2021届高考数学文（全国统考版）二轮验收仿真模拟卷(四)

高考仿真模拟卷（四）

（时间：120分钟；满分：150分）

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合“={x|lWx<3},N={1,2},则MCN=（）

A.{1}B.{I,2}

C.{2}D.[1,2]

2.若复数z满足（z-l）i=4+2i,则|z|=（）

A.25B.yJTjC.5D.17

3.某市A,B,C,。四所中学报名参加某高校2019年自主招生考试的学生人数如下表

所示：

中学ABCD

人数40301020

该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加

考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查.则A,B,C,。四所中学抽取的学生人数分别为

（）

A.15,20,10,5B.15,20,5,10

C.20,15,10,5D.20,15,5,10

4.等比数列{斯}的前〃项和为S,”则“a2Vo且的<0”是“数列{S,}单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在△48C中，内角4,B,C的对边分别为mb,c,且*+〃一/="=小，贝必人如

的面积为（）

3

B-

V434

A.近

C3

D-

22

6.设〃=log：3,b=g），c=Q）'，则（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

7.若非零向量a、力满足⑷=2步|=4,（a—2办a=0,则“在b方向上的投影为（）

A.4B.8

1

C1D

8.执行如图所示的程序框图，若输出的〃=7,则输入的整数K的最大值是（）

（开始）

|n=l,S=OI

//

,1:

［结束）

A.18B.50

C.78D.306

9.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻

侧面的面积分别为6,8,12,则铁球的直径最大只能为（）

A率B.2

C.小D.4

10.P为圆Ci：«+9=9上任意一点，。为圆C2：f+）2=25上任意一点，PQ中点组

成的区域为在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（）

-13n3c12r3

A"B.7C-—D-~

25525n5“

11.已知尸是双曲线C：点一1=13>0,0>。）的右焦点，过点尸作垂直于X轴的直线交

该双曲线的一条渐近线于点M,若|FM|=2a,记该双曲线的离心率为e,则e?=（）

A.呼B¥

c2+^52+^

J24

f'（/?）—4Q

12.已知函数1x）=/+3+8）x+a2+a-12（a<0）,且八/-4）=/（2。-8）,财“十】—

（〃eN*）的最小值为（）

题号123456789101112

答案

第［I卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知函数y（x）=tanx+sinx+2017,若_/（，〃）=2,则八一机）=.

x+3y—5'0,

14.已知X,），满足不等式组,x+y—7W0,若2=工+犯的最小值为4,则实数a的值为

上一220

15.数列｛斯｝的前〃项和为S„,且S“=2"—1,则数列6“=居-7m+6的最小值为

16.

鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的样卯结构，它的外观是如

图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经

90°样卯起来.若正四棱柱的高为4,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容

器内，则该球形容器的表面积至少为,（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知函数y（x）=cosx"（2小sinx+cosx）—sir^x.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若当#寸，不等式於）外有解，求实数机的取值范围.

18.(本小题满分12分)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数

在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组［50,100),第二组［100,

150),第三组［150,200),第四组［200,250),第五组［250,300),第六组［300,350］,相应的

样本频率分布直方图如图所示：

(1)求频率分布直方图中的x的值；

(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在

这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意抽2人，求至少有一个拔尖工的概率.

19.

JT

(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，48=1,BC=2,/CBA=?ABEF

JI,

为直角梯形，BE//AF,NBAF=~pBE=2,AF=3,平面ABC。J_平面ABEF.

(1)求证：AC_L平面ABEF；

(2)求三棱锥D-AEF的体积.

20.(本小题满分12分)设函数/(x)=lnx,g(x)=e*,h(x)—ax2+bx-\-c.

(1)若a=l,b—c—0,求函数F(x)=/(x)/z(x)的单调区间；

(2)若a=c=0,6>0,且G(x)=g(x)—/7(x)》皿mWR)对任意的xGR都成立，求〃力的最大

值.

21.(本小题满分12分)已知抛物线C：V=2pxS>0)在第一象限内的点尸(2,f)到焦点F

的距离为|.

(1)若乂一3,0)，过点N,P的直线/i与抛物线相交于另一点Q,求陶的值；

(2)若直线/2与抛物线C相交于A,B两点，与圆M：。一")2+尸=1相交于力，E两点，

0为坐标原点，0AL08,试问：是否存在实数a,使得DEI为定值？若存在，求出a的值;

若不存在，请说明理由.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在一个极坐标系中点C的极坐标为（2,y）.

