2021届高三5月模拟数学试题及答案

2021届上海市崇明中学高三5月模拟数学试题

一、单选题

1.“sinx=O”是“cosx=l"的（）

A,充要条件B,充分非必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

答案：C

根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

解：因为sinx=O,根据三角函数的基本关系式，可得cosx=±l,

反之：若cosx=l,根据三角函数的基本关系式，可得sinx=O,

所以“sinx=O”是“cosx=l”的必要不充分条件.

故选：C.

2.下列命题中与“/（X）为R上非奇非偶函数”等价的命题是（）

A.对任意xeR,有或

B.存在/SR,有/（—且/（一y）。—/（%）

C.存在x°eR,有/（—x°）关/（%）或/（—%）#—/（用）

D.存在x,weR'有/（—%）。/（%）且/（一々）。一/（々）

答案：D

根据奇函数与偶函数的定义，集合选项进行判定，即可求解.

解：根据奇函数与偶函数的定义：对于任意xeR,.f（—x）="X）,函数y=/（x）为偶函数,

对于任意xeR,f（T）=-f（x）,函数y=〃x）为奇函数,

所以，若存在使得/（一々））。/（y），函数“X）不是奇函数，

存在使得〃一玉））工一〃不），函数”X）不是偶函数，

由此可得，函数y=/（x）,xeR为非奇非偶函数，

则存在wR,有/（_不）力/（西）且/（_%2）/_/（X2）・

故选：D.

H-I,in?:+l.in

3.若a,beR,|a|>|0|且lim—，>limH,则〃的取值范围为()

“_>8nms

aa

A.或av-lB.-\<a<\

C.或一1<。<0D,或Ov〃<l

答案：D

n-l.rnM+1,rn

根据数列极限运算法则化简lim-JL>lim，求出关于。的不等式，即可求解.

W->00Q〃“T8/

an-'+h"an+'+bn

解:lim>lim化为

/»->00anAT0O

lim(-+(-)n)>lim(a+(-r),

-aa00a

,।।..力〃1(a—l)(a+l)

,.jci|>|/z?I,lirrn(—)=0,—>ci、----------<0,

00aaa

二av—1或()<av1.

故选:D

点评：本题考查数列极限，考查分式不等式，属于中档题.

4.已知数列｛%｝满足凡M=。：-34+4,4=3,则下列选项错误的是()

A.数列｛0“｝单调递增B.数列｛%｝无界

(1

C.lilTl-----F•••H------1D.400=101

答案：D

111

AB选项，利用作差法判断；C选项由条件化简得到一-=——------^求和判断；D选项结合

4T。“-2a„+l-2

数列的单调性，利用具体项的值判断.

解：4+「%=%—2a,,+4=(4-1)2+3>0,所以数列｛4｝单调递增,%23恒成立,

故A,B正确：

1_1

=a：-3a“+4=a„+i-2=a--3a„+2=(an-2)(a„-1)n

4+i-2(an-2)(ait-l)

......-—s_

%+i-2an-2an-lan-lan-2an+i-2

所以

L+…+」1+」L+…+」111

-a2aa

6T凡-1q—24Z22%—2%—2n~n+\~2%—2,n+\~2

1)1、

所以lim------F•••H=lim=lim—=1

«->+oo4-1-----a“-1,W—>4<0-2。"+1—2,〃一>+006Z1-2

故C正确:

因为«„+1=«'-34+4,4=3,所以4=4,4=8,%=44,%=44,-44x3+4>101，结合数

列｛a,,｝单调递增，所以400rl01,

故D错误,

故选：D.

二、填空题

22

5.椭圆土+匕=1长轴长为

925

答案：10

根据椭圆的方程，求得。的值，即可求得其长轴长，得到答案.

22

解：由题意，椭圆士+匕=1,可得a=51=3,

925

所以椭圆的长轴长为2a=1().

故答案为：10.

