高中数学简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划（一）画出不等式组表示的平面区域。3x+5y≤25

x-4y≤-3x≥13x+5y≤25x-4y≤-3x≥1在该平面区域上

问题1：ｘ有无最大(小)值？问题２：ｙ有无最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？CABxyox=1CB设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件，求ｚ的最大值和最小值。

3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1Ａx-4y=-33x+5y=25xyox-4y=-3x=1C设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件，

求ｚ的最大值和最小值。3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1BＡ3x+5y=25问题1:

将z＝2ｘ+ｙ变形?问题2:z几何意义是_____________________________。斜率为-2的直线在y轴上的截距

则直线l：

2ｘ+ｙ=z是一簇与

l0平行的直线,故

直线l可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平移时z逐渐增大：当l过点B(1,1)时,z

最小,即zmin=3

当l过点A(5,2)时，ｚ最大,即

zmax＝2×5+2＝12。析:

作直线l0

：2ｘ+ｙ=0,ｙ＝-2ｘ+z最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解。线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。有关概念线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。

可行域：所有可行解组成的集合。B

Cxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件求ｚ的最大值和最小值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1解：作出可行域如图：当ｚ＝0时，设直线l0：2x－y＝0

当l0经过可行域上点A时，－z最小，即ｚ最大。

当l0经过可行域上点C时，－ｚ最大，即ｚ最小。由得A点坐标_____；

x－4y＝－3

3x＋5y＝25由得C点坐标_______；

x=1

3x＋5y＝25∴zmax＝2×5－2＝8zmin＝2×1－4.4＝

－2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0

，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)解线性规划问题的步骤：

2、在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；3、通过解方程组求出最优解；4、作出答案。

1、画出线性约束条件所表示的可行域；画移求答例2：已知x、y满足，设z＝ax＋y(a>0)，若ｚ取得最大值时，对应点有无数个，求a的值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥13x+5y=25例2：已知x、y满足，设z＝ax＋y(a>0)，若ｚ取得最大值时，对应点有无数个，求a的值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1xyox-4y=-3x=1CBＡ解：当直线

l

：y

＝－ax＋z与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有：k

l

＝kAC

∵kAC＝k

l

=-a∴-a=∴a=例3：满足线性约束条件的可行域中共有多少个整数解。x+4y≤113x+２y≤10x>0y>01223314455xy03x+２y=10x+4y=11解：由题意得可行域如图:

由图知满足约束条件的可行域中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)

故有四个整点可行解.练习：设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件