（1）求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形；

（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角

坐标系，点尸是圆C上任意一点，Q（5,一小），M是线段PQ的中点，当点尸在圆C上运动

时，求点M的轨迹的普通方程.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数,/（x）=|x—a|,a£R.

（1）若。=1,解不等式人龙）〉/》+1）；

（2）记函数g（x）=/（x）—k—2]的值域为A,若AQ[—1,3],求〃的取值范围.

高考仿真模拟卷（四）

1.解析：选B.因为M={x|lWx<3},N={1,2},所以MAN={1,2}.故选B.

4+2i

2.解析：选C.由（z—l）i=4+2i,得z—l=1■二=2—4i,所以z=3-4i,所以|z|=5.

3.解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2019年自主招生考试的学生总人数

为100,抽取的学生人数与学生总人数的比值为需=；.所以应从A,B,C,。四所中学抽取

的学生人数分别为20,15,5,10.

4.解析：选C.因为45=a2q3<0,”2<0，所以q>0,所以斯<0恒成立，所以SLSI

=%<0,{S“}单调递减，故为充分条件；S„-Sn-l=a„<0=>a2<0,a5<0,故为必要条件.故

选C.

层+/一（?"11

5.解析：选B.依题意得cosC=-----------=/,C=60°,因此△ABC的面积等于呼bsin

c=；x5义乎=*

6.解析：选A.因为a=log]3vlog]2=—1,0<fe=（jj<Lc=y[2>],所以av*c.

7.解析：选A.由（a—2»=a2-2cb=0,得。2=女=苧=8,从而Q在b方向上的投

影为需奇=4,故选A.

8.解析：选C.第一次循环S=2,n=2,第二次循环S=6,〃=3,第三次循环S=2,n

=4,第四次循环S=18,n=5,第五次循环S=14,〃=6,第六次循环5=78,〃=7,需满足

S2K,此时输出〃=7,所以18<KW78,所以整数K的最大值为78.

9.解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a,b,c,

ab=6a=3

bc=8,解得vb=2.

ac=121c=4

再结合题1意可得，铁球的直径最大只能为2.

故选B.

10.解析：选B.设。（xo,y0）,中点M（x,y）,则尸（2刀一必，2），一%）代入f+丁=9,

得（2x-xo）2+（2y—州）2=9,

化简得：（x—食）+（>—2=4,

又看+济=25表示以原点为圆心半径为5的圆,

故易知M的轨迹是在以（与，为圆心，以方为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在

以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有r+y2=，（iWrW4）,

那么在C2内部任取一点落在M内的概率为吗三』=卷='.故选B.

11.解析：选A.由题意得，F（c,0）,该双曲线的一条渐近线为）•=-，，将x=t■代入y

=-1得产he

a

所以,=2m即hc=2a2,所以4a4=b2^=c2(c2—n2),所以e4—e2—4=0,解得/=上苧^,

故选A.

12.解析：选A.二次函数yOOuf+m+gW+aZ+a—12图象的对称轴为直线x

〃2—4+2。―8〃+8

由八层—4）=大2。-8）及二次函数的图象,可以得出解得a=-4或a

22，

「f(〃)—4〃H2+4H+16

=1,又。＜0,所以〃=-4,所以J(x)=*+4x,所以'--------=---------=

八n~r\n+\

2

(n+1)+2(n+1)+13,,13,匚~~"\3~.；—,_*

~7~,-n+1+।.+2^2A/(n+1)•..+2=2*\/73+2,又〃£N,

n+1n+11丫

所以当且仅当〃+l=倡,即〃=g时等号成立,当〃=2时,/言若,〃=3

a/（”）—4”29,一3728...„,,^^,37,,

时，~扃口--=彳+2=彳＜亍，所d以r最小值为芋，故选A.

13.解析：因为函数y（x）=tanx+sinx+2017,所以式-x）=-tanx-sinx+2017,从而

A-x）+J（x）=4034,又大⑼=2,所以八一M=4032.

答案：4032

14.解析：不等式

组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z=x+〃)，在点C(2,1)处取得最小值，则2

+。=4,。=2,此时y=—其在点C(2,1)处取得最小值，符合题意.假设z=x+ay

在点3(2,5)处取得最小值，则2+5〃=4,此时y=—浓+去，其在点C处取得最小值，

不符合题意.假设z=x+ay在点A(8,—1)处取得最小值，则8—。=4,。=4,此时y=—%

+",其在点A处取得最小值，符合题意.所以。的值为2或4.