6.已知幕函数)，=/(%)的图像过点2,,则〃4)=

答案：|

利用待定系数法求出幕函数的解析式，再代入求值即可;

解：解：设基函数/(x)=N

•••基函数y=/(x)的图象过点2,

・,・—=2%

2

解得a=_』

2

，/（x）=X2，

-11

.・"（4）=42=5,

故答案为：二.

2

点评：本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.

7.在四边形ABCD中，/=（3,-1）,诙=（2,m），/_L而，则该四边形的面积是.

答案：10

根据向量的数量积的运算，求得相的值，结合面积公式，即可求解.

解：由题意，向量前=（3,—1）,而=（2,m）,/_1而，

ULUUUUUI____»_____

因为AC_LB£＞，可得AC-皮＞=3x2+（—1）加=0，解得机=6,

所以四边形的面积为:|恁卜|丽卜;532+（—1）2122+62=10.

故答案为：10.

8.已知复数2=。+67（aeR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且同=2,

则复数z=.

答案：-1+73/

根据忖=2得到|Z|=JY+3=2,解方程即可.

解：因为z=a+J§/，所以恸=五2+3=2,解得a=±l.

又因为z=a+y/3i在复平面内对应的点位于第二象限，所以。=一1.

所以z=—1+.

故答案为：-l+JJi

9.由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名

医生，则甲.乙两人恰好分配在同一个城市的概率为.

答案：—

3

求出每市分配两名医生的方法数，再求出甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数后可得概率.

解：四名医生平均分配到两市的方法为C；=6,甲、乙两人恰好分配在同一个城市的方法数是2,

21

所求概率为尸=；=4

63

故答案为：

3

点评：本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数.平均分组时要注意组间有无区别.

10.如图，函数f(x)的图象为折线/龙，则不等式f(x)》hgzG+i)的解集是.

答案：

先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.

解：令g(x)=y=log2(x+l),作出函数g(x)的图象如图.

X+y=2>得|x=l,

由

y=log2(x+l),[y=l.

结合图象知不等式f(x)》lo&(x+l)的解集为{x|-l<xWl}.

点评：本题考查函数图象应用，考查基本分析求解能力.

(-1)"1</?<2019

11.已知数列｛q｝的通项公式为=[1)广269,前"顶和为S",贝！]1吧,值是

n>2020"z

答案：0

利用分组求和，再求极限.

’1、

lim

解:limSn=11111^(01+.­•+a2019)+(a2020+a202l+-••)!=T+~^T=。，

1---

I2j

故答案为：0

12.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AAZ?。是边长为6的等

边三角形，则球面面积为.

答案：64兀

设球的球心为。，半径为总取45的中点〃，连接W,根据题意得△ABC的外心0',在线段位

上，分析得(9)+(2后=片,求出H即得解.

解：设球的球心为O,半径为此取16的中点〃，连接切,

根据题意得AABC的外心。'，在线段切上，

由△ABC是边长为6的等边三角形可得CD=36，。'。=?。。=26,连接0C,。。'，如图

根据球的性质可得OC=H,OO'，平面ABC.

即。。，=3,所以OO，_LO，C,

2

在Rt/\OOC中，O'O2+O'C2=OC2

/D\2

即-+（2，i）2=R2,解得庐4或庐-4（含去），

、2,

所以该球的表面积S=4兀A，=647F>

故答案为：64万

点评：方法点睛：求解球的半径，一般通过解直角三角形完成.直角三角形的斜边是球的半径，另

外两条直角边，一边是球心到圆心的距离，一边是多边形外接圆的半径.

13.已知直线3x+y-2=0与单位圆f+y2=i交于AB两点，设射线0Ao5的对应的角是

a,p,贝!|cosa+cos尸=.

答案：-

5

/、/xf3x+y-2=0

设义不刈净伍,以），由｛二2_1得到%+%，再根据三角函数的定义由

x+y=1

cosa+cos/?=%+/求解.

