高中数学空间几何体的表面积和体积公式汇总及例题讲解

高中数学空间几何体的表面积和体积公式汇总及

例题讲解空间几何体的表面积和体积1,多面体的面积和体积公式名称侧面枳（S侧）全面积CS全）体积（V）棱柱棱柱直截面周长XIS侧十2s底S底.h二S百微面■h直棱柱chS底■h棱棱锥各侧面积之和S吊］+S底；S底.h正棱锥Ich72棱台棱台各侧面面积之和s慎+S上底+s下底（h（S上底十S下底，下运,&F成）正棱台-(c+cz)h72表中S表示面积，一、c分别表示上,下底面周长，h表斜高，X表示斜高，I表示侧梭长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s便2nrInrInGi+「。1s重2nr(I+r)nr(I+r)n(一+r，i+n(r"1)4nR2VnrJh(即nr31)1nr^hrJ1nh(r21+r1r2+r22)士nR3J表中Kh分别表示母线।高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,小Q分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径©典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1-一个长方体全面积是20cm\所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcmtVGm、zcmvIcmTOC\o"1-5"\h\z2（xy+yz+zx）=20 八、依题音得.’ ⑴M屋,缶何・[4（x+y+r）=24 （2）由（2）'得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）—⑴得x'+户/=16即/-16所以/=4（cm）o点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2.如图1所示，在平行六面体ABCD—A超CR中，已知AB=5tAD=4,AAi二3,AB±AD,NA】AB=NA】AD=£。（1）求证：顶点儿在底面ABCD上的射影0在NBAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。 _4i//力芳！/图1解析：（1）如图2,连结AQ,图2则从0_L底面ABCD0作OM_LAB交AB于M,作ON_LAD交AD于N,连结AMAM由三垂线定得得A/，AB,A；N-LAD0：人州二々AN,/.RtAA.NA^RtAA.MA,.\A1NI=A1NJ从而OM=ONo.,・点。在NBAD的平分线上。(2)：AM=AAgost二3X1二士3 22j,AO=q二三百。co5-2

4又在RtZ\AOA|中，AQJAA；-A02=9-|=|,「从0:ng,平行六面体的体积为尸=办4上?=30后.题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是M后新，这个长方体对角线的长是( )A.2后B.342 C.6 D.46解析：设长方体共一顶点的三边长分别为平1,b=区。=后,则对角线/的长为仁加+―答案L点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素一棱长.TOC\o"1-5"\h\z例4.如图，三棱柱ABC—AB。中，若&F分别为AB、AC的中点,平面EBG将三棱柱分成体积为%,%的两部分，那么V"V尸_ 户解；设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V产％=ShnVEvF分别为AB、AC的中点， &*',Sref二衿V,=；h(S+lS+^)=2ShV产Sh-V'Sh, A\9:V尸7：5O点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可◎

题型3：锥体的体积和表面积例5.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,可得该几何体的表面积是D(A)9n (B)10n(011n (D)12n连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦川、⑦的长度分别等于?/、4括，A：l、A分别为川8、⑺的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦■心⑺可能相交于点加 ②弦月疗、⑺可能相交于点N③的最大值为5 ④m的最小值为1其中真命题的个数为CA.1个B.2个C.3个D,4个用与球心距离为।的平面去截球，所得的截面面积为g则球的体积为BA" B.yk Cm D.也3 5 3点评：本小题重点考查线面垂直,面面垂直,二面角及其平面角，棱锋的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例6(本小题满分12分)如图，在四棱锥尸刃成了)中，平面内门1平面都ci, 〃是等边三角形，已知」冷二2/。=8r窥无.(I)设W是改，上的一点，证明：平面A*1平面』勾。；(II)求四棱求人俊m的体积.

(I)证明：在中,由于M=①)=3q/S=4石所以方厅=月加.故勾。18。・又平面PAL)1平面4所3,平面P也门平面Ati(L)=AD,加匚平面ABCD,所以阳1平面23,又仁平面A"办，故平面A/M1平面/他.(II)解：过尸作PCUZD交M于0,由于平面PAD_1平面ABCD,所以阳1平面上阳心.因此尸。为四棱锥r-AHCi)的高，又△4力)是边长为4的等边三角形.因此PO=—x4-2V3.2在底面四边形国以力中,AH//IX,,Afi=213(',所以四边形电切是梯形，在母△*加中，斜边内H边上的高为史二辿，M5此即为梯形的高，所以四边形AHCD的面积为£='乎且'竽="・故仁由「324x2追=166.点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理口题型4：锥体体积、表面积综合问题例7.ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB

垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC-2,求点B到平面EFC的距离?解：如图，取EF的中点0,连接GB、GO.CD、FB构造三棱锥B—EFG。设点E到平面EFG的距离为h,BD=4®,EF=2叵，C0=，4点=3后.4GO^ylcO2+GC2=/近y+*=718+4=V22口而GC_L平面ABCD,且GC=20由L丽产七.国，得，*・W•方=! .□ J点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，4EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运界0例8,如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心0,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S2,则必有()A,$i<S] B.Si>S2C.0二& D.a,S工的大小关系不能确定解：连0A%OB、0C、0D,—Vq_A0D+V—Vq_A0D+VO-ABE+V。-昕口-6EFD=%TFC,而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S柳+S版+5暗0=s檎+Saec+Sef,又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系口题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9.(本小题满分12分)如图，面ABEF，面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,ZBAD=ZFAB=90°,BC2;AD,BE^lAFtG、H分另！J是FA、FD的中点。(I)证明：四边形BCHG是平行四边形；(IDC.D、E、F四点是否共面？为什么？(HI)iftAB=BE1证明：平面AOE_L平面CDE.解法一；(I)由题设知，FG=GA.FH=HD.所以GH吗仞,又BC故GH曲■所以四边形6CHG是平行四边形.(II)C.EF四点共面理由如下：由的心及，G是刀的中点知，BEg所以小

日(I)知BG//GH,故/7/共面.又点。在直线FH上…所以C\DyF\下四点共面.(III)连结EG,由脏8E,比"G及/班090°知力8FG是正方形.故BaLE4由题设知，FA、AD.初两两垂直，故力〃_L平面必先，因此曰是在平面用鸵内的射影，根据三垂线定理，BGLED.又EOCEA=E,所以8GL平面4?E由(I)知，。/〃86所以劭_1平面ADE.由(II)知辰平面3E故C左平面CDE,得平面4?RL平面C如解法二：由题设知，用.力&初两两互相垂直.如图，以X为坐标原点，射线为*轴正方向建立直角坐标系A-xyz.(I)设=a,BG=brBE=cf则由题设得4(0,0,0),B(a,0,0),CO,b,0),0(0,2bt0),E"0,c)T5(0.0,c),从0,hc).所以，(汨=(o力,o),取：=(o,及o)于是面=圮又点G不在直线宛上.所以四边形所刑?是平行四边形.(idaaf、e四点共面,理由如下：由题设知，下(0.0.20,所以8户=(-aO©/W =(汽又c星云居hem故厂又网内四点共面.(11|)由48超得户环所以国二(。03加：二皿。⑶又历=(也&&.因此济通=您函・25二4即CHLAE、CH-LAD,又ADV\AE=儿所以CH1.平面ADE.故由阳二平面CDFE,得平面平面CDE.点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例10.（1）设是球心。的半径OF上的两点,且N