答案：2或4

15.解析：由S〃=2"-1,得4]=Si=l,

11

当〃22时，cin~Sn—S〃-1=2"-1—2"1+1=2",〃i=l适合上式，所以斯=2".

则历尸屈一7%+6=(""一9一学.

所以当〃=3时S")min=(4-9一苧=-6.

故答案为一6.

答案：一6

16.解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，

此时球直径2R等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2/?=声钎港=6,

球形容器的表面积为4n咫=36Jt.

答案:36n

17.解：(l)/(x)=2小sinxcosx+cos2x-$出入=小$出2x+cos2x

=2(坐sin2x+^cos2x\

=2sin(2x+",

所以函数式x)的最小正周期T=n.

Tl

(2)由题意可知，不等式加启机有解，即mW於)max.因为正[0,外

所以2x+胪仁，yj,

tf、t/c]兀兀

故当2X+G=2,

即x=5时，犬》)取得最大值，且最大值为(")=2•从而可得机W2.

18.解：(1)根据题意，(0.0024+0,0036+x+0.0044+0.0024

+0.0012)X50=1,解得x=0.0060.

(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人.

抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工有4人.可设拔尖工为4,A2,熟

练工为

Bi，B2,B3,&.

则从样本中任抽2人的基本事件有：

A\B\,A1B2，A1B3，A184，A281，A282，A283，A2B4，A1A2，B1B2,Bi83，BTBA，B2B3,B2B4,

B3B4,共15种，

至少有一个是拔尖工的基本事件有4S，4B2,4当，AiB，A2BI，A2B2,A283,A2以,

A1A2，共9种.

故至少有一个拔尖工的概率是己9=]3.

it

19.解：(1)证明：在AABC中，AB=\,ZCBA=y,BC=2,

所以AC2=BA2+BC2-2BAXBCCOSNC8A=3,

所以AC2+8A2=2C2,所以AB_LAC.

又因为平面尸，平面ABC£)n平面AB£F=AB,ACU平面ABC。,

所以AC_L平面ABEF.

(2)连接CF.

因为CQ〃AB,所以CQ〃平面A8EF,

所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离,

又m=小，

所以Vf>AEF=VC-AEF=/XQX3X1卜小=坐.

20.解：(1)由题意知，F(x)=y(x)/i(x)=x2lnx,F'(x)=解lni+XQ>0).

令k(x)>0,得x味,故F(x)的单调递增区间为(口1，+°°J；

令尸(x)<0,得0<x<；,故F(x)的单调递减区间为

(2)由题意知，G(x)=e，一扇，故G，(x)=e*—6,

又b>0,令G，(x)=e'-6=0,得x=lnb,

故当xG(—8,in6)时，G'(x)<0,此时G(x)单调递减；当xG(lnb,+8)时，G'(x)>0,

此时G(x)单调递增.

故G(x)min=b一句nb,所以加Wb—blnb,则nib^b2—b2\nb.

设r(h)=h2—h2\nh(h>0),则rf(b)=2h—(2b\nb+h)=h—2h\nb,

由于b>0,令/S)=0,得Inb=；,b=#,当。e(0,正)时，/S)>0,r(加单调递增;

当(必，+8)时，r'(/?)<0,r(〃)单调递减，所以r(匕)max=，，即当人=正，机=去保时，相方

取得最大值会

21.解：(1)因为点尸(2,。到焦点尸的距离为|,所以2+?=梳，解得〃=1,

故抛物线。的方程为V=2x,PQ,2),

42

所以/1的方程为尸

联立得产尹十亍

y=2x,

可解得x°=]

155

--

2--82

5

-

四

。81

所%-=-

用

仍5

-4-

2

(2)设直线的方程为x=〃)4机(加70),代入抛物线方程可得)2一2翅-2m=0,

设4%，y),8(X2，")，则y1+以=2〃，y\yi=—2m,①

由OA_LOB得，(町4+tn)(ny2+in)+yij2=0，

整理得(层+1)川玫+痴8+丫2)+序=0,②

将①代入②解得m=2或m=0(舍去)，满足/=4/+8〃>0,

所以直线，2：x=ny+2f

因为圆心M(o,0)到直线h的距离d=j；j\,

2

9（。-2）

所以|£>用=2L1+〃2'

显然当〃=2时，|DE|=2,所以存在实数〃=2,使得|£>E]为定值.

22.解：⑴如图，