解：如图所示:

设4(石，弘)，巩“必)，

3x+y-2=0

由《22।，消去丁得10%2―12%+3=0，

[Y+y』

6

则x{+x2=—f

根据三角函数的定义得：cosa+cos/7=X1+&,

即COS2+COS/?=三.

故答案为：I

14.若函数/袅)=2闺-。|幻+。2一2。€/?)有唯一零点，则实数。的值为.

答案：一1

根据偶函数的性质，可得/(0)=0,解得。=±1,再对。的取值分两种情况讨论得解.

解：因为xwR,又/(r)=2iT—a|—x|+/-2=/(x),所以函数为偶函数.

因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得/(0)=0,所以2°+〃—2=0,解得a=±l.

当a=l,此时/*)=/—|x|-l,知/⑵<0,/(x)有零点(x=l),不符合题意：

当。=一1,此时/⑺=23+|x|—l在(0,小)上单调递增，/(x)>/(0)=0,根据偶函数对称性,

符合题意；所以。=一1.

故答案为：一I

点评：关键点睛：解答本题的关键如何检验。=1和。=-1,用零点存在性定理检验“=1,利用函

数的单调性检验。=一1.

1

+2a,+…+2"cinn+l

15.定义H.为数列｛/｝的均值,已知数列也｝的均值Hn=2,记数列

n

｛仇-切｝的前〃项和是s.,若S.4s5对于任意的正整数“恒成立，则实数k的取值范围是

答案：百苧

n+,

因为4+2%+…+2"~'bn=n-2,b｝+2b2+...+2"2〃T=(〃一1)•2”,从而求出b„=2(〃+1),

可得数列｛bn-kn｝为等差数列,记数列也一切｝为｛%｝,从而将S,,<55对任意的〃(〃eN,)恒成立

化为qNO,W0,即可求得答案.

解：““/+2J+…+2”””=2叫

n

4+2么+—+2"-也=〃.2"+，

故4+24+…+2"-22T=(〃-1).2"(〃之2),

2"-'2=〃•2'川一(〃-1)•2"=(〃+1)•2”,

则包=2(〃+1),对白也成立,

bn=2(〃+1),

则%—初=(2—左)〃+2,

.•・数列｛4-初为等差数列,

记数列也-%〃｝为｛%｝.

故S,4S5对任意的〃(〃eN*)恒成立,可化为：c5>0,c6<0；

‘5(2-％)+220712

即《,解得，彳4&4工,

[6(2-女)+2«035

712

故答案为：

点评：本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前〃项和最大值的

方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

16.数列｛«„｝满足anan+｝alt+2=an+an+l+。曰(卬4+尸L〃wN*)，且q=1,4=2•若

an=Asin(<m+°)+c(<y>0,0<°<;r),则实数A=.

答案答

由数列｛4｝的递推关系可得数列｛”"｝是以3为周期的数列，从而可得①=修，再由

等+8）+c,2=Asin当x3+4+c可求得夕，继而

1=Asin耳X2+Q）+C,3=Asin

可得实数A的值.

解：解：数列｛an｝满足anan+lan+2=an+a„+1+an+2（44什产1,〃wN），且q=1,出=2.

令〃=1,得：2〃3=1+2+。3，解得。3=3.

令〃=2,得：6%=2+3+%，解得%=1.

令〃=3,得：3%=1+3+%,解得〃5=2.

可得an+3二〃〃，=1,g=2,%=3.

•/an=Asin（加+e）+c（3>0,0v°〈"）,

27c.az»/日27r

­=3,解得67=—

co3

2万

an-Asinn+（p+c（0<（p<兀）,

葛+4+c,2=Asin券x2+e]+c,3=Asin券x3+4+c.

/.1=Asin

2〃

化为：1=Asin+9）+c,2=-Asiny+^j+c,3=Asin^+c.

