中职数学总复习课件（同济版）第六章

第六章数列

知识结构命题趋势本章内容在历年真题中出题数量基本保持在两道，要求不高，难度不大，重点考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式.第一节数列的概念知识梳理知识点一数列的概念

一般地，把按一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每一个数都是这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（首项），第2项，第3项，⋯⋯，第n项，⋯⋯.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,⋯,简记作{an}，其中an是这个数列的第n项.知识点二数列的通项公式

如果一个数列{an}的第n项an

与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就称为数列的通项公式,即an=f(n).因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次用1,2,3,4,...代替公式中的n就可以求出这个数列的各项。

求数列的通项公式，通常先求出数列的前几项，再观察数列各项的值与它的序号之间的关系，找出其中的规律，得出数列的通项公式.不是所有的数列都有通项公式，如π的不同近似值数列，3,3.1，3.14,3.141，⋯有的数列的通项公式不一定唯一，如数列1，-1,1，-1,1，-1，⋯它的通项公式可以写成an=（－1）n－1，也可以写成

注意注意知识点二数列的通项公式知识点三数列的分类数列特点有穷数列、无穷数列

按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。单调数列

按前后项之间的大小关系来分。若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这样的数列称为递增数列。若前面的项永远大于它后面的项，即a1>a2>a3>⋯>an>⋯,这样的数列称为递减数列。常数列

若数列的所有项均为同一个数，则称为常数列，如7，7，7，⋯,7,⋯.

知识点四数列的前n项和Sn数列的前n个数的和称为数列的前n项和，用Sn表示：即Sn=a1+a2+a3+⋯+an.前n项和Sn与通项公式an的关系

典例解析

例1

求下列各数列的一个通项公式解析（1）通项的符号规律是（-1）n-1，通项的分子为n+2，通项的分母为n+1，所以数列的通项公式为

求数列的通项公式是找an与n的对应关系1根据已知条件，挖掘隐含条件234观察、联想、类比、归纳和猜想找出其变化规律正确写出通项注意

由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的.技巧点拨典例解析解析技巧点拨例2已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n，求通项公式an.

因为Sn=n2+2n，所以有以下情况：当n=1时,a1=S1=12+2×1=3

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1）2+2(n-1)]=2n+1且当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以an=2n+1

由数列的前n项和表达式求通项公式时但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.

典例解析解析技巧点拨例3已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3

(1)试写出该数列的前3项(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几项?(1)将n=1,2,3代入通项公式,得a1=5,a2=11,a3=21.(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数列的第6项.本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项公式即可求解；第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.典例解析解析例4已知数列an满足a1=1,an=3n-1+an-1

（n≥2）.

(1)求a2,a4.

(2)求数列an的通项公式.（1）因为a1=1,所以a2=3+a1=3+1=4.a3=32+a2=9+4=13.a4=33+a3=27+13=40.

(2)由已知得an-an-1=3n-1.所以a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,……an-an-1=3n-1以上各式相加可得

所以

技巧点拨利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有累加法、累乘法和构造法等几种方法。第二节等差数列及其应用知识梳理1.等差数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列称为等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式等差数列通项公式为:an=a1+（

n–1）

d（n≥1）

.将通项公式an=a1+（n–1）d（n≥1）变形得an=nd+（a1-d）

,从函数角度来看它是关于n的“一次函数”(d≠0).4.前n项和公式

3.等差中项等差数列的前n项和公式5.等差数列的判定方法123定义法：

中项法：

6.

等差数列的常用性质an=am+（n-m）d

在等差数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,...为等差数列,公差为kd若m+n=p+q,则am+an=ap+aq连取m项的和组成的数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,...依然成等差数列7.等差数列的单调性及最值（1）当d=0时，数列{an}是常数数列.（2）当d>0时，数列{an}是递增数列，且当a1<0时，前n项和Sn有最小值.（3）当d<0时，数列{an}是递减数列，且当a1>0时，前n项和Sn有最大值.典例解析解析技巧点拨例1

在等差数列{an}中,若a3=8,a6=17,求:(1){an}的通项公式;

(2){an}的前10项和S10.(1)由题意得，解得所以,数列的通项公式为an=2+n-1×3=3n-1(2)因为数列{an}为等差数列,所以等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知道其中三个就可求出另外两个，体现了用方程解决问题的思想.典例解析解析技巧点拨例2

已知三个数成等差数列，其和为15，平方和为83，求此三个数.设这三个数依次是a-d,a,a+d,根据题意得因此这三个数分别为3,5,7或7,5,3.一般地,若三个数成等差数列,可依次设为a-d,a,a+d.若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,ad,a+d,a+3d.典例解析例3

已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-15,当n为何值时，其前n项和取得最小值？最小值为多少？解析解法一:由通项公式可得a1=-13.所以所以当n=7时，Sn取得最小值，为-49.解法二:因为等差数列的通项公式为an=2n-15,所以a1=-13<0,d=2>0,该数列的前n项和有最小值。解得6.5<n≤7.5又因为n∈N*

,所以n=7，故该数列的前7项和最小

在等差数列{an}中,a1<0,d>0,前n项和有最小值,且n由确定。技巧点拨例4

某职校大礼堂共有30排座位,从第二排开始,后一排座位比前一排多两个座位,第一排有60个座位,该大礼堂最后一排有

个座位.依题意可知,礼堂每排座位数成等差数列,其a1=60,d=2.所以a30=a1+（n-1）d=60+（

30-1）×2=118.即该礼堂最后一排有118个座位.学会应用等差数列的知识典例解析解析技巧点拨第三节等比数列及其应用知识梳理等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q≠0），那么这个数列称为等比数列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式等比数列的通项公式为an=a1qn-1,a1为首项,q为公比3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G称为a与b的等比中项，即：G是a与b的等比中项⇔G2=ab⇔a,G,b成等比数列.4、等比数列前n项和公式当q=1时,Sn=na1

5、等差数列的判定方法12定义法：

中项法：

135426、等比数列的常用性质an=am·qn-m

（n,m∈N*）

数列{an}是等比数列,则数列{kan},{an

k}(k

为非零常数)均为等比数列.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k

,...为等比数列,公比为qk若m+n=p+q,

则am·an=ap·aq

若等比数列{an}的前

n项和为Sn

,则Sn,S2n-Sn

,S3n-S2n,...依然成等比数列典例解析例1已知等比数列的首项为3，第n项为96，前n项和为189，求公比q和项数n.解析技巧点拨由题意知a1=3,an=96,Sn=189

解方程组

将①代入②，得

即q=2,代入①得2n-1=32，由此得n=