=lnx+1+2x在(0,+∞)时单调递增，∴f'(x)=lnx+1+2x至多有一个零点，又f'(1根据零点判定定理可知f'(x)=lnx+1+2x在(1∵x0是函数f∴lnx0+1+2x0=0，且而g∵y=gx0在(1∴f(x故选：D．【点拨】①x0是y=lnx+1+2x的零点，可用零点判定定理判断x②x0是可导函数f(x)的极值点，则满足f'x【典题2】讨论f(x)=x【解析】函数的定义域为(0,+∞f'令f'(x)=0，得x=−①当−m2>1在(0,1)和(−m2，+∞)上，f'(x)>0，在∴当x=1时，f(x)取得极大值，当x=−m2时，f(x)②当−m2=1，即m=−2f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值点；③当0<−m2在(0,−m2)和(1,+∞)上，f'(x)>0∴当x=−m2时，f(x)取得极大值；当x=1时，f(x)④当−m2≤0在(0,1)上，f'(x)<0，在(1,+∞)上，故x=1时，函数求得极小值，无极大值，f(x)只有一个极值点．综上，当m=−2时，f(x)极值点的个数为0；当m≥0时，f(x)的极值点的个数为1；当m<−2或−2<m<0时，f(x)的极值点的个数为2.【点拨】①讨论含参函数的极值问题，可转化为含参函数的单调性问题，导函数是“二次函数”型，要注意导函数有几个零点，若有两个零点−m2、1则比较大小，还要注意零点−②分析出导函数图象，进而得到原函数的趋势图，便可很容易得到极值个数.【典题3】讨论函数f(x)=xlnx−【解析】fx的定义域是0,+∞，f令gx=lnx−x+a，则g'x当x∈(0,1)时，g'x>0当x∈(1,+∞)时，g'x<0，gx所以当x=1时，f'(x)有极大值(确定f'(x)的最大值a−1，想下函数图象a①当a−1≤0，即a≤1时，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，此时f(x)无极值，②当a>1时，f'f'易证x>1时，ex所以a>1，f'故存在x1,x2满足当x∈(0,x1)时，f(x)单调递减，当x∈(当x∈(x2,+∞)所以f(x)在x=x1处有极小值，在综上所述，当a≤1时，f(x)没有极值点；当a>1时，f(x)有2个极值点．【点拨】①求出导函数f'②当a>1时，导函数f'x=lnx−x+a误区1：y=f'x最大值在x轴上方且是“先增后减”，想当然说它有两个零点误区2：当x→0时，显然f'x→−∞，当x→+∞时，显然f而因f'1ea+1<0，f'(③那“取点”1ea+1、ea是怎么想到的呢？这需要些技巧，导函数f'x=lnx−x+a中有参数a>1，x取常数是不行的；【典题4】若f(x)=ln(x+1)+a(x(1)求a的取值范围；(2)证明f(x)的极小值小于−2ln2+1【解析】(1)∵f(x)的定义域为(−1,+∞)，∴f'(x)=1令g(x)=2ax2+3ax+a+1，(y=gg(x)的对称轴x=−34①当△≤0时，即0<a≤8，g(x)≥0，故∴f(x)在(−1,+∞)上单调递增，此时f(x)无极值．②当△>0时，即a>8，∵g(−1)=g(−12)=1>0∴函数g(x)在区间(−1,−12)不妨设x1<x∴当－1<x<x1时，∴f(x)在(−1,x当x1<x<x2时，当x>x2时，g(x)>0，∴当f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(8,+∞)．(2)由①可知，函数f(x)有唯一的极小值点为x2，且−又∵g(x∴fx2=lnx2+1+a=ln=ln(x令gxg'(x)=1x+1−∴g(x)在(−3∴g(x)<g(−34)=−2ln2+12【点拨】①函数极值问题都可先分析函数的单调性得到原函数的趋势图；②第二问是“隐零点问题”，x2的值求不出，用零点判定定理确定范围−34巩固练习1(★★)函数f(x)=x2(A．f(x)在R上只有一个极值点 B．f(x)在R上没有极值点 C．f(x)在x=0处取得极值点 D．f(x)在x=−1处取得极值点【答案】C【解析】f'(x)=2x(e令g(x)=2eg'(x)=2e所以当x∈(－∞,－3)时,g'(x)<0,当x∈(－3,+∞)时,g'(x)>0,所以gx由于g(0)=2e－2>0,所以g(0)g(－3)<0,所以g(x)在(－3,0)上存在一个零点为x0所以f'(x)=0的解为x=0和2e所以函数f(x)至少存在x=0和x=x0,两个极值点,故A,B错误,因为g－1所以x=－1处没有取得极值点,故D错误．故选：C．