Asin^9+Asinfy+^9j=1,Asin夕一Asin

T+T2-

即^■sin夕+Acos0=1①

3A.^/3Cg

—sin-Acos=2②

①+②得：3Asin°=3,即Asin°=l；

①-②得：百Acos°=—1,即Acos夕=一^^；

联立解得：tane=-0，0<0〈乃，

2兀

/.(0二—

3

:小巫

3

故答案为：哀I

3

点评：本题考查了数列递推关系、考查了数列与三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力,

属于难题.

三、解答题

17.直角坐标系xQy中，锐角a的终边与单位圆的交点为将。尸绕。逆时针能转到。Q,使

4POQ=a,其中。是与单位圆的交点，设。的坐标为(x,y).

(1)若P的横坐标为3,求上：

5x

(2)求氐+y的取值范围.

答案：(1)——；(2)V3,2^.

34

(1)先求出cosa=W，sina=g,再求出sin2a,cos2a即得解；

(2)先求出瓜+y=2sin(2a+2)，再利用三角函数的图象和性质求解.

334

解：(1)・.・2的横坐标为^,・,・(：051=1，$吊0=二.

c2.29167「c.4324

/.cos2a=cosa—sirr。=-------=----,sm2a=2sinacosa=2x—x—=——

2525255525

y_sin2a_24

xcos2a7

(2)6x+y=Geos2a+sin2a=2sin2a+—\,aG0,—

兀714万

:,2aE（0,乃）,2a+§£

_V3.（TC

/.sin2aH——G,12sin2a4——

I4I4

点评：方法点睛：求三角函数/（x）=Asin（<yx+e）,xG（a,。）的取值范围，一般根据x的范围，利

用不等式的性质结合三角函数的图象逐步求出函数的取值范围.

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，PC,底面A8Cr）,ABCD是直角梯形，AD±DC,AB//DC,

AB=2AD=2CD=2,点E足P8的中点.

（2）者直线与平面PAC斤城角的正弦值为也，求三棱锥P-4CE的体积.

3

答案：（1）证明见解析；（2）

3

（1）由PC_L平而ABC。，证得PC_L8C,再由AC2+8C2=AB2,得到AC_L8C,结合线

面垂直的判定定理，即可证得8C_L平面PAC；

（2）由（1）得到乙BPC为尸8与平面B4C所成角，在直角△BPC中，可求得=太，得到

PC=2,结合/TCE=^VP-ACB'即可求螂

解：（1）因为尸。，平而488,BCu平面ABCD,所以PC_LBC,

又由A8=2,A£>=CO=I,ADJ.0C,且ABCD是直角梯形，

可得AC=8C=0，可得+=432,所以ACLBC,

又因为PCcAC=C,且PCACu平面Q4C,所以3C_L平面尸AC.

（2）由（1）知8CL平面B4C,所以ZBPC即为直线依与平面尸AC所成角,

在直角△3PC中，可得sin/BPC=吐=叵=也,所以尸8=&，则PC=2,

PBPB3

所以Vp-ACE=gx（；xgxlx2x2）=；.

19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为X（x>0）（单

位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为X土（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从

2

此'公司每年的燃料费为瓦磊（”为常数）万元'记y为该公司安装太阳能板的费用与15

年的燃料费之和.

（1）求女的值，并建立y关于X的函数关系式;

（2）求）'的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.

一,八，―八1800x小匚…

答案：(1)Z=2400,y=-----F—；(2)x=55时，y=57.5

x+52mm

(1)根据题意，先取％=(),得J^J=24,求出2=2400,

从而可得出结果;

/八届1800,x1800,冗+55的用甘*才2一

(2)由丁=----+—=-----+--------,根据基本不等式,即可求出结果.

x+52x+522

k

解：（1）因为公司每年的燃料费为一--（女为常数）万元,

20X+100

取X=(),得需=24，则%=2400,

所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为:

2400x1800x-

y=15x--------+—=----+—，%>0：

20X+1002%+52

/八h.1800x1800x+55.18005

(2)因为y=----+—=----+------->2.=57.5,

x+52x+522~2~~2

当且仅当黑二手’即时取等号.

所以安装太阳能板的面积为55时，》取得最小值为57.5万元.

点评：本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题

型.

20.已知椭圆「：」一+占=1,过点。（-1,0）的直线/：y=&（x+D与椭圆r交于乂〃两点

机+1m

（〃点在/点的上方），与y轴交于点£

（1）当〃2=1且％=1时，求点胴”的坐标;

（2）当机=2时，设两=尤丽，EN=pDN,求证：丸+〃为定值，并求出该值;

(3)当机=3时，点2和点尸关于坐标原点对称，若△的版的内切圆面积等于-兀,求直线/的

方程.

41

答案：(1)加0,1),N(一一，一一)；(2)九+〃为定值3(3)/:y=±(x+l)

33

(1)代值联立方程组.解得即可求出，

(2)联立方程,利用韦达定理,以及向量的知识可得从而4+〃=；^+去,化简整理即可

证明，

(3)假设存在直线/：尸左(x+1)满足题意，则△砌W的内切圆的半径为述,

根据韦达定理,

7

弦长公式，三角形的面积公式，即可求出衣的值

r24

%,21x=——

---Fy=1x=O3

解：解:(1)当卬=4=1时，联立，2,，解之得：,,或，

[y=l1

,y=x+l

13

,41

即"(0,1),N(--，—)；

33

’2o

厂y1

(2)当片2时联立＜32,消去y得：(3K+2)x~+6A~x+3K—6=0

p=Z(x+l)

6a

X,+X.=----;——

1-3k2+2

设水为，M),N(如女)，则，

3/一6

卬"E

由的=4丽，瓯=〃两，且点£的横坐标为0,

得玉=兄(g+1)、x,=;/(x2+1).从而/+〃=

X[+1x2+1

4+〃=2—---I—j=2—X]+%2+2

、再+1x2+1J玉芝+玉+工2+1

_2______3r+2______=2———=3,

3人2-66k21-6+2

,-------——+1

3k2+23k2+2

%+〃为定值3；

22

（3）当〃尸3时，椭圆「：亍+4=1,假设存在直线/:y=k（x+l）满足题意，则△MNF的内

切圆的半径为半，又。（一1,0）、F（l,o）为椭圆「的焦点，故△助步的周长为8,

u而。1o3夜1272

从叩S1M雁=5乂8*7-­勺-

消去九得（4左2+3）f+8/x+4/-12=0,设A/（%,y）、N（x2,y2）,

则S^fNF^\DF\\yi-y2\=\X-讣M%一々）|.

故卜（工1一々）|=I。',即无2［（芭+动2_0/=~^

2

'8左2288

由⑵,得左2I-4x

「4女2+3~^9

化简，得171+^—18=0，解得攵=±1，

故存在直线/：＞=±（x+l）满足题意.

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计

算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题.

21.若数列｛叫，也｝满足|凡+一%|=〃（〃eN）则称也｝为数列｛4｝的“偏差数列”.

（1）若也｝为常数列，且为｛4｝的“偏差数列”，试判断｛4｝是否一定为等差数列，并说明理由；

（2）若无穷数列｛4｝是各项均为正整数的等比数列，且%-%=6,也｝为数列｛叫的“偏差数

1111、

列”，求r11!11（z厂+丁+1+…+1）的值；

2"4仇4b“

（3）设"=6-（；严，也｝为数列｛4｝的“偏差数列"，4=1,且%4均用若

㈤WM对任意nwN*恒成立,求实数M的最小值.

3229

答案：（1）答案见解析（2）—或一（3）—

436

⑴设为=（-1）",根据何用一%|=bn，可得勿=2,满足圾｝为数列｛（?„｝的“偏差数列,但此时

｛4｝不是等差数列，故可得出｛见｝不一定是等差数列；

（2）设数列｛q｝的公比为9,解方程可得首项和公比，由等比数列的通