2(★★)若x=1是函数f(x)=x2+ax−1ex的极值点，则【答案】5e－2【解析】f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax－1)ex=[x2+(a+2)x+a－1]ex,由题意可得,f′(1)=2(a+1)e=0,则a=－1,f′(x)=[x2+(a+2)x+a－1]ex=(x+2)(x－1)ex,令f′(x)>0,解得x>1或x<－2,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以函数f(x)在(－∞,－2),(1,+∞)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,故当x=－2时,函数取得极大值f(－2)=5e－2．故答案为：5e－2．3(★★)设函数f(x)=ex(sinx－cosx)(0≤x≤2021π)，则【答案】e【解析】∵函数f(x)=ex(sinx－cosx),∴f′(x)=(ex)′(sinx－cosx)+ex(sinx+cosx)′=2exsinx,∴x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)函数递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,函数f(x)递减,故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)－cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,又0≤x≤2021π,且x=2021π处不能取极值,∴函数f(x)的各极大值之和为S=4(★★★)已知函数f(x)=exx+k(lnx−x)，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是【答案】(－∞,e]【解析】∵函数f(x)=ex∴x=1是函数f(x)的唯一一个极值点,∴x=1是导函数f'(x)=0∴ex－kx=0令g(x)=ex－kx①k≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在(0,+∞)时单调递增,g(x)的最小值为g(0)=1,g(x)=0无解,②k>0时,g'(x)=0有解,为：x=lnk,0<x<lnk时,g'(x)<0,g(x)单调递减,lnk<x时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)的最小值为g(lnk)=k－klnk∴k－klnk>0,画出函数y=ex和由y=ex和y=ex图象,它们切于综上所述k≤e,故答案为：(－∞,e]．5(★★★)讨论f(x)=x−12【答案】当a≤0时，f(x)在x=1处取得极小值，极值点只有1个，当0<a<2时，f(x)有两个极值点．【解析】函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数f'(x)=2(x－1)+a(1∵a<2，∴a①若a2≤0，即a≤0时，则由f'(x)>0由f'(x)<0得a2即当x=1时，函数f(x)取得极小值，此时无极大值，即极值点有1个，②若a2>0，即0<a<2时，则由f'(x)>0由f'(x)<0得即当x=1时，函数f(x)取得极小值，当x=a2时，函数f(x)取得极大值，即极值点有综上当a≤0时，f(x)在x=1处取得极小值，极值点只有1个，当0<a<2时，f(x)有两个极值点．6(★★★★)已知函数f(x)=e(Ⅰ)求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a>0时，设f(x)有两个不同的极值点x1,x2，且x【答案】(1)a>－1(2)λ≤【解析】(Ⅰ)由题可知f′(x)=ex(x2－a)+ex•2x,令f′(x)=0,其有两个不相等的实数根,即x2+2x－a=0有两个不相等的实数根,则△=22+4a>0,解得a>－1．(Ⅱ)设x1,x2是方程x2+2x－a=0的两个根,且x1<x2,则x1－x2<0,又a>0,所以x1+x2=－2,x1x2=－a<0,x2=－2－x1>0,x1<－2,ex2+λx即ex2+λ(－2－x2)>0恒成立,即ex2>又2+x2>0,所以λ<令函数g(x2)=ex22+x2,当x2>0时,g′(x2)>0,所以函数g(x2)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)=12,所以【题型三】求函数最值【典题1】下列不等式中恒成立的有()A．lnx+1≥xx+1C．ex≥x+1 【解析】以下运用“构造函数求最值”的方法判断选项A，设f(x)=ln(x+1)−xx+1当−1<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，∴fxmin=f(0)=0，即f(x)≥0∴ln(x+1)≥xx+1(x>−1)选项B，设gx=lnx−x+1(x>0)，令∴g(x)在0,1上递增，在(1,+∞)上递减，∴gx≤g1=0，即选项C，设ℎx=e令ℎ'(x)=0，解得x=0，当x<0时，ℎ'(x)<0，当x>0时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)单调递增．∴ℎxmin=ℎ(0)=0∴ex≥x+1选项D，设tx=cosx−1+1令mx则m'x=−cosx+1≥0恒成立，即m(x)在R∴当x<0时，m(x)<0，当x>0时，m(x)>0，∴txmin=t(0)=0,即t(x)≥0∴cosx≥1−12x故选：ACD．【点拨】①通过构造函数证明不等式，选项D中运用了二次求导；②研究函数的最值，其实最终还是回归到函数单调性的分析，注意结合导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”进行分析函数最值；③熟记ex≥x+1，比如lnx≤x−1令x=【典题2】若函数fx=23x3−a【解析】函数fx=2令f'(x)=0，解得x=0或x=a(a<0)，∴x∈(a,0)时，f'(x)<0，fx递减；x>0或x<a所以函数在x=a时取得极大值且极大值为f(a)=−a∵函数fx=23(由于x∈2a,a+1，a+1是不可能超过点M∴f(a+1)≤f(a)=−a即23(a+1)【点拨】①本题的“坑”就在函数的定义域2a，a+1是个开区间，②本题还可以令fx=fa=−a3【典题3】已知函数fx(1)当a>0时，求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值．(2)在条件(1)下，当最小值为−2时，求a的取值范围．【解析】(1)函数fx=ax当a>0时，f'(因为x∈[1,e]，所以y=f'(x)中的x>0,2x−1>0①当0<1a≤1，即a≥1时，f'x所以f(x)在[1,e]上的最小值是f1②当1<1a<e时，即1e<a<1时，f(x)f(x)在[1,e]上的最小值是f1③当1a≥e时，即0<a≤1e时，f(x)在[1,e]上的最小值是fe综上所述，当a≥1时，最大值为−2当1e<a<1时，最大值为当0<a≤1e时，最大值为(3)由(2)a≥1时，f(x)在[1,e]上的最小值是f11e<a<1时，f(x)在[1,e]上的最小值是0<a≤1e时，f(x)在[1,e]上的最小值是综上可知，a的取值范围为[1,+∞)．【点拨】①求含参函数的最值，也需要先分析讨论函数的单调性，得到导函数的“穿线图”和原函数的“趋势图”就很容易确定最值；本题是属于“一次函数”型的导函数分析，注意零点x=1a与定义域端点②在第三问中不要令f1a=−2，fe=−2求1,e之类的特殊值.巩固练习1(★)【多选题】已知函数fx=13xA．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】BCD【解析】由f(x)=13x3+x2－2,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(在(－2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令13x3+x2－2=－2,得x=0或x则结合图象可知,−3≤a−2<0a+3>0,解得：a∴a可以取－1,0,1．故选：BCD．2(★★)【多选题】设f(x)=sinxxaA．当a=−1时，M>32 B．当a=1C．当a=2时，M<3 D．当a=3时【答案】AB【解析】对于A：当a=－1时,f(x)=xsinx,f′(x)=sinx+xcosx>0,x∈[π6故f(x)在[π6故M=f(π3)=π3对于B：a=1时,f(x)=sinxx,f′(x)=xcosx−sinxx2,令h(x)=xcosx－sin则h′(x)=cosx－xsinx－cosx=－xsinx<0,h(x)在x∈[π6而h(π6)=π6×32−12<0,故f故M=f(π6)=对于C：a=2时,f(x)=则f′(x)=xcosx−2sinxx3,令h(x)=xcosx－2sinx,x则h′(x)=cosx－xsinx－2cosx=－cosx－xsinx<0,故h(x)在x∈[π6,π3]递减,而h(π6)<0,h(x)在而h(π6)<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[π故M=f(π6)=对于D：a=3时,f(x)=则f′(x)=xcosx−3sinxx4,令h(x)=xcosx－3sinx,x则h′(x)=cosx－xsinx－3cosx=－2cosx－xsinx<0,故h(x)在x∈[π6,π3]递减,而h(π6)<0,h(x)在而h(π6)<0,即f′(x)<0,f(x)在x∈[π故M=f(π6)=10